21.4.1 用二次函数求几何问题中的最值 课件2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦用二次函数求几何问题中的最值，通过观察物体运动路线联系函数图象，结合复习回顾二次函数最值求法，搭建旧知与新知的学习支架，帮助学生掌握矩形、直角三角形等图形面积最值的求解思路。 其亮点在于以合作探究（如分组讨论周长固定矩形的最大面积）和校园劳动实践情境（如围菜园、设计车棚）为载体，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维建立函数模型的能力，通过典型例题和梯度练习，帮助学生形成解决几何最值问题的规范步骤，既提升学生的应用意识，也为教师提供了贴合课堂的教学素材。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 二次函数与反比例函数 21.4.1用二次函数求几何问题中的最值 2026年8月6日 沪科版九年级上册21.4第1课时 用二次函数求几何问题中的最值同步练习题 本次练习聚焦用二次函数求解几何最值的核心考点，重点考查矩形、正方形、三角形等常见几何图形的周长、面积最值问题，掌握通过设变量、列二次函数解析式、利用函数顶点求最值的解题思路。题目贴合课堂重难点，以基础题型为主、梯度循序渐进，适配课后同步巩固、方法总结与基础检测，帮助熟练掌握几何最值的二次函数求解模型。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 已知矩形的周长为16cm，设一边长为\(x\mathrm{cm}\)，面积为\(y\mathrm{cm}^2\)，则矩形的最大面积为（ ） A. \(16\mathrm{cm}^2\) B. \(32\mathrm{cm}^2\) C. \(64\mathrm{cm}^2\) D. \(8\mathrm{cm}^2\) 2. 用长为20m的篱笆围成一个矩形菜园，矩形面积的最大值出现在（ ） A. 长10m、宽0m B. 长5m、宽5m C. 长8m、宽2m D. 长12m、宽8m 3. 已知直角三角形的两条直角边之和为12，设一条直角边为\(x\)，面积为\(S\)，则三角形的最大面积为（ ） A. 18 B. 36 C. 72 D. 144 4. 二次函数\(y=-x^2+10x\)可表示某矩形面积函数，该函数的最大值为（ ） A. 25 B. 50 C. 100 D. 10 5. 若矩形面积的二次函数解析式为\(y=-2x^2+24x\)，则取得最值时的边长为（ ） A. \(x=6\) B. \(x=12\) C. \(x=4\) D. \(x=8\) 6. 下列关于几何图形二次函数最值的说法正确的是（ ） A. 几何面积函数开口向上，有最大值 B. 几何面积函数开口向下，有最大值 C. 几何周长可无限大，无最值 D. 所有几何最值都在端点取得 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 周长固定的矩形中，__________的面积最大，这是二次函数几何最值的经典结论。 8. 已知矩形周长为24，设长为\(x\)，面积\(y\)与\(x\)的函数解析式为__________，最大面积为__________。 9. 直角三角形两直角边和为20，该三角形的最大面积为__________。 10. 二次函数\(y=-3x^2+36x\)表示几何图形面积，其最大面积值为__________。 11. 用一段长为30的铁丝围成矩形，设边长为\(x\)，当\(x=\)__________时，矩形面积最大。 12. 已知三角形面积函数\(S=-x^2+16x\)，则三角形的最大面积为__________。 三、解答题（共52分） 13.（16分）用长为40cm的铁丝围成一个矩形。（1）设矩形一边长为\(x\mathrm{cm}\)，求面积\(y\)关于\(x\)的函数解析式；（2）求自变量\(x\)的取值范围；（3）求矩形的最大面积及此时的边长。 14.（18分）已知一个直角三角形的两条直角边长之和为16。（1）设一条直角边长为\(x\)，写出三角形面积\(S\)与\(x\)的函数关系式；（2）求该直角三角形的最大面积；（3）求出面积最大时两条直角边的长度。 15.（18分）如图，在矩形内部截取一个小矩形，已知大矩形横向总长为18，设小矩形一边长为\(x\)，小矩形面积满足函数\(y=-x^2+18x\)。（1）求小矩形面积的最大值；（2）求面积最大时小矩形的边长；（3）结合自变量取值范围说明最值合理性。 参考答案及解析 一、选择题 1.A 解析：解析式\(y=-x^2+8x\)，顶点处最大值为16，最大面积为\(16\mathrm{cm}^2\)。 2.B 解析：周长固定矩形，正方形面积最大，边长为\(20\div4=5\mathrm{m}\)。 3.A 解析：解析式\(S=-\frac{1}{2}x^2+6x\)，顶点最大值为18。 4.A 解析：配方得\(y=-(x-5)^2+25\)，函数最大值为25。 5.A 解析：对称轴\(x=-\frac{b}{2a}=6\)，此时取得最大面积。 6.B 解析：几何面积二次函数二次项系数为负，开口向下，存在最大值。 二、填空题 7. 正方形 8. \(y=-x^2+12x\)；36 解析：邻边长\(12-x\)，配方可得最大值36。 9. 50 解析：两直角边均为10时，面积最大为50。 10. 108 解析：对称轴\(x=6\)，代入求得最大值108。 11. 7.5 解析：边长为周长四分之一时面积最大，即\(30\div4=7.5\)。 12. 64 解析：配方得\(S=-(x-8)^2+64\)，最大值为64。 三、解答题 13. 解：（1）另一边长为\(20-x\)，解析式\(y=-x^2+20x\)；（2）自变量范围\(0<x<20\)；（3）\(x=10\)时面积最大，最大面积为100\(\mathrm{cm}^2\)，此时为正方形。 14. 解：（1）\(S=\frac{1}{2}x(16-x)=-\frac{1}{2}x^2+8x\)；（2）函数最大值为32；（3）面积最大时，两条直角边长均为8。 15. 解：（1）配方得\(y=-(x-9)^2+81\)，最大面积为81；（2）此时边长分别为9和9，为正方形；（3）自变量\(0<x<18\)，\(x=9\)在取值范围内，最值有效。 （字数：1212） 观察思考 二次函数 还记得如何求二次函数的最值吗？ 最大高度 最大高度 二次函数的 最值 观察物体运动形成的路线，说一说与什么函数图象类似？ 二次函数 a的范围 图象 最值 顶点坐标 a＞0 a＜0 （ , ） y有最小值 （ , ） y有最大值 (a≠0) 如何利用二次函数解决面积问题呢？ 复习回顾 你能画一个周长为60 cm的矩形吗？ 这些矩形的面积一定相等吗？ 不一定 合作探究 当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？ 分组交流讨论： 1.学生分组交流讨论； 2.各组展示探究方法和过程； 3.教师带领大家完善探究过程. 合作探究 x 30x S矩形  x(30x) S矩形   x²  30x S最大  –15²3015  225 15 cm 15 cm 225 cm² 求S的最大值 对应的函数值 交流 当周长为60 cm时，你能画出一个面积最大的矩形吗？ 设未知数 建立二次函数模型 求最值 当边长为15 cm时，矩形的面积最大. 6 利用二次函数求几何图形面积的最值问题的一般步骤： 设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量； 利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式建立二次 函数模型，并指明自变量的范围； 利用二次函数的性质求最值. 1 2 3 归纳 1. 【教材改编题】一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，其中一直角边长为x cm，面积为y cm2，则y的最大值是 (　　) A．50 B．100 C．150 D．200 1星题 基础练 A 举一反三 2．用一段长为24 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，如图，若墙长10 m，则这个养鸡场的最大面积为________m2. 【变式题】[吕梁期中]如图，某小区计划用总长为20 m的铁栅栏围成一个两边靠墙的矩形车棚ABCD(墙足够长)，为了方便存车，在BC(BC>2 m)边上开了一个2 m宽的门(门不是用铁栅栏做成的)，则车棚的最大面积为________m2. 70 121 举一反三 【例】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？最大面积是多少平方米？ 典型例题 分析：首先要找出围成的水面面积与边长之间的关系. 水面面积 = 一条边长×另一条边长 x m (20–x)m S m S=x(20–x) S= –x2 +20x x的取值有什么限制吗？ （0＜x＜20） 典型例题 解：设围成的矩形水面的一边长为x m，那么，矩形水面的另一边长应为(20x) m.若它的面积是S m2，则有 S=x(20x) 将这个函数表达式配方，得： S= (x10)²+100 (0＜x＜20). 这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图，它的顶点坐标是(10，100). S/m2 x/m (10，100) 图中为何有两个空心点？ 【例】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？最大面积是多少平方米？ 典型例题 S/m2 x/m (10，100) 当x=10时，函数取得最大值，即 S最大=100(m2). 此时，另一边长=2010=10(m). 答：当围成的矩形水面边长都为10 m时，它的面积最大为100 m2. 【例】某水产养殖户用长40 m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？最大面积是多少平方米？ 核心必知 一般地，当a>0(或a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低(或最高)点，即当x＝________时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有________(或________)值，为____________． 最小 最大 举一反三 3．用2 m长的木条，做一个如图所示的矩形窗子，为使透进的光线最多，那么这个窗子的面积应为________m2. 举一反三 4. 手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形风筝的两条对角线长度之和为60 cm，菱形风筝的面积S cm2随其中一条对角线的长x cm的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)； 举一反三 (2)当x是多少时，菱形风筝的面积S cm2最大？最大面积是多少？ 解：S＝ 因为－ ＜0，所以当x＝30时，菱形风筝的面积Scm2最大，最大面积是450 cm2. 举一反三 5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度运动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度运动，当点Q到达点C时，两点都停止运动．如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，运动时间为t s，△PBQ的面积为S cm2. (1)求S随t变化的函数关系式，并写出自变量的 取值范围． 举一反三 解：根据题意得AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则BP＝(12－2t)cm， 所以S＝ BP·BQ＝ (12－2t)·4t＝－4t2＋24t(0<t<6)． 举一反三 (2)t为何值时，面积S最大？最大面积是多少？ 解：S＝－4t2＋24t＝－4(t－3)2＋36， 所以当t＝3时，面积S最大，最大面积是36 cm2. 举一反三 主题情境 校园劳动实践基地内的规划 点点学校新建了一个校园劳动实践基地，同学们计划在这里开展各类种植、手工制作等实践活动．请完成6－8题. 2星题 中档练 6. 九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8 m长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是________．(填“方案1”“方案2”或“方案3”) 方案3 举一反三 7．为了兼顾实用性，学校最终决定蔬菜种植区的规划为一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为28 m)，用长为39 m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形区域，在区域的前端及中间篱笆上设计了三个宽均为1 m的小门，便于同学们进出．设AB＝x m. (1)若围成的蔬菜种植区的面积为120 m2，求此时边AB的长； 举一反三 解：由题意得BC＝39－3x＋3＝42－3x(m)， 依题意，得x(42－3x)＝120，即x2－14x＋40＝0， 解得x1＝10，x2＝4， 当x＝4时，BC＝42－3×4＝30(m)>28 m(不合题意，舍去)， 当x＝10时，BC＝42－3×10＝12(m)<28 m. 答：此时边AB的长为10 m. 举一反三 (2)若每平方米可收获2 kg的菜，求该蔬菜种植区最多可收获多少千克的菜． 解：设蔬菜种植区的面积为y m2，依题意，得y＝x(42－3x)＝－3x2＋42x＝－3(x－7)2＋147，所以当x＝7时，y有最大值，为147.且此时BC＝42－3×7＝21(m)<28 m，所以蔬菜种植区的最大面积是147 m2.147×2＝294(kg)． 答：该蔬菜种植区最多可收获294 kg的菜． 举一反三 二次函数的最值： 二次函数的应用 (a≠0) 求面积最值等实际问题与二次函数的联系： 实际问题 二次函数 建立模型 二次函数的最值 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS － 解：S＝－x2＋30x. －x2＋30x＝－(x－30)2＋450. $