23.2.1解直角三角形（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”核心内容，系统梳理定义、关键关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数）及两类必考题型，通过问题导入回顾三角形元素等旧知，搭建学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于题型分类清晰、解题步骤标准化，结合高频易错点和特殊角速算结论，通过典型例题和举一反三练习，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型意识）。学生能掌握解题方法，教师可提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第23章　解直角三角形 23.2.1解直角三角形 2026年8月6日 23.2.1 解直角三角形 核心知识点总结 一、解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知的边、角元素，求出所有未知边、未知角的过程，叫做解直角三角形。 直角三角形一共6个元素：3条边、3个角； 其中直角 90°为已知固定条件，只需再知道2个独立元素（至少1条边），即可解出剩余所有元素。 关键前提：只知两个角、没有边长，只能求角度，不能求边长（三角形可大可小，不唯一）。 1. 两锐角互余（角度关系） 在Rt△中，$$\angle A+\angle B=90^\circ$$ 作用：知一锐角，直接求另一锐角。 2. 勾股定理（边长关系） $$a^2+b^2=c^2$$ $$c$$为斜边，$$a、b$$为直角边，用于已知两边求第三边。 3. 锐角三角函数（边角关系） $$\sin A=\dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}},\ \cos A=\dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}},\ \tan A=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$ 作用：知边求角、知角求边，是解三角形的核心工具。 三、解直角三角形两类必考题型 题型一：已知两边，解三角形 解题顺序： 1. 先用勾股定理求出第三条边； 2. 选用合适三角函数求出一个锐角； 3. 利用互余关系求出最后一个锐角。 技巧：尽量用已知数据计算，少用推导数据，减少误差。 题型二：已知一边一角（非直角），解三角形 解题顺序： 1. 先用互余关系求出另一锐角； 2. 选用三角函数，列比例式求出第二条边； 3. 勾股定理或三角函数求第三条边。 四、最优选公式原则（避错提速） 1. 求斜边：优先用 sin、cos 2. 求直角边：优先用 tan（避免斜边开方、减少根式） 3. 有特殊角：直接用特殊角边长比例（$$1:\sqrt3:2$$、$$1:1:\sqrt2$$）秒杀计算 4. 非特殊角：借助计算器求角度、边长（保留题目要求精度） 五、标准解题步骤（考试满分模板） 1. 定位：找准直角、已知边、已知角； 2. 求角：有角度先利用互余求剩余锐角； 3. 求边：根据已知条件，选择三角函数或勾股定理求边长； 4. 验算：边长满足勾股、角度和为180°。 六、特殊直角三角形速算结论（直接用） 1. 含30°直角三角形 三边比：$$1:\sqrt3:2$$，30°对边 = 斜边的一半 2. 等腰直角三角形（45°） 三边比：$$1:1:\sqrt2$$ 七、高频易错点 1. 条件不足强行求解：只有角度没有边长，无法求具体边长； 2. 三角函数选错：求直角边用正切，求斜边用正、余弦，乱用公式导致计算复杂； 3. 不区分对边、邻边，比例式列错； 4. 计算器未开DEG角度模式，角度计算全部错误； 5. 最后结果不化简二次根式、不按要求保留小数位数。 八、本节总结口诀 解三角知二求三，一边一角是条件。 勾股求边互余角，三角关系架桥连。 求斜正余求边切，特殊比例省时间。 已知推新不用估，步骤齐全稳得分。 1.回想一下，在三角形中有几个元素？ 6个：三个角，三条边 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，除了直角外，还有几个元素？ A B C 5个：两个锐角∠A，∠B， 三条边a，b，c. 这5个元素之间有什么关系呢？ a b c 2 a2+b2=c2 如图，在Rt△ABC中，除了直角(∠C)外，其它5个元素之间有什么关系呢？ ∠A+∠B=90° A B C a b c (1)三边之间的关系： (2)两个锐角之间的关系： (3)边角之间的关系： sin A= ，cos A= ，tan A= . sin B= ，cos B= ，tan B= . 对于锐角B，也有类似的边角关系吗？ 观察如下图中的每个三角形，除了知道∠C=90°外，还给出了另外两个元素的值，你能求出其它三个元素的值吗？ A B C a b A B C a A B C α α β 能 能 不能 在直角三角形中，除直角外，如果知道了五个元素中的两个元素(至少有一边)，就可以求出其余的三个元素. 都是角 有边有角 有边有角 A B C a b c 在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 条件：①在直角三角形中； ②知道除直角外的至少两个元素； ③至少有一个元素是边. 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，则AB＝________，∠B的度数为________． 1星题 基础练 45° 举一反三 2．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，其中a＝ ，c＝2 ，解这个直角三角形． 举一反三 3.【知识初练】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AB＝8，则BC的长为________． 举一反三 思考 1.解直角三角形的条件是什么？ 除直角外的两个元素(至少有一边) 2.解直角三角形的依据是什么？ a2+b2=c2 ∠A+∠B=90° (1)三边之间的关系： (2)两个锐角之间的关系： (3)边角之间的关系： sin A= ，cos A= ，tan A= . sin B= ，cos B= ，tan B= . A B C a b c 勾股定理 两锐角互余 锐角三角函数 9 典型例题 例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6'，c=287.4，解这个直角三角形(精确到0.1). B A C b a c 分析： 已知：∠C=90°，∠B=42°6'，c=287.4. 未知：∠A，a，b. 287.4 解：由cos B=，得a=c cos B=287.4×0.7420≈213.3. 由sin B=，得b=c sin B=287.4×0.6704≈192.7. 213.3 192.7 ∠A=90°–∠B=90°–42°6'=47°54'. 典型例题 例2 在△ABC中，∠A=55°，b=20 cm，c=30 cm，求三角形的面积S△ABC(精确到0.1 cm2). B A C 分析：目前图中没有直角三角形，因此要根据题意作出直角三角形. D 55° 20 cm 30 cm 要计算的是S△ABC，只要再计算得到CD(△ABC中AB边上的高)的长即可. 典型例题 例2 在△ABC中，∠A=55°，b=20 cm，c=30 cm，求三角形的面积S△ABC(精确到0.1 cm2). B A C D 55° 20 cm 30 cm 解：如图，作AB上的高CD.在Rt△ACD中， ∵CD=AC·sin A=b·sin A， ∴ S△ABC=AB·CD=bc sin A. 当∠A=55°，b=20 cm，c=30 cm时，有 S△ABC=bc sin A= 20×30 sin55° = 20×30×0.8192 ≈245.8(cm2). 三角形的面积等于一组邻边与其夹角正弦值积的一半. 核心必知 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a，b c2＝a2＋b2，tan A＝ ， ∠B＝90°－∠A 直角边a、斜边c b2＝c2－a2，sin A＝ ， ∠B＝90°－∠A 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，那么解直角三角形的基本类型及其解法总结如下表：(方法不唯一) 举一反三 类型 已知条件 解法 一边， 一锐角,   直角边a，∠A, ∠B＝90°－∠A，b＝ ， c＝ 斜边c，∠A ∠B＝90°－∠A， a＝csin A，b＝ccos A 举一反三 4．如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x m到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(　　) B 举一反三 5.【教材改编题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1)已知c＝2 ，∠A＝30°，求∠B，a，b； 解：∵∠C＝90°，∠A＝30°， 举一反三 (2)已知a＝5 ，∠A＝45°，求∠B，b，c. 解：∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°， 举一反三 6.【知识初练】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos A＝ ，则AB的长是________． 10 举一反三 7．[芜湖期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠BCD＝ ，AC＝12，则BC＝________. 9 举一反三 8. 【新情境】如图是小夏同学家的衣架示意图，已知AB＝AC＝18 cm，∠B＝α，则衣架的宽BC为(　　) A．36sin α cm B．36cos α cm C．18tan α cm D. B 举一反三 9．[六安月考]如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，BC＝3 ，则AC的长为________． 6 举一反三 解直角三角形 解直角三角形： 解直角三角形的依据： 在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 条件：①在直角三角形中； ②知道除直角外的至少两个元素； ③至少有一个元素是边. 勾股定理 两锐角互余 锐角三角函数 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，c＝2， ∴b＝＝＝， ∴sin B＝＝＝，∴∠B＝30°， ∴∠A＝90°－∠B＝60°. 4 A． m B． m C．x·sin α m D．x·cos α m ∴∠B＝60°，a＝c＝×2＝. ∵sin B＝，∴b＝csin B＝2×＝3. ∴∠B＝∠A，∴b＝a＝5， ∴c＝＝＝10. cm $