22.2.4三边关系判定两个三角形相似（课件）2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“三边关系判定两个三角形相似”核心知识点，通过回顾AA、SAS相似判定定理，类比全等三角形SSS定理，提出猜想并严谨证明，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光（网格三角形用勾股定理求边长）、数学思维（设k法及分类讨论题推理）、数学语言（标准答题模板规范表达），通过典型例题和易错点总结，助力学生提升推理能力与应用意识，教师可高效教学，学生易掌握判定方法。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第22章　相似形 22.2.4三边关系判定两个三角形相似 2026年8月6日 22.2.4 三边关系判定两个三角形相似 核心知识点总结 一、核心判定定理（SSS 边边边相似） 定理内容：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。 简称：三边成比例 → 三角形相似（SSS相似判定）。 核心特点：不需要任何角度条件，只通过边长比例即可判定相似，是唯一纯边长判定相似的方法。 适用场景：题干给出全部边长、网格三角形、坐标几何、边长比值条件充足的题型。 二、定理精准解读与判定步骤 使用SSS判定必须严格遵循排序对应法，避免对应边错乱： 1. 将两个三角形的三条边长分别从小到大排序； 2. 短边对短边、中边对中边、长边对长边； 3. 验证三组对应边的比值全部相等，即可判定相似。 关键结论：只要三组边比例统一，自动推出三个对应角相等。 三、万能解题方法：设k法（通用） 遇到连比、倍数关系边长，优先使用设k法： 1. 设小三角形三边与大三角形三边的比值为$$k$$； 2. 用含 $$k$$ 的式子表示所有对应边长； 3. 验证三边比值一致，完成SSS相似证明。 四、高频必考题型模型 1. 网格三角形模型（选择填空高频） 方格纸中两个三角形，无角度条件，只能用勾股定理求出所有边长，再用SSS判定相似，是中考经典题型。 2. 倍数边长模型 三角形三边同时扩大或缩小相同倍数，三边比例恒定，新三角形与原三角形相似。 3. 拆分边长比例模型 大三角形内部截取小三角形，分段给出边长，通过计算三边比例证明相似。 五、四大相似判定方法完整汇总（终极体系） 1. 平行线判定：有平行，直接得相似（最快、基础模型）。 2. AA角角判定：两组角对应相等，适用范围最广，万能首选。 3. SAS边角判定：两边成比例＋夹角相等，边角结合判定。 4. SSS边边边判定：三边全部成比例，纯边长判定，无角亦可证。 六、相似通用性质（全判定通用） 任意方法证得相似后，性质完全一致： 1. 对应角相等、对应边成比例； 2. 对应高、中线、角平分线、周长比 = 相似比； 3. 面积比 = 相似比的平方。 七、标准答题模板（考试直接默写） 证明： 由题意计算得：$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AC}{A'C'}=k$$ ∴ △ABC ∽ △A'B'C'（三边成比例的两个三角形相似） 八、高频易错点（考试重点扣分点） 1. 不排序直接比边：长短边对应混乱，比例算错，判定失效； 2. 只算出两组边比例相等，误以为可证相似，必须三组全部相等； 3. 相似比颠倒，导致周长、面积计算结果相反； 4. 网格题忘记用勾股定理求边长，无法找比例关系； 5. 混淆SSS相似与SSS全等：全等比值为1，相似比值为任意正数。 九、本节总结口诀 三边比例皆相等，SSS判定似三角。 先排长短再对比，无需角度证相似。 网格边长常用此，四法判定要熟记。 同比方平面积倍，相似性质永一致。 能否说出相似三角形的判定定理1和定理2？ 定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 还记得定理的证明思路吗？ 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． A B C A' B' C' D E 作辅助平行线　　　　 得到 证得 1 2 3 A' B' C' A B C 全等三角形 类比 相似三角形 B' C' A' A B C SSS定理 ， 特殊到一般 ∴ 全等三角形是相似三角形的特例. 3 猜想：三边对应成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在△ ABC与△A'B'C' 中， ， 求证：△ ABC与△A'B'C' 相似. B' C' A' A B C 4 ∠A=∠A' B' C' A' A B C 两个三角形三边对应成比例，要看这两个三角形是否相似，只需看其中两组对应边的夹角是否相等即可. 探究方法： 1.利用量角器度量对应角的大小； 2.通过平移让对应角重合，验证对应角的大小关系. 依据相似三角形的判定定理2 如何证明这两个三角形相似呢？ 5 分析 如图，在△ABC和△A'B'C'中， ， 求证：△ABC∽△A'B'C'． A B C A' B' C' 在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，构造△A'DE． D E 证明 6 A B C A' B' C' D E 证明 ∴ ． 又∵ ，A'D=AB， ∴ ， ． ∴DE=BC，A'E=AC． ∴△A'DE≌△ABC(SSS)． ∴△ABC∽△A'B'C'． 证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D=AB，过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E，则 △A'DE∽△A'B'C' . 7 反思 证明思路： A B C A' B' C' D E 截取A'D=AB 并添加平行线 构造相似 三角形 对应边 相等 DE=BC A'E=AC △A'DE≌△ABC SSS △A'DE∽△A'B'C' △ABC∽△A'B'C' 通过构造全等证相似 辅助线的价值：将△ABC平移到 △A'DE的位置. 8 1.【知识初练】△ABC与△A′B′C′中， ， 当 ＝________时，△ABC∽△A′B′C′. 1星题 基础练 举一反三 2．把△ABC经过下列变形，与原△ABC相似的是(　　) A．各边长都加2 B．各边长都减2 C．各边长都乘以2 D．各边长都平方 C 举一反三 相似三角形的判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 简记为：三边成比例的两个三角形相似． A B C A' C' B' 符号语言 ： 在△ABC 和 中， ∴ . △ABC∽ ∵ ， 11 典型例题 【例1】在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由. (1)AB=5，AC=3，∠A=45°，A'B' =10，A'C' =6，∠A' =45°； (2)∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B'=45°； (3)AB=2，BC= ，AC= ，A'B' = ，B'C' =1，A' C' = . 解：(1)∵ ， ， ∴ . ∵∠A=∠A' =45°， ∴△ABC∽△A'B'C'． 12 典型例题 【例1】在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由. (1)AB=5，AC=3，∠A=45°，A'B' =10，A'C' =6，∠A' =45°； (2)∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B'=45°； (3)AB=2，BC= ，AC= ，A'B' = ，B'C' =1，A' C' = . (2)∵ ∠B=180°(∠A+∠C) =180°(38°+ 97°) =45°， ∵∠A=∠A' =38°， ∴△ABC∽△A'B'C'． ∴ ∠B=∠B'= 45°， 13 典型例题 【例1】在△ABC和△A'B'C'中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由. (1)AB=5，AC=3，∠A=45°，A'B' =10，A'C' =6，∠A' =45°； (2)∠A=38°，∠C=97°，∠A'=38°，∠B'=45°； (3)AB=2，BC= ，AC= ，A'B' = ，B'C' =1，A' C' = . ∴△ABC∽△A'B'C'． (3)∵ ∴ ． 14 3．一个三角形的三边长之比为3∶4∶5，另一个三角形的最短边长为9，当另外两边长分别为________时，这两个三角形相似． 12，15 举一反三 4．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1， ，乙三角形木框的三边长分别为5， ，则甲、乙两个三角形________(填“相似”或“不相似”) 相似 举一反三 典型例题 【例2】如图，BC与DE相交于点O.问： (1)当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？ (2)当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE？ A B C D E O 分析 从图中可以看出，在△ABC与△ADE中，∠A=∠A，根据已学的三角形相似的判定定理“AA”，“SAS”，添加相关条件可得△ABC∽△ADE. 17 典型例题 【例2】如图，BC与DE相交于点O.问： (1)当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？ (2)当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE？ 解：(1)∵ ∠A=∠A， ∴ 当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE. (2) ∵ ∠A=∠A， ∴ 当AC∶AE=AB∶AD时， △ABC∽△ADE. A B C D E O 18 5．[深圳月考]如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．求证：△FDE∽△ABC. 证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点， ∴DE，FD，FE是△ABC的中位线． ∴DE＝ BC，FD＝ AB，FE＝ AC， ∴ ，∴△FDE∽△ABC. 举一反三 6.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列四个选项中的三角形，与△ABC相似的是(　　) A 举一反三 7.【立德树人·传统文化】在如图所示的象棋棋盘中(各个小正方形的边长均相等)，根据“马走日”的规则，若要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，则“马”下一步应落在(　　) A．①处 B．②处 C．③处 D．④处 B 举一反三 8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2，3)，B(0，1)，C(8，1)，请在图中找到点D，使△ABC∽△DEF，并说明理由． 举一反三 解：(7，2)或(7，4)． 举一反三 9. 【思维生长】如图①，O是△ABC内的任意一点，AD＝ AO，BE＝ BO，CF＝ CO，则△ABC∽△______，其相似比为________. 2星题 中档练 DEF 3∶2 举一反三 向“逆向推理”生长：在方格纸中，每个小方格的顶点叫作格点，以格点连线为边的三角形叫作格点三角形．如图②，请在边长为1的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF.如果△DEF与△ABC相似(相似比不为1)，那么△DEF的面积为________． 1 举一反三 向“分类讨论思想”生长：已知△ABC的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现要利用长为40 cm和60 cm的两根铁丝制作与△ABC相似的三角形框架．如果以其中一根铁丝为一边，从另一根铁丝上截取两段(允许有余料)作为另外两边，那么可以制作不同的三角形框架的截法有(　　) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 A 举一反三 点拨：当以60 cm长的一根铁丝为边时，不论与哪一条边是对应边都不满足条件．当以40 cm长的一根铁丝为边时，分三种情况讨论：①以40 cm长的铁丝作为三角形框架的最长边，设中长边的长为y1 cm，最短边的长为x1 cm， 则有 ∵ <60，∴此种截法符合题意． 举一反三 ②以40 cm长的铁丝作为三角形框架的中长边，设最长边的长为x2 cm，最短边的长为y2 cm，则有 ，解得x2＝48，y2＝16.∵48＋16>60，∴此种截法不符合题意．③以40 cm长的铁丝作为三角形框架的最短边，设最长边的长为x3 cm，中长边的长为y3 cm，则有 ，解得x3＝120，y3＝100. ∵120＋100>60，∴此种截法不符合题意．故选A. 举一反三 10．如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F， (1)求证：∠BAD＝∠CAE； ∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF， 即∠BAD＝∠CAE. 举一反三 (2)若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数； 解：∵△ABC∽△ADE，∴∠ABC＝∠ADE， ∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ADE＝∠ABE＋∠BAD，∴∠EBC＝∠BAD＝21°. 举一反三 (3)连接EC，求证：△ABD∽△ACE. 证明：由(1)知∠BAD＝∠CAE， ∵ ∴△ABD∽△ACE. 举一反三 相似三角形的判定定理3 相似三角形的判定定理3： 符号语言： 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例那么这两个三角形相似． 简记为：三边成比例的两个三角形相似． 在△ABC 和 中， ∴ . △ABC∽ ∵ ， A B C A' C' B' 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS ＝＝ ， ， ＝＝＝ 理由：由题易得AB＝＝2， AC＝＝2，BC＝8，DE＝＝， DF＝＝，EF＝4. ∴＝＝2，＝＝2，＝＝2， ∴＝＝，∴△ABC∽△DEF. ＝＝，解得x1＝，y1＝. ＋ ＝＝ ＝＝ 证明：∵＝＝， ＝＝. ＝，∴＝， $