14.3 角的平分线 （课时1） 教学设计 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦角的平分线，核心内容为尺规作图完整步骤（依据SSS全等）及性质定理（文字与几何表达）。课堂从复习角平分线定义入手，结合生活中量角器测量误差、工业零件无法对折等实际问题，自然引出精准尺规作图需求，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料亮点在于以问题链驱动探究，通过“截取等长线段证全等”“交点位置与半径关系”等问题，引导学生自主推导作图原理，培养推理意识。性质定理探究从测量观察到规范证明，强调“垂线段”细节，发展抽象能力与几何直观。助力学生理解知识本质，为教师提供逻辑清晰的教学路径，提升课堂效率。

14.3 角的平分线（课时1） 一、教学目标 1.掌握作已知角平分线的尺规作图完整步骤，理解作图理论依据为SSS全等判定； 2.探索并证明角平分线的性质定理，熟记文字、几何两种表达形式； 3.熟练运用角平分线性质解决线段相等类几何证明题. 二、教学重点及难点 重点：角平分线性质定理的理解，证明与直接应用. 难点：理解尺规作图中“大于为半径”的原理. 三、教学过程 【复习回顾】 教师提问：什么是角的平分线？指名学生口述定义. 学生回答：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做角的平分线. 教师出示图形，标注平分线，提问：生活中可以用哪些方法找到角平分线？ 学生自由发言：量角器度量、纸张对折. 拓展情境：工业零件无法对折、量角器测量存在误差，因此需要精准尺规作角平分线，引出本节课课题. 设计意图：复习基础定义，结合生活、生产实际创设问题，自然引出尺规作图学习任务，贴合课件开篇导入逻辑. 【探究新知】 探究1：尺规作已知角的平分线 问题1：是的平分线，是上任意一点，、分别在、上，当与满足什么关系时，？ 小组2分钟讨论，代表发言：当时，. 师生共同书写全等证明. 教师小结：角平分线上一点，在角两边截取等长线段，连接该点得到的两条线段相等. 设计意图：铺垫后续尺规作图的全等原理，为作弧取等长线段提供理论支撑，不能省略. 问题2：、在、，，点在角内且，求证点在的平分线上. 引导学生连接，独立完成证明. 教师过渡：结合问题1、2的结论，我们可以设计尺规作角平分线的方法. 【师生活动】 （1）教师结合前两个探究总结作图思路： ①在角两边取到顶点距离相等的点、； ②在角内部取到、距离相等的交点； ③连接顶点与，射线即为角平分线. （2）示范尺规作图，学生同步动手操作： 已知：，求作平分线. ①以为圆心，以适当长作弧，交于，于； ②分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在角内交于点； ③作射线，即为所求平分线. （3）教师提问答疑：为什么半径要大于？ 师生共同总结：①半径小于：两弧无交点； ②半径等于：交点落在线段上，不在角内部，无法作平分线； ③半径大于：两弧在角内部产生交点. （4）说理：连接、，由SSS可证，. 设计意图：依托前面两次探究结论讲解作图，理解操作不是机械步骤，而是全等推导结果，解决本节课重点. 探究2：角平分线的性质定理 【师生活动】 （1）教师出示探究：是的平分线，在上取、、，分别作、的垂线，垂足分别为与、与、与…，对比与，你发现什么？ 学生测量观察得出：，，… （2）猜想命题：角平分线上的点到角两边的距离相等. （3）教师示范命题完整拆分： 已知：平分，点在上，，，垂足分别为、. 求证：. （4）师生共同书写完整证明. （5）角平分线的性质定理 文字语言：角平分线上的点到角两边的距离相等； 几何语言：∵平分，，，∴. （6）易错提醒：“距离”特指垂线段，无垂直条件，不能使用本性质. 总结：证明几何命题的一般步骤 第一步：明确命题中的已知和求证. 第二步：根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 第三步：经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 设计意图：提炼通用证明模板，规范学生几何答题书写格式. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.尺规作角平分线：三步操作，依据SSS； 2.角平分线性质：角平分线上的点到角两边垂线段相等（必须有垂直）； 3.几何命题证明三步：分已知求证→画图→推理证明. 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3 角的平分线（课时2） 一、教学目标 1.准确理解、规范表述角平分线判定定理，抓住“角的内部”“垂线段距离相等”核心限定条件； 2.能利用角平分线判定定理证明两角相等，判断点是否在角平分线上； 3.掌握三角形三条角平分线交于一点，且该点到三边距离相等的结论并规范证明. 二、教学重点及难点 重点：角平分线的判定定理. 难点：综合运用性质、判定完成多步几何证明. 三、教学过程 【复习回顾】 教师出示图形，指名学生口述角平分线性质定理文字内容：角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 板书标准几何语言：平分，，，. 教师抛出两个关键易错提问，学生集体作答： （1）性质中“距离”指什么？答：点到角两边垂线段长度； （2）使用性质的两个必备条件？答：存在角平分线、存在垂直. 教师过渡：上节课是已知角平分线，证垂线段相等；今天反过来，已知点到角两边垂线段相等，能否证明该点在角平分线上？引出新课. 设计意图：巩固上节课核心知识点，通过逆向设问制造认知冲突，自然引出判定定理探究，搭建新旧知识逻辑桥梁. 【探究新知】 探究：角平分线的判定定理 【师生活动】 （1）教师引导交换性质的题设、结论，提出猜想：角内部到角两边距离相等的点，在角的平分线上. （2）规范拆分已知、求证： 已知：为内部一点，，，； 求证：点在的平分线上. （3）师生共同完成完整证明，同步板书. （4）师生共同归纳角平分线的判定定理： 文字语言：角的内部到角两边距离相等的点，在角的平分线上. 几何语言：在内部，，，，平分. （5）补充集合观点：角平分线（顶点除外）是角内部到两边距离相等的所有点的集合. 设计意图：依托HL直角三角形全等完成判定定理严谨证明，完整经历“猜想—已知求证—推理证明”几何命题研究流程，落实本节课核心新知. 【典型例题】例 （教材P51） 【师生活动】学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式. 教师用课件展示例题答案. 师生总结固定结论：三角形三条角平分线相交于内部一点（内心），该点到三边距离相等；反之，三角形内部到三边距离相等的点是三条角平分线交点. 设计意图：综合运用上节课性质、本节课判定定理，实现新旧知识融合；推导三角形内心核心结论，拓展定理综合应用场景. 教师给出角平分线应用两大误区 误区1：垂线段垂足不在角的两边 教师出示图片讲解：判定定理中距离必须是点向角两条边作垂线，垂足落在、上，垂足在平分线上不满足定义. 误区2：线段相等但无垂直条件 出示图片讲解：但、不垂直于角两边，不属于“点到角两边距离”，不能使用判定定理. 学生齐读两条使用前提：①有垂直；②垂足落在角的两条边上. 设计意图：直击考试高频丢分点，通过反例直观辨析，规范学生识图、审题标准. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.角平分线判定定理：角内部到两边距离相等的点在角平分线上（证角相等）； 2.性质VS判定：已知平分线证线段相等用性质；已知垂线段相等证平分线用判定； 3.三角形结论：三条角平分线交于一点，交点到三边距离相等. 学科网（北京）股份有限公司 $