13.2.2三角形的中线、角平分线、高（10大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版八年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形的中线、角平分线、高核心知识点，系统梳理定义、性质及位置规律，涵盖中线分面积相等、重心分比2:1，角平分线分角相等，高的位置与垂心特点，结合易错点解析与解题技巧，构建从概念到综合应用的学习支架。 该资料以10类题型分层设计，例题与变式题结合，通过“画高口诀”“面积转换”等技巧培养几何直观（数学眼光），综合题型强化推理能力（数学思维），助力教师课中分层教学，学生课后可通过实例巩固知识，查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 【新人教版】 【题型1 根据三角形中线求长度】.......................................................................................................................2 【题型2 根据三角形中线求面积】.......................................................................................................................5 【题型3 重心的概念】...........................................................................................................................................7 【题型4 三角形的角平分线】.............................................................................................................................12 【题型5 三角形的中线与角平分线综合】.........................................................................................................14 【题型6 画三角形的高】.....................................................................................................................................17 【题型7 与三角形的高有关的计算】.................................................................................................................19 【题型8 三角形的角平分线与高综合】.............................................................................................................22 【题型9 三角形的中线与高综合】.....................................................................................................................25 【题型10 三角形的中线、角平分线、高综合】...............................................................................................27 1. 三角形的高 · 定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 · 符号：AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC中BC边上的高。 · 位置规律 ①锐角三角形：三条高都在三角形内部，交点在内部； ②直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部，三条高交点为直角顶点； ③钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，一条高在内部，交点在三角形外部。 · 共性：任意三角形都有3条高，三条高所在直线必交于一点（垂心）。 2. 三角形的中线 · 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 · 核心性质： ①一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ②三条中线交点叫重心，重心始终在三角形内部； ③重心分中线的比：重心到顶点距离：重心到中点距离=2:1。 · 记法：D为BC中点，则BD=DC=1/2 BC，AD为BC边上中线。 3. 三角形的角平分线 · 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线。 · 性质：三条角平分线交于一点（内心），交点永远在三角形内部；平分对应内角，分得两角相等。 · 记法：AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC。 4. 通用总结 高、中线、角平分线均为线段，不是射线、直线；三类线段各有3条。 1.混淆概念：把高、角平分线当作直线/射线，三者本质都是线段； 2.钝角三角形画高，易错把外部高画在图形内部； 3.误以为中线平分角、角平分线平分边长； 4.忽略中线等分面积，解题不会用面积等量转换； 5.直角三角形易遗漏直角边本身就是高。 1.画高口诀：找准底边，过顶点垂直底边，钝角三角往外延长底边再作垂线； 2.面积题型：遇中线直接用“等底同高，面积对半”快速解题； 3.交点速记：垂心（高线交点）位置随三角形形状改变，重心、内心永远在内部； 4.几何证明：角平分线用等角代换，中线用线段等量代换，高线用直角条件推导垂直。题型一 根据三角形中线求长度 【例1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是理解三角形中线将对边平分；根据三角形中线的定义，点为的中点，因此，代入 即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ 是的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期末）在中，是边上的中线，于，于，若，，，则线段的长是（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 先根据三角形中线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，由此代值计算即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， ∵于，于， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质及周长的计算，解题的关键是利用中线得出，再结合周长差得到与的关系． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：由三角形中线可知，， ∴， 即①， ∵的周长L为长为， ∴，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得． 题型二 根据三角形中线求面积 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 【答案】8 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【详解】解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【答案】 30 4 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 【变式2-2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，是的中线，，若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了由三角形中线求三角形面积，根据三角形中线求出的面积，再利用已知可得，从而得到． 【详解】解：是的中线， ， ， ． ， ， ． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 【答案】 4 2 【分析】本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分是解题的关键． （1）根据三角形的中线性质，可得，再根据三角形的周长公式解答即可； （2）根据三角形的中线性质，可得的面积为32，的面积为16，以此类推，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为的中线， ∴， ∵，， ∴的周长与的周长的差为； 故答案为：4 （2）为的中线， ， 同理， ， ， ∴． 故答案为：2． 题型三 重心的概念 【例3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查重心． 根据重心的概念，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．由作图可知，为三角形的一条中线所在的直线，重心一定在直线上，不符合题意； B．为三角形的一条高所在的直线，重心不一定在直线上，符合题意； C．组合图形关于直线对称，重心一定在直线上，不符合题意； D．点为正方形的重心，点为长方形的重心，重心一定在直线上，不符合题意． 故选：B． 【变式3-1】（25-26八年级上·广西崇左·期末）在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质，熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的倍，以及中线将对边平分的性质是解题的关键．根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义，及三角形面积的计算． （1）延长，，分别交，，于点F，E，D，根据重心的定义可得分别为的中点，设，，，根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出结论； （2）根据（1）的结论，根据，即可求解； （3）根据（1）的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，延长，，分别交，，于点F，E，D， ∵点P是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）可得，，且 ∴ （3）解：依题意，是的重心， 由（2）可得，， ∵，， ， ∵， ， ，， ∴． 题型四 三角形的角平分线 【例4】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 【变式4-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，过D作交于点E，若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是通过角平分线与平行线的性质推出等角，进而判定等腰三角形． 由平分得，结合得，从而，判定为等腰三角形，得． 【详解】解：∵ 平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：C． 【变式4-2】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 【答案】13 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线得出等腰三角形，将的周长转化为． 由角平分线和平行线的性质得、，从而、；的周长可转化为，结合周长和AB的长度求出． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， 的周长为20， ， ， ． 故答案为：13． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线定义及平行线性质得，，再根据“等角对等边”得，，进而得，然后根据的周长为10得，由此即可得出BC的长． 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 题型五 三角形的中线与角平分线综合 【例5】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义即可求解； （2）根据中线的定义得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵为的角平分线，， ∴； （2）解：∵为的中线，， ∴， 设点A到边的距离为， ∵， ∴， 解得， ∴点A到边的距离为6． 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式5-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由是中线，可得的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解：为的角平分线，， ． （2）解：为的中线，， ． 设点到边的距离为，则， ， 故点到边的距离为12． 【点睛】本题考查了角平分线定义，中线定义，三角形面积公式，正确理解并运用角平分线和中线定义及面积公式是解本题的关键 题型六 画三角形的高 【例6】（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 【变式6-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高． 根据图示，线段的所对顶点为，结合高的画法“从三角形的一个顶点到它的对边所在直线作一条垂线段，”即可求解． 【详解】解：线段的所对顶点为， ∴线段是边上的高， 故选：C ． 【变式6-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形的一个顶点出发向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：、作出的是中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 、作出的是中边上的高，故本选项正确，符合题意； 、不能作出中边上的高，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式6-3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 题型七 与三角形的高有关的计算 【例7】（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高； 利用等面积法列式求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 故选：C． 【变式7-1】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解 【详解】解：，， ，即， ， 故选：B 【变式7-2】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识．根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：连接， ，，， ，则， 则， 故选：B． 【变式7-3】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1) ，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 题型八 三角形的角平分线与高综合 【例8】（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，涉及了三角形的高线和角平分线． 求出，进而得，结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式8-1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，于点，的角平分线交于点， 已知， 求的度数. 【答案】 【详解】本题考查了角的计算，三角形内角和定理，角平分线，高线的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据题意，易得， 可知的度数，利用三角形内角和定理，得， 结合角平分线，有， 即可得到结果． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 【变式8-2】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，已知是高，是角平分线，．求和的大小． 【答案】； 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线定义，直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 由是高可得的度数，再结合角平分线的定义可得的度数． 【详解】解：在中， ． 又， ． 是的平分线，， ． ． 题型九 三角形的中线与高综合 【例9】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴， 设中边上的高为， ∵的面积为， ∴， ∴. 【变式9-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 【变式9-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，是高，是中线．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式． 根据三角形的中线性质得出，再由面积公式求解即可． 【详解】解：∵，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式9-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，为的中线，于点E，若，，，则点C到直线的距离为________ 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，三角形面积计算，三角形中线，过点C作于点F，根据三角形面积公式求出，根据三角形中线的性质得出，根据三角形面积公式得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点C作于点F，如图所示： ∵，，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴点C到直线的距离为． 故答案为：． 题型十 三角形的中线、角平分线、高综合 【例10】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义判断即可． 【详解】解：∵是高线， ∴，故选项A正确； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确； ∵是中线， ∴，故选项C正确； 无法证明，故选项D错误． 【变式10-1】（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【答案】B 【详解】解：∵G为的中点， ∴，即是中边上的中线，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴是中的平分线，故B选项错误，符合题意； ∵于点H， ∴是中边上的高，故C选项正确，不符合题意； ∵，， ∴是的角平分线，是的高，故D选项正确，不符合题意． 【变式10-2】（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图， (1)是的中线（即点是的中点）， 有①________，②________． (2)如图是的角平分线， ③________． (3)是的高（） ④________ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据中线的性质，作答即可； （2）根据角平分线的定义作答即可； （3）根据高线的定义作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式10-3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，三角形面积公式．本题的关键应用三角形的角平分线、高和中线的定义，三角形外角的性质，三角形面积公式． （1）由三角形的外角性质计算出，由角平分线定义得到，由直角三角形的性质求出的度数为； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴． （2）∵为中线，， ∴， ∵的面积为48，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 【新人教版】 【题型1 根据三角形中线求长度】.......................................................................................................................2 【题型2 根据三角形中线求面积】.......................................................................................................................3 【题型3 重心的概念】...........................................................................................................................................4 【题型4 三角形的角平分线】...............................................................................................................................5 【题型5 三角形的中线与角平分线综合】...........................................................................................................6 【题型6 画三角形的高】.......................................................................................................................................7 【题型7 与三角形的高有关的计算】...................................................................................................................8 【题型8 三角形的角平分线与高综合】...............................................................................................................9 【题型9 三角形的中线与高综合】.....................................................................................................................10 【题型10 三角形的中线、角平分线、高综合】...............................................................................................11 1. 三角形的高 · 定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。 · 符号：AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC中BC边上的高。 · 位置规律 ①锐角三角形：三条高都在三角形内部，交点在内部； ②直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部，三条高交点为直角顶点； ③钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，一条高在内部，交点在三角形外部。 · 共性：任意三角形都有3条高，三条高所在直线必交于一点（垂心）。 2. 三角形的中线 · 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形这条边上的中线。 · 核心性质： ①一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ②三条中线交点叫重心，重心始终在三角形内部； ③重心分中线的比：重心到顶点距离：重心到中点距离=2:1。 · 记法：D为BC中点，则BD=DC=1/2 BC，AD为BC边上中线。 3. 三角形的角平分线 · 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线。 · 性质：三条角平分线交于一点（内心），交点永远在三角形内部；平分对应内角，分得两角相等。 · 记法：AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC。 4. 通用总结 高、中线、角平分线均为线段，不是射线、直线；三类线段各有3条。 1.混淆概念：把高、角平分线当作直线/射线，三者本质都是线段； 2.钝角三角形画高，易错把外部高画在图形内部； 3.误以为中线平分角、角平分线平分边长； 4.忽略中线等分面积，解题不会用面积等量转换； 5.直角三角形易遗漏直角边本身就是高。 1.画高口诀：找准底边，过顶点垂直底边，钝角三角往外延长底边再作垂线； 2.面积题型：遇中线直接用“等底同高，面积对半”快速解题； 3.交点速记：垂心（高线交点）位置随三角形形状改变，重心、内心永远在内部； 4.几何证明：角平分线用等角代换，中线用线段等量代换，高线用直角条件推导垂直。题型一 根据三角形中线求长度 【例1】（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【变式1-1】（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期末）在中，是边上的中线，于，于，若，，，则线段的长是（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【变式1-3】（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 题型二 根据三角形中线求面积 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【变式2-2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，是的中线，，若，求的面积． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川广安·期末）如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线． （1）若，，则的周长与的周长相差_____． （2）若的面积为64，则的面积为_____． 题型三 重心的概念 【例3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）平面图形的重心是指这个平面图形形状的匀质薄板的重心．下列图形中重心不一定在直线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·广西崇左·期末）在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则______． 【变式3-2】（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 题型四 三角形的角平分线 【例4】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，过D作交于点E，若，则（   ） A．2 B．1 C．3 D．6 【变式4-2】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 题型五 三角形的中线与角平分线综合 【例5】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，为的中线，为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【变式5-2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式5-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 题型六 画三角形的高 【例6】（25-26八年级上·北京朝阳·期末）下面四个图中，线段是的高线的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式6-2】（25-26八年级上·浙江台州·期末）作的边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 题型七 与三角形的高有关的计算 【例7】（25-26八年级上·重庆铜梁·期末）如图，，是的高，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【变式7-3】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 题型八 三角形的角平分线与高综合 【例8】（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，是的高，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，于点，的角平分线交于点， 已知， 求的度数. 【变式8-2】（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，已知是高，是角平分线，．求和的大小． 题型九 三角形的中线与高综合 【例9】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【变式9-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式9-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，是高，是中线．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【变式9-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，为的中线，于点E，若，，，则点C到直线的距离为________ 题型十 三角形的中线、角平分线、高综合 【例10】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26八年级上·湖南怀化·阶段检测）如图，中，，G为的中点，延长交于点E，F为边上一点，且于点H，下列说法错误的是（　　） A．是中边上的中线 B．是中的平分线 C．是中边上的高 D．是的角平分线和高 【变式10-2】（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）如图， (1)是的中线（即点是的中点）， 有①________，②________． (2)如图是的角平分线， ③________． (3)是的高（） ④________ 【变式10-3】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $