22.2.1相似三角形及平行线截相似三角形（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形定义、性质及平行线判定定理，通过复习相似图形与多边形导入，类比引出相似三角形概念，衔接上一节平行线分线段成比例知识，构建从比例到相似的递进学习支架。 其特色在于以A字型、8字型模型为核心，通过“找平行-定模型-写相似-列比例”解题步骤培养推理意识，结合易错点警示与口诀总结强化模型意识，例题与变式题助力学生规范解题，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第22章　相似形 22.2.1相似三角形及平行线截相似三角形 2026年8月6日 22.2.1 相似三角形及平行线截相似三角形 核心知识点总结 一、相似三角形的定义 三个角分别相等，三条边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 符号：∽，书写时顶点必须一一对应，顺序不能乱。 相似三角形对应边的比值，叫做相似比（记为\(k\)）。 重要关系：全等三角形是相似比 \(k=1\) 的特殊相似三角形。 二、相似三角形的基本性质 1. 对应角相等，对应边成比例； 2. 对应高、对应中线、对应角平分线的比 = 相似比； 3. 周长比 = 相似比； 三、核心判定定理（本节必考） 平行线判定相似定理（万能基础判定） 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 逻辑：有平行 → 直接出相似，是初中相似三角形最快、最基础的判定方法。 四、两大必考经典模型（平行线截相似） 1. A字型模型（正A） 在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(DE\)在三角形内部。 结论：\(\triangle ADE \backsim \triangle ABC\) 比例关系：$$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}$$ 特点：公共顶角，底边平行，小三角形∽大三角形。 2. 8字型模型（X型、对顶模型） 两直线相交，对顶处出现一组平行线段 \(AB\parallel CD\)。 结论：\(\triangle AOB \backsim \triangle DOC\) 比例关系：$$\dfrac{AO}{DO}=\dfrac{BO}{CO}=\dfrac{AB}{CD}$$ 特点：对顶角相等，平行得同位角相等，直接证相似。 3. 拓展：反A字型（斜A） 平行线在三角形外侧、延长线上，依旧满足平行条件，依然可以判定大小三角形相似。 五、与上一节知识点衔接 22.1.4 平行线分线段成比例：平行 → 线段成比例 本节相似判定：平行 → 三角形相似 递进关系：平行先推出线段比例，进一步直接判定三角形相似，是相似判定的第一条入口定理。 六、标准解题步骤（答题模板） 1. 找平行：找出题干中的平行线条件； 2. 定模型：判断是A字型还是8字型； 3. 写相似：严格按顶点对应写出三角形相似； 4. 列比例：根据对应边成比例列方程； 5. 求边长/周长/面积：利用相似性质计算。 七、高频易错点 1. 写相似三角形时顶点顺序不对应，导致对应边、对应角全部错误； 2. 误用面积比：直接用相似比算面积，忘记平方； 3. A字型、8字型混淆对应边，找错比例式； 4. 忽略延长线模型，认为平行线只能在三角形内部； 5. 相似比颠倒：小比大、大比小混淆，计算结果出错。 八、本节总结口诀 一线平行截三角，小大三形必相似。 A字八字是模型，顶点对应不能错。 线段同比面积方，平行证似最基础。 找准对应列比例，轻松解题不踩坑。 复习回顾 我们已经学过了相似图形、相似多边形，你能说出它们的概念吗？ 我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形． 一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形． 缩小 放大 你能类比相似多边形的概念说出相似三角形的概念吗？ 一般地，如果两个三角形的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个三角形叫做相似三角形． A B C A' B' C' 记作：△ABC∽△A'B'C' △ABC与△A'B'C'相似 读作：△ABC相似于△A'B'C' 3 A B C A' B' C' △ABC∽△A'B'C' 两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，通常把表示对应点的字母写在对应位置上. 例：写成△ABC∽△ A'B'C'表明对应关系是唯一确定的. 即A与A'，B与B'，C与C'分别对应. 如果仅说“这两个三角形相似”，没有用“∽”表示，则没有说明对应关系. 4 对于△ABC∽△A'B'C'，根据相似形的定义，应有 ∠A= ，∠B= ，∠C= ， ∠A' ∠B' ∠C' A B C A' B' C' = = . 思考 5 1.【知识初练】如图，已知△ABC∽△DEF，则∠A＝_____，______＝∠E，∠C＝________， ∠D ∠B ∠F BC DF 举一反三 2．[南京模拟]若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，AB＝3，则A′B′的长为________． 6 举一反三 A B C A' B' C' 思考 将△ABC与△A'B'C'的相似比记为k1，△A'B'C'与△ABC的相似比记为k2，则k1与k2的关系为 . △ABC与△A'B'C'的相似比是指AB∶A'B'= BC∶B'C'= AC∶A'C'= k1，而△A'B'C'与△ABC的相似比是指A'B'∶AB=B'C'∶BC= A'C'∶AC= k2，∴ 当且仅当这两个三角形全等时，才有k1=k2=1．因此，三角形全等是三角形相似的特例． 8 探究 A B C D E 如图，△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？ 分析 两个三角形相似的条件： ①对应角相等， ②对应边长度的比相等. 由平行线的性质可推出 由平行线分线段成比例定理可推出 9 A B C D E 过点D作DF∥AC，交BC于点F． 证明：在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A． ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C． ∵ DE ∥ BC，DF∥AC， ∴ . ∵ 四边形DFCE是平行四边形， ∴ DE=FC，即 . ∴ ． ∴△ADE∽△ABC. 证明 F 相似三角形的定义 10 思考 上述证明过程的辅助线，还有其他做法吗？ A B C D E 还有一种辅助线的做法 两直线平行， 同位角相等 ∠A＝∠A． ∠ADE＝∠B， ∠AED＝∠C． 添加辅助线 再次借助基本事实 A B C D E H △ADE∽△ABC 证明逻辑顺序： 基本事实 A B C D E F A B C D E H A B C D E 11 3．[亳州月考]已知△ABC∽△A1B1C1，如果∠A＝50°，∠B＝95°，那么∠C1等于(　　) A．50° B．95° C．35° D．25° C 举一反三 4．[芜湖期末]如图，已知△ADE∽△ACB，那么下列比例式成立的是(　　) A 举一反三 归纳 相似三角形判定定理的预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似． ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC A B C D E A D E B C A B C D E 常见基本图形 14 典型例题 【例】已知：DE∥BC，AE=50 cm，EC=30 cm，BC=70 cm， 求DE的长. A D B E C 解： ∵ DE ∥ BC ∴ △ADE∽△ABC ∴ 即 ∴ 15 核心必知 1．三个角分别________，三条边对应________的两个三角形叫作相似三角形．两个三角形相似，用符号“∽”表示，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 2．平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形__________． 相等 成比例 相似 举一反三 5. 【思维生长】如图，AB∥CD，若BO＝6，OD＝3，AB＝4，则CD的长是(　　) A. B．1 C．2 D．3 向“建模思想”生长：如图，AB∥CD∥EF，则图中相似的三角形有(　　) A．0对 B．3对 C．2对 D．1对 C B 举一反三 向“方程思想”生长：如图，AB为斜靠在墙壁AC上的长梯，梯脚B距墙1.5 m，梯上一点D距墙1.2 m，BD长0.5 m，则梯长AB为________m. 2.5 举一反三 向“等量转化”生长：如图，在△ABC中，点D为AC上一点，点E，F在边AB上，DE∥BC，DF∥CE，求证： 证明：∵DE∥BC，DF∥CE， ∴△AED∽△ABC，△AFD∽△AEC， 举一反三 平行线与相似三角形 相似三角形判定定理的预备定理： 常见基本图形： 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似． 平行线法 ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS ＝＝. A.＝＝ B.＝ C.＝＝ D.＝ ∴＝，＝，∴＝，∴＝. ＝. $