22.1.3比例的性质（课件）2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“比例的性质”，系统梳理比例基本概念、五大性质、比例中项及设k法，以地图比例尺算实际三角形周长问题导入，衔接相似形知识，搭建从具体情境到抽象性质的学习支架。 其亮点在于通过口诀总结性质规律，设k法破解比例计算，结合地图、黄金分割等实例培养数学眼光与应用意识，推导过程强化推理能力。学生能掌握解题方法并联系实际，教师可依托清晰结构与丰富例题提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第22章　相似形 22.1.3比例的性质 2026年8月6日 22.1.3 比例的性质 核心知识点总结 一、比例的基本概念 若四个数 \(a、b、c、d(b eq0,d eq0)\) 满足 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则称这四个数成比例。 \(a、d\) 为比例外项，\(b、c\) 为比例内项。 本节所有性质是解决比例计算、相似图形边长计算的核心工具。 二、五大核心比例性质（必考） 1. 基本性质（最常用） 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则 $$ad=bc$$。 反之：若 \(ad=bc\)，则 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$。 口诀：交叉相乘相等，是比例求值、解方程的万能方法。 2. 反比性质 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则 $$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$$。 含义：比例左右两边同时取倒数，比例仍然成立。 3. 更比性质 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则 $$\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$$（交换内项）。 也可写成：$$\dfrac{d}{b}=\dfrac{c}{a}$$（交换外项）。 作用：灵活调换比例结构，快速化简式子。 4. 合比性质 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则： $$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$$、$$\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}$$ 通俗理解：分子加减分母，分母不变，比例仍成立。 5. 等比性质（高频难题考点） 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{e}{f}=\dots=k$$，且 $$b+d+f+\dots eq0$$， 则 $$\dfrac{a+c+e+\dots}{b+d+f+\dots}=k$$。 核心考点：所有分子之和比所有分母之和 = 原来的比值。 易错前提：必须保证分母总和不为0，否则性质不成立。 三、比例中项（重点） 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$$，则 $$b^2=ac$$。 此时 \(b\) 叫做 \(a、c\) 的比例中项。 数的比例中项有正负；线段比例中项只取正数。 四、设 \(k\) 法（万能解题方法） 遇到连比、比例求值题，统一使用设 \(k\) 法，解题零失误： 1. 设 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dots=k$$； 2. 得 \(a=bk，c=dk\)； 3. 代入所求式子，消元求出结果。 适用题型：所有比例求值、分式化简、相似比计算。 五、考试高频易错点 1. 使用等比性质时，忽略分母和不为0的条件，直接套用公式扣分； 2. 混淆更比、反比性质，随意调换项导致比例错误； 3. 比例中项做题不区分数字与线段，出现负值错误； 4. 合比性质只记加忘记减，答题不完整。 六、性质总结口诀 交叉相乘最基础，倒数反比仍成立。 更比换位结构变，合比加减分母齐。 等比求和分母验，设k万能解比例。 在地图或工程纸上，都标有比例尺，现在一张比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边如图所示． 3 cm 4 cm 5 cm A B C 1∶5000 比例尺=图上长度∶实际长度 你能算出这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长吗？ 如果四个数a，b， c，d成比例，即 (bd≠0)， 那么 成立吗？ 等式两边同时乘以bd 等式两边同时除以bd 反过来也成立吗？ 归纳 比例的基本性质 如果 ，那么 (bd≠0)． 如果　 ，那么 (bd≠0)． 反之也成立，即 4 由 还可得到哪些比例式？ 思考 两边同时除以cd 两边同时除以ab 两边同时除以ac 等式的性质 (a，b， c，d ≠0) 探究 如果 ，利用等式的性质还可以得到其它比例的性质吗？ 等式两边同时加上1 归纳 合比性质 如果在等式 两边同时减去1，又得到什么呢？ 如果 ，那么 (bd≠0)． 等式两边同时减去1 分比性质 7 1.若 ，则mn的值为(　　) 1星题 基础练 C 举一反三 2．[六安期末]已知ax＝by≠0，那么下列比例式成立的是(　　) B 举一反三 探究 如果 ，且 ， 那么 成立吗？ 设 ，得 代入等式左边， 则 设k法 10 归纳 等比性质 如果 ，且 ， 那么 ． 注意成立的条件 现在你能解决前面提出的问题吗？ 11 在地图或工程纸上，都标有比例尺，现在一张比例尺为1∶5000的图纸上，量得一个△ABC的三边如图所示．这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少？ 3 cm 4 cm 5 cm A B C 解：根据题意，得 即 等比性质 又∵ ∴ 答：实际△A'B'C'的周长是600 m. 典型例题 【例1】已知：如图，在△ABC中， .　 求证：(1) ；(2) . D A B C E 提示 利用合比性质证明即可. 13 典型例题 【例1】已知：如图，在△ABC中， .　 求证：(1) ；(2) . D A B C E 证明：(1) ∵ ， ∴ . ∴ . 上 下 上 下 上比下等于上比下 全比下等于全比下 14 典型例题 【例1】已知：如图，在△ABC中， .　 求证：(1) ；(2) . D A B C E 证明：(2) ∵ ， ∴ . ∴ . 上 下 上 下 上比全等于上比全 ∴ ， ∴ . 15 3.[安庆期中]若 ，则 ＝(　　) C 举一反三 A 举一反三 典型例题 【例2】如图，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且使AB∶AP=AP∶PB．求线段AP的长和 的值． 　 解： 设AP=x，那么PB=ax．根据题意，得 a∶x=x∶(ax)， 即 x2+axa2=0. 解方程，得 . A P B 因为线段长度不能为负值，所以取 ， 即 . 于是 . 18 A P B 归纳 AB∶AP=AP∶PB 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 叫做黄金数． 黄金分割点 19 核心必知 1．基本性质：如果 ，那么ad＝________(b，d≠0)，反之也成立． bc 2．合比性质：如果 ，那么 (b，d≠0)． 举一反三 4．把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的__________，这样的线段分割叫作黄金分割，分割点叫作这条线段的黄金分割点，比值 叫作黄金数，又称为黄金比． 比例中项 举一反三 5．若5x＝7y，则下列等式不成立的是(　　) C 举一反三 C 举一反三 7．若 ＝ 3，且b＋d＋f＝2，则a＋c＋e＝_______． 6 举一反三 8.[淮北月考]地图上淮北到合肥的距离约为2.8 cm.比例尺是1∶10 000 000，那么淮北到合肥的实际距离约为(　　) A．2.8 km B．28 km C．280 km D．2 800 km C 举一反三 9．一个零件的直径是2 mm，在比例尺是20∶1的图纸上这个零件的直径是________cm. 4 举一反三 10. 【思维生长】P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，则有 ＝______≈________(黄金数)． PA PA 0.618 举一反三 向“实践应用”生长：大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美. 如图①，P为AB的黄金分割点(AP>PB). 如果BP的长度为4 cm，那么AP的长度为____________cm(结果保留根号)． 举一反三 向“勾股定理”生长：如图②，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形ABCD的边长为2 cm，笔画横钩“乛”与正方形对角线BD交于点E，点E为线段BD的黄金分割点，DE<BE，则DE的长度约为________cm(结果精确到0.1 cm)． 1.1 举一反三 比例的性质 比例的性质： 黄金分割： 基本性质 合比性质 等比性质 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 叫做黄金数． 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS A． B． C．15 D. ＝ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ A. B. C. D. ＝ 4．若＝，则的值为(　　) A. B. C.－ D.－ ＝ ＝ 3．等比性质：如果＝＝…＝，且b1＋b2＋…＋bn≠0，那么＝. ＝ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 6.已知＝＝(b＋d≠0)，则＝(　　) A. B. C. D. ＝＝ ＝ (2＋2) $