22.1.2成比例线段（课件）2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“成比例线段”核心知识点，涵盖线段的比、成比例线段定义、比例性质及黄金分割等内容。课堂导入通过观察正方形边长比、计算具体线段比实例，从具体到抽象搭建学习支架，衔接已有知识与新知。 其亮点在于结合实例培养数学眼光（抽象能力、几何直观），通过单位统一、比例验证等规范步骤及易错点分析发展数学思维（推理能力、运算能力），用总结口诀和分层练习强化数学语言（模型意识）。助力学生理解知识本质，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第22章　相似形 22.1.2成比例线段 2026年8月6日 22.1.2 成比例线段 核心知识点总结 一、线段的比 在同一长度单位下，两条线段长度的比值，叫做这两条线段的比。 若线段\(a\)、\(b\)的长度分别为\(m、n\)，则线段的比为：$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{m}{n}$$。 注意要点： 1. 线段的比是正数，无单位； 2. 求比时必须统一长度单位； 3. 线段的比有顺序，\(\dfrac{a}{b} eq\dfrac{b}{a}\)（\(a eq b\)）。 二、成比例线段的定义（核心） 对于四条线段\(a、b、c、d\)，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即： $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$ 那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 对应名称： 1. \(a、d\) 为比例外项，\(b、c\) 为比例内项； 2. \(d\) 叫做 \(a、b、c\) 的第四比例项。 关键规则：四条线段成比例，必须严格遵循顺序对应，顺序不同，比例关系不同。 三、比例的基本性质（必考公式） 1. 基本性质（交叉相乘） 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则 $$ad=bc$$（\(b eq0，d eq0\)）。 反之，若 \(ad=bc\)，则 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$。 2. 比例中项 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}$$，则 \(b^2=ac\)，此时 \(b\) 叫做 \(a、c\) 的比例中项。 线段的比例中项为正数，唯一正值。 3. 合比性质 若 $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$，则 $$\dfrac{a\pm b}{b}=\dfrac{c\pm d}{d}$$。 4. 等比性质 若$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dots=\dfrac{m}{n}(b+d+\dots+n eq0)$$， 则 $$\dfrac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\dfrac{a}{b}$$。 四、黄金分割（本节重点拓展） 把一条线段分成两条线段，使其中较长线段是原线段和较短线段的比例中项，这种分割叫做黄金分割。 设线段\(AB\)，点\(C\)为黄金分割点（\(AC>BC\)），则： $$AC^2=AB\cdot BC$$ 黄金比：$$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$$ 结论：一条线段有两个黄金分割点。 五、成比例线段判定步骤 1. 统一单位：将四条线段长度单位统一； 2. 从小到大排序：按长度排列为 \(a<b<c<d\)； 3. 验证比例：计算 \(\dfrac{\text{最小}}{\text{次小}}\) 和 \(\dfrac{\text{次大}}{\text{最大}}\)，比值相等即为成比例线段。 六、高频易错点 1. 忽略线段比的顺序性，随意调换线段位置导致比例错误； 2. 计算前未统一单位，造成比值计算失误； 3. 混淆比例中项与普通比例，忘记线段比例中项只取正数； 4. 等比性质使用时，未判断分母和是否为0，导致解题漏洞； 5. 误认为黄金比是近似值，做题优先使用 $$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$$ 准确值。 七、本节总结口诀 线段求比单位同，顺序不乱是关键。 交叉相乘判比例，中项平方积相等。 合比等比灵活用，黄金分割六一八。 观察思考 2 A B C D 4 A1 B1 C1 D1 观察正方形ABCD和正方形A1B1C1D1，说说 与 有什么关系？ 已知两条线段a，b，a=2.0 cm，b=1.5 cm，你能求出 吗？ 　　用同一单位长度去度量两条线段a，b，得到它们的长度， 我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比． 记作　或a∶b． 归纳 由于线段a，b的长度都是正数，所以k是正数； 两条线段的比与所选线段的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位要一致，k没有单位； 除了a=b外， 与 互为倒数． 设 1 2 3 4 1.【知识初练】已知线段AB＝10 cm，CD＝25 cm，则 ＝ ________． 1星题 基础练 举一反三 2.【易错题】[合肥月考]已知线段a＝2 cm，线段b＝6 m，那么a∶b等于(　　) A．1∶3 B．1∶300 C．3∶1 D．300∶1 B 易错点睛：此题易因求线段的比时没有统一单位而导致出错． 举一反三 已知四条线段a，b， c，d， a=2.0 cm，b=3.0 cm，c=4.0 cm，d=6.0 cm，你能说出 与 的关系吗？ 归纳 在四条线段a，b， c，d中，如果其中两条线段a，b的比，等于另外两条线段c，d的比，即 （ ），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 线段a，b， c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b， c叫做比例内项． 比例外项 比例内项 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a，b，c之间有，那么线段b叫做线段a，c的比例中项． 8 四条成比例线段的长度单位要统一； 成比例线段有顺序性. 注意 例：a，b， c，d是成比例线段，是指 ， 而不是 . a，d，c，b是成比例线段. 9 典型例题 【例1】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：　 (1) a＝4 cm，b＝6 cm，c＝5 cm，d＝10 cm； (2) a＝10 cm，b＝0.2 m，c＝30 mm，d＝6 cm. 分析 线段a、b、c、d是成比例线段 10 典型例题 【例1】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：　 (1) a＝4 cm，b＝6 cm，c＝5 cm，d＝10 cm； (2) a＝10 cm，b＝0.2 m，c＝30 mm，d＝6 cm. 解： (1) ∵ ∴ ∴ 线段a、b、c、d 不是成比例线段． 11 典型例题 【例1】判断下列线段a、b、c、d是否成比例线段：　 (1) a＝4 cm，b＝6 cm，c＝5 cm，d＝10 cm； (2) a＝10 cm，b＝0.2 m，c＝30 mm，d＝6 cm. 解： (2) ∵ b＝0.2 m=20 cm，c＝30 mm=3 cm， ∴　　　　　，　　　　　　　　　 ∴ 线段a、b、c、d 是成比例线段． 注意：求比时线段的长度单位必须统一. 12 3．如图，B是线段AC上一点，且线段AB∶BC＝2∶3，则线段AB∶AC＝________． 2∶5 举一反三 4.[合肥期末]下列各组线段中，成比例的是(　　) A．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm C．3 cm，5 cm，6 cm，9 cm D．1 cm，2 cm，4 cm，8 cm D 举一反三 典型例题 【例2】延长线段AB到点C，使BC=AB．求： (1)AC∶AB；　　 (2)AB∶BC ；　　(3)BC∶AC． (2) AB∶BC=1∶1 (3) ∵ AC=2BC ∴ BC∶AC=1∶2 解：(1) ∵ BC=AB ∴ AC=2AB ∴ AC∶AB=2∶1 15 核心必知 1．用同一个单位长度去度量两条线段a，b，得到它们的长度，我们把这两条线段________叫作这两条线段的比，记作 或a∶b. 长度的比 举一反三 2．在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a，b的_____等于另外两条线段c，d的______，即_______(或____________)，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段． 3．如果线段a，b，c之间有____________，那么线段b叫作线段a，c的比例中项． 比 比 a∶b＝c∶d a∶b＝b∶c 举一反三 5．已知四条线段a，b，c，d成比例，且a＝3，b＝2，c＝4，则d的长度为________． 举一反三 6. 【思维生长】已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为________． 向“二次根式”生长：已知线段a＝2，b＝2 ，线段b是线段a，c的比例中项，则线段c的长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．12 6 C 举一反三 7. 【新考法】小慧同学在学习了比例线段后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：__________． 2 2星题 中档练 举一反三 8.【分类讨论思想】已知三条线段的长分别为1 cm，2 cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为________________________． 易错点睛：此题易因没有分情况讨论导致漏解． 举一反三 举一反三 成比例线段 线段的比： 两条线段长度的比叫做这两条线段的比． 成比例线段： 四条线段a，b， c，d 满足 （或）， 那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 注意： 四条成比例线段的长度单位要统一； 成比例线段有顺序性. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS ＝ 思路点睛：根据题意得出a＝b，c＝b即可求解． 2 cm或 cm或 cm 点拨：设另外一条线段的长为x cm，有下列三种情况：①1∶2＝∶x，解得x＝2；②x∶1＝2∶，解得x＝；③1∶2＝x∶，解得x＝.综上，另外一条线段的长为2 cm或 cm或 cm. $