21.5.3 反比例函数的应用（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的应用，涵盖定义、图象性质及工程、行程等实际模型，通过实际问题导入，衔接函数概念，搭建从现实情境到数学建模的学习支架。 其亮点在于结合“数学眼光”观察实际问题（如压强与面积关系），“数学思维”推理函数性质（k值判断增减性），“数学语言”表达模型（解析式与图象分析）。梯度化题型和详细解析，助学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 二次函数与反比例函数 21.5.3反比例函数的应用 2026年8月6日 沪科版九年级上册21.5.3 反比例函数的应用同步练习题 本次练习聚焦21.5.3反比例函数的实际应用核心考点，重点考查工程问题、面积体积问题、行程问题、压强与电流等生活物理模型，掌握“定值乘积型”实际问题建模方法。主要题型包含根据实际情境列反比例解析式、利用函数求解变量值、根据自变量范围求最值、结合图象分析实际意义等，题型梯度合理、贴合中考考点，适配课后同步巩固、应用题专项突破与知识点复盘。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 工程总量一定时，工作效率\(y\)与工作时间\(x\)的函数关系为（ ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数 2. 已知矩形面积为定值24，设长为\(x\)，宽为\(y\)，则\(y\)关于\(x\)的解析式为（ ） A. \(y=24x\) B. \(y=\dfrac{24}{x}\) C. \(y=12x\) D. \(y=\dfrac{12}{x}\) 3. 一定质量的气体，压强\(P\)与体积\(V\)成反比例，当\(V=5\)时，\(P=8\)，则比例系数为（ ） A. 40 B. 1.6 C. 3 D. 13 4. 路程\(s\)一定，速度\(v\)与时间\(t\)成反比例，若提速后速度增大，则行驶时间会（ ） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 无法确定 5. 已知蓄水池总蓄水量固定，排水速度\(v\)与排水时间\(t\)的反比例函数图象特征为（ ） A. 第一象限双曲线 B. 第二象限双曲线 C. 第三象限双曲线 D. 第四象限双曲线 6. 电流公式\(I=\dfrac{U}{R}\)（电压\(U\)不变），下列说法正确的是（ ） A. 电阻越大，电流越大 B. 电阻越大，电流越小 C. 电流与电阻成正比例 D. 无函数关系 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 两种相关联的量，若__________一定，则这两个量成反比例函数关系。 8. 完成某项工程总量为60，工作效率为\(y\)，工作时间为\(x\)，函数解析式为__________。 9. 压力一定时，压强\(P\)与受力面积\(S\)成__________比例，面积越大，压强越__________。 10. 已知反比例应用模型\(y=\dfrac{30}{x}\)，当\(x=5\)时，对应的\(y=\)__________。 11. 从甲地到乙地路程固定，速度为\(40\mathrm{km/h}\)时用时3h，速度\(v\)与时间\(t\)的解析式为__________。 12. 长方体体积一定，底面积越大，高就越__________。 三、解答题（共52分） 13.（16分）某工地需要搬运120吨建材，全部搬运完成，设搬运效率为\(y\)（吨/时），搬运时间为\(x\)（小时）。（1）求\(y\)与\(x\)的函数解析式；（2）求自变量\(x\)的取值范围；（3）若每小时搬运6吨，需要多少小时完成；（4）若要求8小时内完成，每小时至少搬运多少吨。 14.（18分）一定质量的物体，压力恒定，压强\(P(\mathrm{Pa})\)与受力面积\(S(\mathrm{m^2})\)成反比例函数关系，已知\(S=0.2\mathrm{m^2}\)时，\(P=100\mathrm{Pa}\)。（1）求压强\(P\)与面积\(S\)的函数解析式；（2）当受力面积为\(0.5\mathrm{m^2}\)时，求压强大小；（3）若压强不超过\(50\mathrm{Pa}\)，求最小受力面积。 15.（18分）一辆汽车从县城开往乡镇，路程保持不变，汽车行驶速度\(v(\mathrm{km/h})\)与行驶时间\(t(\mathrm{h})\)成反比例关系。已知速度为\(60\mathrm{km/h}\)时，用时2h。（1）求\(v\)与\(t\)的函数解析式；（2）若行驶时间为1.5h，求行驶速度；（3）若限速\(80\mathrm{km/h}\)，求最短行驶时间。 参考答案及解析 一、选择题 1.B 解析：工作总量=效率×时间，乘积一定，二者成反比例函数关系。 2.B 解析：矩形面积\(xy=24\)，变形得反比例解析式\(y=\dfrac{24}{x}\)。 3.A 解析：反比例关系\(PV=k\)，代入数据得\(k=5\times8=40\)。 4.B 解析：路程定值，速度与时间成反比，速度增大，时间减小。 5.A 解析：速度、时间、水量均为正数，图象仅在第一象限。 6.B 解析：电压不变时，电流与电阻成反比，电阻越大，电流越小。 二、填空题 7. 乘积 解析：反比例函数核心定义，两变量乘积为定值。 8. \(y=\dfrac{60}{x}\) 解析：工作总量=效率×时间，变形可得解析式。 9. 反；小 解析：压力定值，受力面积越大，压强越小。 10. 6 解析：代入\(x=5\)，计算得\(y=6\)。 11. \(v=\dfrac{120}{t}\) 解析：总路程120km，速度与时间成反比例。 12. 小 解析：体积=底面积×高，定值乘积关系，底面积越大高越小。 三、解答题 13. 解：（1）由题意得\(xy=120\)，解析式为\(y=\dfrac{120}{x}\)；（2）时间为正数，取值范围\(x>0\)；（3）代入\(y=6\)，解得\(x=20\)，需要20小时；（4）代入\(x=8\)，得\(y=15\)，每小时至少搬运15吨。 14. 解：（1）设\(P=\dfrac{k}{S}\)，代入数据得\(k=20\)，解析式\(P=\dfrac{20}{S}\)；（2）\(S=0.5\)时，\(P=40\mathrm{Pa}\)；（3）\(P\leq50\)，解得\(S\geq0.4\mathrm{m^2}\)，最小面积为\(0.4\mathrm{m^2}\)。 15. 解：（1）总路程120km，解析式为\(v=\dfrac{120}{t}\)；（2）\(t=1.5\)时，\(v=80\mathrm{km/h}\)；（3）\(v\leq80\)，解得\(t\geq1.5\mathrm{h}\)，最短行驶时间1.5小时。 （字数：1212） k < 0 函数图象分别位于二、四象限； 在每一个象限内，y随x的增大而增大. k > 0 函数图象分别位于一、三象限； 在每一个象限内，y随x的增大而减小. 反比例函数 双曲线 回顾 下列反比例函数： (1)图象位于第一、三象限的是 ； (2)图象位于第二、四象限的是 . ④ ① ② ③ k > 0 函数图象分别位于一、三象限； k < 0 函数图象分别位于二、四象限. ① ② ③ ④ ④ ① ② ③ (3)若0<x1<x2，则y1<y2的函数是 ； (4)若x1<x2<0，则y1>y2的函数是 ； ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ k > 0 在每一个象限内，y随x的增大而减小； k < 0 在每一个象限内，y随x的增大而增大. ① ③ ② ④ 下列反比例函数： (3)若0<x1<x2，则y1<y2的函数是 ； (4)若x1<x2<0，则y1>y2的函数是 ； ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ① ③ ② ④ 下列反比例函数： (3)若0<x1<x2，则y1<y2的函数是 ； (4)若x1<x2<0，则y1>y2的函数是 ； ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ① ③ ② ④ 下列反比例函数： 例1 已知反比例函数的图象经过点A(2,6). (1)这个函数的图象位于第几象限？y随x的增大如何变化？ y随x的变化情况与哪个量有关？ 图象的位置由哪个量确定？ 点在图象上意味着什么？ 如何求这个量？ 点A的坐标满足函数解析式 待定系数法 k > 0 函数图象分别位于一、三象限； k < 0 函数图象分别位于二、四象限. k > 0 在每一个象限内，y随x的增大而减小； k < 0 在每一个象限内，y随x的增大而增大. 例1.已知反比例函数的图象经过点A(2,6). (1)这个函数的图象位于第几象限？y随x的增大如何变化？ 解： 设反比例函数的解析式为 ； ∵反比例函数的图象经过点A(2,6)； ∴ ，解得 ； ∴函数的图象分别位于第一、三象限， 在每个象限内，y随x的增大而减小. 解： 由(1)知反比例函数的解析式为 ； 分别将点B(3,4)， ，D(2,5)代入； 当 时， ，所以点B在反比例函数的图象上； 当 时， ，所以点C在反比例函数的图象上； 当 时， ，所以点D不在反比例函数的图象上. 例1.已知反比例函数的图象经过点A(2,6). (2)点B(3,4)， ，D(2,5)是否在这个函数的图象上？ 知识点1反比例函数图象和性质的应用 1.点(6，－1)在反比例函数y＝ (k≠0)的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是(　　) A．(－6，1) B．(6，1) C．(－3，－2) D．(－6，－1) 1星题 基础练 A 举一反三 2．已知反比例函数y＝ 与正比例函数y＝－ x的图象交于点(a，5)，则a＝______，k＝______，另一个交点坐标为______________． 【补充设问】反比例函数值大于正比例函数值时，x的取值范围为__________________． －3 －7 (3，－5) －3<x<0或x>3 举一反三 例2.如图，它是反比例函数 图象的一支， 根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ k > 0 函数图象分别位于一、三象限. 图象的另一支位于第三象限 例2.如图，它是反比例函数 图象的一支， 根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ 解:(1)∵这个函数的图象的一支位于第一象限 ∴另一支必位于第三象限 ∵这个函数的图象位于第一、三象限 ∴ ，即 例2.如图，它是反比例函数 图象的一支， 根据图象，回答下列问题： (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ k > 0 在每一个象限内，y随x的增大而减小. x1 x2 y1 y2 A B y1<y2 k > 0 在每一个象限内，y随x的增大而减小. x1 x2 y1 y2 A B y1<y2 例2.如图，它是反比例函数 图象的一支， 根据图象，回答下列问题： (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ 例2.如图，它是反比例函数 图象的一支， 根据图象，回答下列问题： (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1,y1)和点B(x2,y2).如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？ 解：(2)∵ ∴在这个函数图象的任一支上， y随x的增大而减小 ∴当 x1>x2时，y1<y2 例3 已知反比例函数 . (1)如果这个函数图象经过点(–3，5)，求k的值； (2)如果这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而减小，求k的范围. 解：(1)因为函数图象经过点(–3，5)，代入函数的表达式，得 解这个方程，得k= –7. (2)根据题意，有2k–1＞0. 解这个不等式，得 方法归纳 k > 0 函数图象分别位于一、三象限； 在每一个象限内，y随x的增大而减小. k < 0 函数图象分别位于二、四象限； 在每一个象限内，y随x的增大而增大. 数形结合 3．苏州期中 如图，一次函数y＝mx＋2的图象与反比例函数y＝ (k≠0)的图象交于A(a，3)，B(－3，b)两点，与x轴交于点C(－2，0)． (1)求反比例函数的表达式； 举一反三 举一反三 举一反三 知识点2反比例函数的比例系数k的几何意义 4.知识初练 如图，矩形OABC的顶点B及△DOE的顶点D都在反比例函数y＝ (x>0)的图象上．若S矩形OABC＝6，则k＝________，S△DOE＝________． 6 3 举一反三 B 举一反三 －8 举一反三 －4 举一反三 (－2，－4) 2星题 中档练 举一反三 举一反三 10．[淮北模拟]如图，直线y1＝mx与双曲线y2＝ 交于点A，B，过点A作AP⊥x轴，垂足点P的坐标是(－2，0)，连接BP，且S△ABP＝4. (1)求正比例函数y1＝mx和反比例函数y2＝ 的表达式； 解：过点B作BD⊥AP于点D，交y轴于点E，如图． 因为点P的坐标为(－2，0)， 所以OP＝2，根据题意，得点A，B关于原点对称， 举一反三 易知BE＝DE＝OP＝2，所以BD＝4. 因为S△ABP＝4，所以 AP·4＝4，所以AP＝2， 所以点A的坐标为(－2，－2)， 将(－2，－2)代入y1＝mx，得m＝1， 所以正比例函数y1＝mx的表达式为y1＝x. 将(－2，－2)代入y2＝ ，得k＝4， 所以反比例函数y2＝ 的表达式为y2＝ . 举一反三 (2)当y1<y2时，求x的取值范围． 解：由(1)可知点B的坐标为(2，2)，点A的坐标为(－2，－2)， 由图象可知，当x<－2或0<x<2时，y1<y2. 举一反三 【方法指导】 【核心点】利用平行线的性质、对称变换、割补思想等几何知识，以及k的几何意义，将面积进行等量转化． 举一反三 反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象和性质： 反比例函数的图象和性质： 过反比例函数 (k≠0)图象上一点作坐标轴的垂线，则该点、垂足与坐标轴上任意一点构成的三角形面积等于 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS 解：把C(－2，0)的坐标代入y＝mx＋2， 得0＝－2m＋2，解得m＝1. 所以一次函数的表达式为y＝x＋2. 在y＝x＋2中，当y＝3时，x＝1，所以A(1，3)． 把A(1，3)的坐标代入y＝(k≠0)，得3＝， 解得k＝3，所以反比例函数的表达式为y＝. (2)观察图象，直接写出不等式mx＋2≥的解集． －3≤x<0或x≥1. 5. 下列各图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影部分的面积为1.5的是(　　) 6．合肥校级模拟 如图，等腰直角三角形AOB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y＝(x＜0)的图象上，△AOB的面积为8，则k的值为________． 7．如图，A是反比例函数y＝(x<0)图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C，D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则 k＝________. 8．盐城三模在平面直角坐标系中，直线y＝kx(k≠0)与双曲线y＝相交于点A，B.若点A的横坐标为2，则点B的坐标为________． 9. 深圳三模 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x>0)的图象与一次函数y＝x－2的图象交于点P(m，n)，则代数式－的值为______________________． － $