专题09直角三角形性质与锐角三角函数暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

专题09直角三角形性质与锐角三角函数暑假预习讲义 ① 掌握直角三角形基础几何性质：直角三角形两锐角互余；斜边中线等于斜边的一半；勾股定理边角关系式；30°直角三角形短直角边为斜边一半，快速进行边长、角度基础换算。 ② 识别直角三角形判定方法：两角互余可判定直角三角形；三边满足勾股逆定理判定直角三角形。 ③ 明晰正弦、余弦、正切定义：锁定直角三角形锐角的对边、邻边、斜边，准确写出sin A、cos A、tan A表达式，杜绝对边邻边混淆。 ④ 熟记30°、45°、60°特殊角三角函数值，可以直接口算求值，能够由三角函数值反推锐角度数。 ⑤ 掌握同角、互余两角三角函数关系：sin2A+cos2A=1；sin A=cos(90-A)，用于式子化简与简单计算。 ⑥ 会利用三角函数直接求解直角三角形边角：已知两边求锐角，已知一边一锐角，求出剩余边长与角度。 ⑦ 学会结合图形标注边角条件，依托直角三角形性质+三角函数完成简单几何计算，为实际应用题型铺垫。 ⑧ 高频易错点：三角函数对边邻边判断颠倒、特殊角数值记混、斜边中线性质使用条件遗漏、勾股定理斜边直角边区分错误。 预习必备 知识梳理 1.直角三角形的定义与表示 2.直角三角形的性质 3.直角三角形判定方法 4.锐角三角函数基本定义 5.正弦、余弦、正切定义 6.同一个锐角的三角函数关系 7.特殊角的三角函数值 8.易错易混点 常考题型 精讲精练 1.斜边中线等于斜边的一半 2.含30度角的直角三角形 3.正弦的概念辨析 4.求角的正弦值 5.已知正弦值求边长 6.余弦的概念辨析 7.求角的余弦值 8.已知余弦求边长 9.正切的概念辨析 10.求角的正切值 11.已知正切值求边长 12.特殊三角形中的三角函数 13.特殊角三角函数值的混合运算 14.特殊三角函数值判三角形形状 15.由特殊角函数值求角度 16.由角度比较三角函数值大小 17.三角函数值判锐角取值范围 18.由同角三角函数关系求值 19.求证同角三角函数关系式 20.互余两角三角函数的关系 21.三角函数综合 强化题型 解答题10题 知识点01:直角三角形定义与符号 定义：有一个角是直角90的三角形叫做直角三角形。 边角名称：夹直角的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边。 表示方法：Rt△ABC， ∠C=90 内角特点：直角三角形只有一个直角，另外两个均为锐角。 知识点02:直角三角形的性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 边的性质（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 a² + b² = c²（a,b 为直角边，c 为斜边） 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点03：直角三角形判定方法汇总 判定类型 判定内容 角判定 1 有一个内角是90的三角形是直角三角形 角判定 2 有两个角互余的三角形是直角三角形 边判定 1（勾股逆定理） 三边满足 a2+b2=c2，三角形为直角三角形，c所对为直角 中线判定 三角形一边上的中线等于这条边的一半，该三角形为直角三角形 知识点04：锐角三角函数基本定义（核心必考） 适用前提：仅限直角三角形中的锐角 任意锐角均有固定的三角函数值，与三角形大小无关，仅与角度大小有关。 三大函数严格定义（以 Rt△中∠A 为例）： 正弦sin =； 余弦cos =； 正切tan =。 取值范围：锐角三角函数恒为正数，0<sin A<1、0<cos A<1、tan A>0。 核心性质 同角三角函数关系：sin2 A +cos2 A = 1；互余角关系：sin A =cos (90-A)、cos A =sin(90-A)。 知识点05：正弦、余弦、正切定义 三角函数 文字定义 公式表达式 比值构成 正弦 sin A 锐角对边比斜边 sinA​ 对边 ÷ 斜边 余弦 cos A 锐角邻边比斜边 cosA 邻边 ÷ 斜边 正切 tan A 锐角对边比邻边 tanA== 对边 ÷ 邻边 知识点06：同一个锐角的三角函数关系（高频推导） 1.同角三角函数关系 在同一个锐角 A 中： （1）平方关系 sin2A+cos2A=1 （2）商数关系 tanA= 2.互余两角三角函数关系（必考） 互余公式 若∠A+∠B=90，则： 口诀：正余互换、互余相等 知识点07:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 1.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 2.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点08：易混易错汇总表格 易错点 错误写法 / 理解 正确说明 边角识别 随便套用对边、邻边 必须锁定目标锐角，区分对边、邻边、斜边 书写格式 sin A= 正弦：对边 ÷ 斜边，不要颠倒 符号混淆 sin A2 等同于 sin2A sin2A=（sinA)2，不是sin(A2) 增减性 角度变大，余弦变大 锐角增大，余弦减小 互余公式 sin A=sin(90-A) 正确：sin A=cos(90-A) 题型1.斜边中线等于斜边的一半 【典例】如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接， ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点D是的中点， ∴在中，（米）， 即，两点间的距离为4米． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，若，则的长为___________． 【答案】2 【分析】先求出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵在中，点是斜边的中点， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用平行四边形对角线互相平分得，结合推出，即为等腰三角形；再结合是中点，得，在中，是斜边中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可求． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，对角线互相平分，． 已知，则， 得， 是等腰三角形． 为中点， 等腰中，中线， ， 即是直角三角形． 又为的中点， 在中，斜边中线． ， ． 题型2.含30度角的直角三角形 【典例】在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】过点作于点，求出，的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的中线，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴的面积为． 【跟踪专练1】如图，若，，则的长度为（     ） A．90 B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点作于点，再利用等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，以及勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ． ，，， ，为的中线， ． 在中，， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，可得每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环，进而可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，，， ∴按此规律继续旋转，每旋转一次，的长度依次增加，，，且三次一循环， ∵， ∴． 题型3.正弦的概念辨析 【典例】在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形锐角三角函数的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵在中，，a、b、c分别是、、的对边， 如图： 根据锐角三角函数定义： 对选项A，，不正确， 对选项B，，不正确， 对选项C，，正确， 对选项D，，不正确． 【跟踪专练1】中，，，，则____． 【答案】6.5 【分析】直接利用锐角三角函数关系进而得出AB的值． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，BC=2.5，=， ∴， ∴AB=6.5． 故答案为6.5． 【点睛】锐角三角形正弦（sin）等于对边比斜边；=，正确掌握边角关系是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，若CD是斜边AB上的高，，则下列比值不等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据所给条件，结合正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：A、在中，，不符合题意； B、 ， ，不符合题意； C、在中，，不符合题意； D、在中， ，符合题意； 故选：D． 题型4.求角的正弦值 【典例】如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可； 【详解】，，， ， ． 【跟踪专练1】如图，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C都在格点上，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作于点D，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式求出，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作于点D， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由四边形是菱形，得，，，可得,再结合为的中点，得，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，. 题型5.已知正弦值求边长 【典例】在被誉为“珠三角绿肺”的圭峰山国家森林公园，众多登山爱好者沿着山坡步道前行．如图，一名登山爱好者沿着倾斜角为的山坡，从山脚点攀登到山顶点．若米，则这名登山爱好者上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∵米， ∴米． 【跟踪专练1】在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 【答案】 【分析】过点B作于点G，则，再由矩形的性质得，从而有；在中由正弦函数关系求得，由勾股定理求得，在中由正弦函数关系求得，即可求得矩形的面积． 【详解】解：如图，过点B作于点G，则， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴； ∵，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∴， 在中，， ∴， ∴矩形的面积为． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为_____． 【答案】48 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形．延长至E，使，连接，作于点F，证得，得到，，推导出．利用三角形函数求得，利用勾股定理求得，进而得到，利用面积计算公式解答即可． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接，作于点F． ∵四边形的内角和是，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：48． 题型6.余弦的概念辨析 【典例】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．由的值设，，利用勾股定理求，再根据的定义计算 【详解】解：∵在中，，若 ， ∴设，， 由勾股定理，， ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，，点在上，，，则的值是______． 【答案】/ 【分析】先由，，得到，再由勾股定理求出，即可求出的值． 【详解】解：，， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【点睛】考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记三角函数的定义及勾股定理是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】A．∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴cosB=， 故A不符合题意； B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意； C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=， ∵∠A≠45°， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BCD， ∴cosB≠， 故C符合题意； D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键． 题型7.求角的余弦值 【典例】如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为___． 【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形的边角关系，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 ，再根据求解即可． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由网格可知： ， ∴，即， ∴． 题型8.已知余弦求边长 【典例】在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义得到与、的关系，代入已知条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，根据锐角余弦的定义，得， 又∵，， ∴， ∴ ． 【跟踪专练1】如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是_________ 【答案】 【分析】本题考查了余弦的定义和勾股定理，熟知余弦的定义是解题的关键． 作轴于点B，如图，先根据余弦的定义求出，再利用勾股定理求出，进而得解． 【详解】解：作轴于点B，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图①，菱形的对角线与相交于点，，两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为，设运动的时间为秒，，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示，当点在段上运动且，两点间的距离最短时，，两点的运动路程之和为（ ）厘米． A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度． 四边形是菱形，由图象可得和的长，从而求出、和．当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时连线过O点且垂直于．根据三角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和． 【详解】解：由图可知，， ∵四边形为菱形 ∴ ∴ P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于． 此时，P、Q两点运动路程之和 ∵（厘米） ∴（厘米） 故选：A． 题型9.正切的概念辨析 【典例】在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ∵， ∴ 【跟踪专练1】如图，光源发出的一束光（y轴）上的点B的反射光线交x轴于点，再被平面镜（x轴），则直线的解析式为 ___________． 【答案】 【分析】根据反射定律，，设点，由，得到，得到直线的解析式，根据两直线平行k值相等，设直线的解析式为，将点代入，即可求解， 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、正切定义，解题的关键是：设出点B坐标． 【详解】解：设点B的坐标为，过点B作轴的垂线，过点A作垂直于该直线的垂线相交于点D，作，垂足为E， 根据反射定律，， ∴， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线和解析式中的k值相等， 设直线的解析式为，将点代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】作辅助线，用角α的正切解答，角α的正切等于角α的对边AC比角α的邻边BC． 【详解】如图，过点B作BC⊥AD于点C， 则∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24， ， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数里面的正切，熟练掌握正切的定义及算法是解决此类问题的关键． 题型10.求角的正切值 【典例】如图，在直角中，，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，确定的对边和邻边写出比值即可得到结果． 【详解】解：在中，． 【跟踪专练1】如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，利用网格得到线段的长度，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 根据图像可知：， ∴． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质、折叠的性质求得，进而求得，设，在中，利用勾股定理建立方程求得x的值，再由正切函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形沿直线折叠，使点D落在边上的F处， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，∵， ∴，解得， 即， ∴． 题型11.已知正切值求边长 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标是，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，则有，，然后通过，再求出的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 根据点在第一象限内，其坐标是， ∴，， ∵与轴正半轴的夹角的正切值为， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，在等边中，，是中线，E是的中点，点P是上一动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理． 如图，连接并延长交于点P，此时取得最小值为，根据三角函数求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点P，此时取得最小值为， 在等边中，∵是中线， ∴，， 则． ∴在中，， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由可求出，由可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型12.特殊三角形中的三角函数 【典例】如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正弦值，由图可得，，得出的度数，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：由图可得，，， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练1】已知α为锐角，且，则α等于____． 【答案】/40度 【分析】先根据特殊角的余弦值确定的度数，再求解α的值即可． 【详解】解：∵， 又∵α为锐角， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，为对角线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用菱形的性质求线段长，特殊三角形的三角函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用菱形的性质求得，再利用正弦求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，为对角线，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型13.特殊角三角函数值的混合运算 【典例】．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可． 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练1】计算： ________________． 【答案】 【分析】根据，的特殊锐角三角函数值，再代入原式，按照二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】若规定，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据规定，，利用特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 题型14.特殊三角函数值判三角形形状 【典例】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 【跟踪专练1】在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查锐角三角函数与等腰直角三角形的判定，掌握好特殊的锐角三角函数值是关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， ∵，且是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【跟踪专练2】在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ABC一定是等腰直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解． 题型15.由特殊角函数值求角度 【典例】．若，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，即． 故选：A． 【跟踪专练1】在锐角中，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性、特殊三角函数的值、三角形的内角和定理，能够根据三角函数值反推特殊角是解题的关键． 根据绝对值的非负性求出，，再根据特殊三角函数的值推出，，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， 即，， ∵是锐角三角形， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当方程有两个相等实数根时，判别式，据此求出的值，再结合特殊角的三角函数值即可得到锐角的度数． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 化简得， 解得， ∵为锐角， ∴， 故选D． 题型16.由角度比较三角函数值大小 【典例】以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数值的大小比较．利用互余角的三角函数关系将余弦值转化为正弦值，再根据锐角正弦函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：如图， 在中，，则， ∴， ∴， ∴，， ∵在范围内，正弦函数值随角度增大而增大，且， ∴， 即． 故选：B． 【跟踪专练1】比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了正弦、余弦的性质，掌握当锐角时，正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小是解题的关键． 根据正弦、余弦的性质求解即可． 【详解】解：∵正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小， ∴， ∴，即． 故答案为：<． 【跟踪专练2】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 题型17.三角函数值判锐角取值范围 【典例】已知为锐角，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，，，且正弦函数在锐角范围内单调递增，由此可推导的取值范围。 【详解】∵ ，，且当为锐角时，随的增大而增大， ∴ 由 ，得； 由，得 ； 故 ， 故选：A． 【跟踪专练1】已知，则锐角的取值范围是________． 【答案】0＜α≤30° 【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 【跟踪专练2】若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 题型18.由同角三角函数关系求值 【典例】在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同角的三角函数关系；根据正切定义设边长，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴设， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练1】已知是锐角，且，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系．利用同角三角函数的基本关系，由设 ，，再根据求出的值，最后计算 【详解】解：依题意，， 则， ∵，且为锐角， ∴设，，其中 ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ， 解得 因此，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得，，再根据即可求解． 【详解】解：∵在中，，是边上的高，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：C． 题型19.求证同角三角函数关系式 【典例】．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 【跟踪专练1】下列结论中（其中，均为锐角），正确的是___________．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 题型20.互余两角三角函数的关系 【典例】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质及互余角的三角函数关系，熟练掌握“直角三角形中，两锐角互余，且一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值”是解题的关键． 利用直角三角形中两锐角互余的性质，结合互余角的三角函数关系（）来求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】已知，，则_____________． 【答案】/ 【分析】应用互余两角三角函数的关系进行计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握互余两角三角函数的关系进行求解是解决本题的关键． 【跟踪专练2】三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键． 题型21.三角函数综合 【典例】规定：，，，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式． 【详解】解：依题意，①，故此结论正确； ②，故此结论正确； ③，故此结论正确； ④，故此结论错误． ∴正确的结论有3个， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则______．    【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．先证明、、、四点共圆，推出，过点作于点，利用平行线分线段成比例定理得到，由勾股定理得到，再由正弦函数即可求解． 【详解】解：，， ， 由折叠性质得， ， 、、、四点共圆， ， 过点作于点，   ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ， 故答案为： 【跟踪专练2】光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数相关计算，根据，求得，进而将代入，进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴，， ∵ ∴ 故选：D． 解答题 1．在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且， (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴对称的性质可得，即，再根据菱形的性质可得，进而求得，再根据等腰三角形的性质求解即可； （2）利用勾股定理可得，再利用平行线的性质、等边对等角以及等量代换可得，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 【答案】(1)证明：， ， ， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由得到，结合，即可得证； （2）过点作于点，根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的性质得到，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 四边形是平行四边形， ， 平分，，， ， ， ， ． 3．如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，求点C到的距离． 【答案】(1)证明：， ， ． ， ， ， 又，， ． (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等得到，再结合，，由即可证明； （2）过点C作于点H，由勾股定理求出，再根据，即可求点C到的距离． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作于点H． ， ，， ， ， ， ， ∴点C到的距离为． 4．如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，且与的长度之比为，过点作于点，交于点，连接． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质求出，，结合勾股定理求出，，进一步得出，，根据菱形的性质即可求解； （2）根据直角三角形的性质得出，推得，根据余弦的定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵菱形的周长为， ∴． 根据题意可得， 故， 令，， 在中，， 故， ∴，， ∴，． 对于菱形，， 即， 解得， ∴的长为． （2）解：∵，点是的中点， 故， 即， 在中，， 在中，， 故， 即． 5．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 6．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)7 (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 7． 解答下列各题∶ (1)化简求值∶ (2)在中，，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式化简，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行求解即可； （2）根据，再根据二次根式性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵中，， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴ ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上分析可知：． 8．阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形，利用给出的三角函数公式，将普通三角形通过作辅助线构造成特殊的直角三角形是解题的关键． （1）利用代入特殊值即可求解； （2）作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足，利用三角函求出相应线段的长即可求出的长； （3）利用进行求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：作的垂直平分线l交于点M，连接，过点A作，N为垂足， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，且， ∴， ∴ ． 9．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 10．在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 已知矩形纸片中，，三位同学进行如下操作： (1)小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，折痕的另一端点在边上，此时，则________； (2)小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点落在上的点处，折痕的另一端落在边上，若，求的长； (3)大刚的折纸如图3，分别将和沿，翻折，点，的对应点分别为点，，且，，三点共线，平分，求的度数及的长． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由折叠可得，，推出，得到，最后根据折叠的性质和四边形的内角和即可求解； （2）根据三角函数求出，得到，根据折叠可得，由三角函数求出，即可求解； （3）延长，交于点，根据平分和折叠的性质可求出的度数，推出和均为等腰直角三角形，得到，，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 由折叠可得，，， ， ， ， ； （2），， ， 又， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ； （3）如图，延长，交于点， 平分， ， 由折叠的性质可知，，，． ， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， ，，， 即， ． 11．在正方形中，为上的任意一点，于点． (1)如图1，作于点，求证：； (2)如图2，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)6 【分析】（1）证明，得出，即可证明； （2）如图，作交于点，在中，根据，得出，再根据勾股定理求出，由（1）得：，，再根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作交于点， 在中，， ， ， 同（1）得：， 则，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09直角三角形性质与锐角三角函数暑假预习讲义 ① 掌握直角三角形基础几何性质：直角三角形两锐角互余；斜边中线等于斜边的一半；勾股定理边角关系式；30°直角三角形短直角边为斜边一半，快速进行边长、角度基础换算。 ② 识别直角三角形判定方法：两角互余可判定直角三角形；三边满足勾股逆定理判定直角三角形。 ③ 明晰正弦、余弦、正切定义：锁定直角三角形锐角的对边、邻边、斜边，准确写出sin A、cos A、tan A表达式，杜绝对边邻边混淆。 ④ 熟记30°、45°、60°特殊角三角函数值，可以直接口算求值，能够由三角函数值反推锐角度数。 ⑤ 掌握同角、互余两角三角函数关系：sin2A+cos2A=1；sin A=cos(90-A)，用于式子化简与简单计算。 ⑥ 会利用三角函数直接求解直角三角形边角：已知两边求锐角，已知一边一锐角，求出剩余边长与角度。 ⑦ 学会结合图形标注边角条件，依托直角三角形性质+三角函数完成简单几何计算，为实际应用题型铺垫。 ⑧ 高频易错点：三角函数对边邻边判断颠倒、特殊角数值记混、斜边中线性质使用条件遗漏、勾股定理斜边直角边区分错误。 预习必备 知识梳理 1.直角三角形的定义与表示 2.直角三角形的性质 3.直角三角形判定方法 4.锐角三角函数基本定义 5.正弦、余弦、正切定义 6.同一个锐角的三角函数关系 7.特殊角的三角函数值 8.易错易混点 常考题型 精讲精练 1.斜边中线等于斜边的一半 2.含30度角的直角三角形 3.正弦的概念辨析 4.求角的正弦值 5.已知正弦值求边长 6.余弦的概念辨析 7.求角的余弦值 8.已知余弦求边长 9.正切的概念辨析 10.求角的正切值 11.已知正切值求边长 12.特殊三角形中的三角函数 13.特殊角三角函数值的混合运算 14.特殊三角函数值判三角形形状 15.由特殊角函数值求角度 16.由角度比较三角函数值大小 17.三角函数值判锐角取值范围 18.由同角三角函数关系求值 19.求证同角三角函数关系式 20.互余两角三角函数的关系 21.三角函数综合 强化题型 解答题10题 知识点01:直角三角形定义与符号 定义：有一个角是直角90的三角形叫做直角三角形。 边角名称：夹直角的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边。 表示方法：Rt△ABC， ∠C=90 内角特点：直角三角形只有一个直角，另外两个均为锐角。 知识点02:直角三角形的性质 性质 内容 几何语言 图示 角的性质 直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 边的性质（勾股定理） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 a² + b² = c²（a,b 为直角边，c 为斜边） 斜边中线性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在Rt△ABC中.若∠C=90°，D为AB中点,则CD=AB 30°角性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 在Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°，则BC=AB 知识点03：直角三角形判定方法汇总 判定类型 判定内容 角判定 1 有一个内角是90的三角形是直角三角形 角判定 2 有两个角互余的三角形是直角三角形 边判定 1（勾股逆定理） 三边满足 a2+b2=c2，三角形为直角三角形，c所对为直角 中线判定 三角形一边上的中线等于这条边的一半，该三角形为直角三角形 知识点04：锐角三角函数基本定义（核心必考） 适用前提：仅限直角三角形中的锐角 任意锐角均有固定的三角函数值，与三角形大小无关，仅与角度大小有关。 三大函数严格定义（以 Rt△中∠A 为例）： 正弦sin =； 余弦cos =； 正切tan =。 取值范围：锐角三角函数恒为正数，0<sin A<1、0<cos A<1、tan A>0。 核心性质 同角三角函数关系：sin2 A +cos2 A = 1；互余角关系：sin A =cos (90-A)、cos A =sin(90-A)。 知识点05：正弦、余弦、正切定义 三角函数 文字定义 公式表达式 比值构成 正弦 sin A 锐角对边比斜边 sinA​ 对边 ÷ 斜边 余弦 cos A 锐角邻边比斜边 cosA 邻边 ÷ 斜边 正切 tan A 锐角对边比邻边 tanA== 对边 ÷ 邻边 知识点06：同一个锐角的三角函数关系（高频推导） 1.同角三角函数关系 在同一个锐角 A 中： （1）平方关系 sin2A+cos2A=1 （2）商数关系 tanA= 2.互余两角三角函数关系（必考） 互余公式 若∠A+∠B=90，则： 口诀：正余互换、互余相等 知识点07:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 1.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 2.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点08：易混易错汇总表格 易错点 错误写法 / 理解 正确说明 边角识别 随便套用对边、邻边 必须锁定目标锐角，区分对边、邻边、斜边 书写格式 sin A= 正弦：对边 ÷ 斜边，不要颠倒 符号混淆 sin A2 等同于 sin2A sin2A=（sinA)2，不是sin(A2) 增减性 角度变大，余弦变大 锐角增大，余弦减小 互余公式 sin A=sin(90-A) 正确：sin A=cos(90-A) 题型1.斜边中线等于斜边的一半 【典例】如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【跟踪专练1】如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，若，则的长为___________． 【跟踪专练2】如图，在中，，，为的中点，为的中点，则的值为（   ）． A． B． C． D． 题型2.含30度角的直角三角形 【典例】在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【跟踪专练1】如图，若，，则的长度为（     ） A．90 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；…按此规律继续旋转，直到点为止，则等于_________． 题型3.正弦的概念辨析 【典例】在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】中，，，，则____． 【跟踪专练2】如图，在中，，若CD是斜边AB上的高，，则下列比值不等于的是（    ） A． B． C． D． 题型4.求角的正弦值 【典例】如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C都在格点上，则的值为______． 【跟踪专练2】如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（     ） A． B． C． D． 题型5.已知正弦值求边长 【典例】在被誉为“珠三角绿肺”的圭峰山国家森林公园，众多登山爱好者沿着山坡步道前行．如图，一名登山爱好者沿着倾斜角为的山坡，从山脚点攀登到山顶点．若米，则这名登山爱好者上升的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练1】在矩形中，点E是边上一点，连接，过A作于点F，若，，，则矩形的面积是______． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为_____． 题型6.余弦的概念辨析 【典例】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，点在上，，，则的值是______． 【跟踪专练2】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 题型7.求角的余弦值 【典例】如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为___． 【跟踪专练2】如图在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型8.已知余弦求边长 【典例】在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是_________ 【跟踪专练2】如图①，菱形的对角线与相交于点，，两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为，设运动的时间为秒，，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示，当点在段上运动且，两点间的距离最短时，，两点的运动路程之和为（ ）厘米． A． B． C．8 D． 题型9.正切的概念辨析 【典例】在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，光源发出的一束光（y轴）上的点B的反射光线交x轴于点，再被平面镜（x轴），则直线的解析式为 ___________． 【跟踪专练2】如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型10.求角的正切值 【典例】如图，在直角中，，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为________． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点F处，若，则的值（     ） A． B． C． D． 题型11.已知正切值求边长 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标是，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在等边中，，是中线，E是的中点，点P是上一动点，则的最小值是________． 【跟踪专练2】如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 题型12.特殊三角形中的三角函数 【典例】如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知α为锐角，且，则α等于____． 【跟踪专练2】如图，四边形是菱形，为对角线，，，则（    ） A． B． C． D． 题型13.特殊角三角函数值的混合运算 【典例】．的值等于（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】计算： ________________． 【跟踪专练2】若规定，则（   ） A． B． C． D． 题型14.特殊三角函数值判三角形形状 【典例】在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【跟踪专练1】在中，若，都是锐角，且，，则的形状是 __________ ． 【跟踪专练2】在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型15.由特殊角函数值求角度 【典例】．若，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】在锐角中，若，则的度数为________． 【跟踪专练2】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（） A． B． C． D． 题型16.由角度比较三角函数值大小 【典例】以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【跟踪专练2】比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型17.三角函数值判锐角取值范围 【典例】已知为锐角，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，则锐角的取值范围是________． 【跟踪专练2】若锐角满足，则锐角的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型18.由同角三角函数关系求值 【典例】在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知是锐角，且，那么的值为________． 【跟踪专练2】在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（　　） A． B． C． D． 题型19.求证同角三角函数关系式 【典例】．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列结论中（其中，均为锐角），正确的是___________．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【跟踪专练2】如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 题型20.互余两角三角函数的关系 【典例】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，，则_____________． 【跟踪专练2】三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型21.三角函数综合 【典例】规定：，，，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则______．    【跟踪专练2】光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且， (1)求的长． (2)求的值． 2．如图，在四边形中，，点在上，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，，则的值为_______． 3．如图，在中，，，，过点C作，使（点D在上方），过点D作，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，求点C到的距离． 4．如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，且与的长度之比为，过点作于点，交于点，连接． (1)求的长； (2)求的值． 5．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 6．计算： (1) (2) (3) (4) 7． 解答下列各题∶ (1)化简求值∶ (2)在中，，化简． 8．阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： 如图1， ． 一般地，当a、β为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：． 例如： ． 任务： (1)计算： _________； (2)如图2，在中，，求的长； (3)已知，且，求的值． 9．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 10．在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 已知矩形纸片中，，三位同学进行如下操作： (1)小红的折纸如图1，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，折痕的另一端点在边上，此时，则________； (2)小亮在小红的基础上又做了一次折叠，如图2，将纸片的另一端折叠，使得顶点落在上的点处，折痕的另一端落在边上，若，求的长； (3)大刚的折纸如图3，分别将和沿，翻折，点，的对应点分别为点，，且，，三点共线，平分，求的度数及的长． 11．在正方形中，为上的任意一点，于点． (1)如图1，作于点，求证：； (2)如图2，连接，若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $