第十四章 全等三角形（复习课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了全等三角形的概念、性质、判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及角平分线的性质与判定，通过知识图谱将全等形、判定定理、性质及应用串联，结合考点串讲模块构建完整知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于采用“题型全解-针对训练-易错复盘”模式，设计9类典型题型如添加条件得全等、角平分线综合应用等，通过具体题目培养学生的推理能力和几何直观，分层训练满足不同水平需求。帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

第十四章 全等三角形 复习课件 人教版·八年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解全等形、全等三角形定义；分清全等三角形的对应顶点、对应边、对应角；熟记角平分线相关概念，分清性质与判定。 02 工具掌握 能正确书写全等符号，找准全等三角形对应边角；熟练运用尺规作图：作一个角等于已知角、作角的平分线；规范几何证明的书写格式。 深化理解 掌握全等三角形性质；熟记全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，明白 “SSA” 不能判定全等；掌握角平分线性质与逆定理，知道三角形三条角平分线交于一点。 思想与应用 运用全等证明线段相等、角相等；会结合角平分线解决距离相关题型；体会转化思想，把线段、角相等问题转化为三角形全等证明；注意分类、检验，排除不成立情况。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，复杂图形中容易找错对应关系； 2.合理选择全等判定定理证明三角形全等，区分 “SSA” 不能判定全等，规范几何证明的推理步骤书写； 3.角平分线性质与判定的区分运用，分清 “距离” 是点到直线的垂线段长度； 4.综合题型：结合全等、角平分线进行线段、角度的推理计算，从复杂图形中提取出可证全等的基础三角形。 1.全等形、全等三角形的概念，全等三角形的性质； 2.三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL； 3.角平分线的性质；角平分线的判定； 4.会利用全等三角形证明线段相等、角相等，掌握尺规作角平分线。 4 知识图谱 全等三角形 边角边；角边角；角角边；边边边；斜边、直角边 全等形 角的平分线 应用 对应边相等，对应角相等 判定 性质 5 考点串讲 ——1：全等三角形的概念及性质 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.有关概念： ①对应顶点：点与点，点与点，点与点。 ②对应边：与，与，与。 ③对应角：与，与，与。 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3.表示方法：全等用符号“”表示，读作“全等于”。如三角形△和△全等，记作△△。 6 考点串讲 ——1：全等三角形的概念及性质 4.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 符号表示： （全等三角形的对应边相等）。 （全等三角形的对应角相等）。 全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 7 考点串讲 ——1：全等三角形的概念及性质 对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 归纳总结 8 考点串讲 ——2：三角形全等的判定 1．三角形全等的判定： ①两边及其夹角分别相等（边角边 或 SAS） ②两角及其夹边分别相等（角边角 或 ASA） ③两角分别相等且其中一组等角的对边相等相等（角角边 或 AAS） ④三边分别相等（边边边 或 SSS） ⑤直角三角形的斜边和一条直角边分别相等（“斜边、直角边”或“HL”，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”） 9 判定全等的思路选择： ①已知两边：找夹角→SAS；找第三边→SSS ②已知一边一角：边为角的对边→找任一角→AAS；边为角的邻边→找夹角的另一边→SAS；找另一角→ASA或AAS ③已知两角：找夹边→ASA；找任一对边→AAS ④直角三角形既可以用一般判定方法，也可以用HL； 注意：“SSA”“AAA”不能判定两个三角形全等. 归纳总结 考点串讲 ——2：三角形全等的判定 10 考点串讲 ——3：尺规作图 1．作一个角的平分线 2．作一个角等于已知角 3．作一线段的垂直平分线 4．过直线外一点作这条直线的平行线 5．作三角形 （1）根据 SAS、ASA、SSS 作三角形； （2）已知底边及底边上的高作等腰三角形. 11 考点串讲 ——4：角的平分线 1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 符号表示：∵平分，在上，，. ∴ 作用：证明两条线段相等. 符号表示：∵，， ∴点在的平分线上 作用：证明一个点在角的平分线上或证明角相等. 12 考点串讲 ——4：角的平分线 全等三角形的常见辅助线 1.角平分线相关辅助线 ①过角平分线上的点向两边作垂线段（利用角平分线性质） ②在角的两边截取相等线段（构造全等三角形） 2.中点相关辅助线 ①倍长中线法：将中线延长一倍，构造"8字"全等三角形 ②倍长类中线：遇到中点时，延长过中点的线段构造全等 3.线段和差相关辅助线 ①截长法：在长边上截取一条与某短边相等的线段，证明剩余部分等于另一短边 ②补短法：延长短边，使延长部分等于另一短边，证明总长等于长边 4.其他常见辅助线 ①连接公共边，构造全等三角形 ②作平行线，构造等角 ③利用轴对称、旋转等变换构造全等 归纳总结 13 题型全解 题型01 全等三角形的概念与性质应用 例1 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） 【解析】解：A：两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意； B：两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意； C：两个图形不能完全重合，不全等，故该选项不合题意； D：两个图形可以完全重合，全等，故该选项符合题意． 故选：D． D 14 题型全解 题型01 全等三角形的概念与性质应用 例2 如图，点A、B、C在同一直线上，点在上，连接并延长交于点，且，，． (1)求的长； (2)若，猜想的度数，并说明理由． 【解析】（1）证明：，， ，， ； 15 题型全解 题型01 全等三角形的概念与性质应用 例2 如图，点A、B、C在同一直线上，点在上，连接并延长交于点，且，，． (1)求的长； (2)若，猜想的度数，并说明理由． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 16 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 全等三角形的概念；对应顶点、对应边、对应角的识别；全等三角形的性质 总结2：解题方法技巧 ①对应关系法：根据全等符号的字母顺序，确定对应顶点、对应边、对应角; ②性质应用法：利用全等三角形对应边相等、对应角相等求解未知量; ③图形观察法：结合图形位置关系，直观判断对应元素 题型01 全等三角形的概念与性质应用 题型全解 题型02 应用SSS或SAS证明全等 例3 如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【解析】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 18 题型全解 题型02 应用SSS或SAS证明全等 例4 如图，与全等吗？ 【解析】解：与全等， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 19 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 三角形全等的SSS判定；三角形全等的SAS判定；全等三角形的书写规范 总结2：解题方法技巧: ①条件梳理法：先找出已知的边相等条件，再看是否有夹角或第三边; ②隐含条件法：挖掘公共边、对顶角、公共角等隐含的相等条件; ③规范书写法：按照判定方法的顺序排列条件，用大括号括起，注明依据. 题型02 应用SSS或SAS证明全等 题型全解 题型03 应用ASA或AAS证明全等 例5 和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【解析】(1)证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； 21 题型全解 题型03 应用ASA或AAS证明全等 例5 和的位置如图所示，点B在边上，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【解析】（2）解：由（1）知：， ，， ． 22 题型全解 题型03 应用ASA或AAS证明全等 例6 如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【解析】证明：∵， ∴． 在和中 ， ∴． 23 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 三角形全等的ASA判定； 三角形全等的AAS判定； 等角的推导方法. 总结2：解题方法技巧 ①角的推导法：利用平行线、对顶角、公共角、角平分线等推导角相等； ②方法选择法：若边是两角的夹边则用ASA，若边是其中一角的对边则用AAS； ③内角和转化法：利用三角形内角和定理，将AAS转化为ASA证明. 题型03 应用ASA或AAS证明全等 题型全解 题型04 应用HL证明直角三角形全等 例7 已知：如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，分别作，，垂足分别为E，F，且，连接交于点G．求证：． 【解析】证明：∵， ∴，即：， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ ， ∴， ∴． 25 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 直角三角形全等的HL判定； 直角三角形的识别； 全等直角三角形的性质. 总结2：解题方法技巧 ①直角确认法：先确认两个三角形都是直角三角形，再考虑使用HL； ②条件对应法：找出斜边和一条直角边分别对应相等，注意对应关系； ③方法对比法：直角三角形既可用一般判定方法，也可用HL，灵活选择. 题型04 应用HL证明直角三角形全等 题型全解 题型05 角平分线的性质与判定应用 例8 如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是_______． 【解析】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 27 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 角平分线的性质定理； 角平分线的判定定理； 点到直线的距离. 总结2：解题方法技巧 ①条件确认法：应用性质需确认有角平分线和垂直；应用判定需确认距离相等; ②距离识别法：准确识别哪条线段是点到角两边的距离（垂线段）; ③辅助线添加法：过角平分线上的点向两边作垂线段，构造应用条件. 题型05 角平分线的性质与判定应用 题型全解 题型06 添加条件得全等问题 例9 如图，与相交于点，且．下列条件不能得出的是（   ） A． B． C． D． 【解析】解：已知，且对顶角． A.若添加，则()，故A不符合题意； B.若添加，则()，故B不符合题意； C.若添加，此时为“边边角”，无法判定，故C符合题意； D.若添加，则()，故D不符合题意． C 29 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 三角形全等的各种判定方法；条件与结论的逻辑关系； 分类讨论思想. 总结2：解题方法技巧 ①逆向思考法：从结论出发，思考需要添加什么条件才能用某种判定方法； ②分类讨论法：分别考虑用SSS、SAS、ASA、AAS判定时各需要添加什么条件； ③排除验证法：将每个选项代入原题，验证是否能判定三角形全等. 题型06 添加条件得全等问题 题型全解 题型07 全等三角形中的角度计算 例10 如图，已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【解析】解：∵， ∴， 在中，， ∴． C 31 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 全等三角形的对应角相等； 三角形内角和定理； 角的和差运算. 总结2：解题方法技巧 ①对应角转化法：利用全等将未知角转化为已知角或可求角; ②内角和法：结合三角形内角和定理，建立角度关系方程; ③和差计算法：利用角的和差关系，逐步推导未知角的度数. 题型07 全等三角形中的角度计算 题型全解 题型08 全等三角形中的线段与面积计算 例11如图，在四边形中，，连接，，，，O是的中点，连接并延长，交于点E，则图中阴影部分的面积为（     ） A．20 B．24 C．36 D．48 【解析】解：∵， ∴，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ． B 33 题型全解 题型08 全等三角形中的线段与面积计算 例12兴趣小组的同学用数学知识测量花园里池塘两侧点，之间的距离，他们画出的示意图如图所示，点，，，在同一直线上，点，在池塘的两侧，且，，测得．若，，则假山的长是（     ） A． B． C． D． 【解析】解：， ， ，， ， ， ，即， ， ． B 34 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的面积相等； 三角形面积公式. 总结2：解题方法技巧 ①对应边转化法：利用全等将未知线段转化为已知线段或可求线段; ②面积法：利用全等三角形面积相等或等底等高三角形面积关系求解; ③和差计算法：利用线段的和差关系，结合全等性质推导. 题型08 全等三角形中的线段与面积计算 题型全解 题型09 角平分线与全等综合应用 例13已知点是平分线上一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，过点作，垂足为，． (1)若，则点到的距离是________； (2)如图1，当点在线段上时，则和满足什么数量关系？请说明理由； (3)如图2，当点在线段的延长线上时，若，，，求． 36 题型全解 题型09 角平分线与全等综合应用 【解析】（1）解：∵点是平分线上一点，，， ∴点到的距离是4； (2)理由：如图1，过点作于点，则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， ； 37 题型全解 题型09 角平分线与全等综合应用 【解析】（3）解：过点作于点，如图， 则， ∵点是平分线上一点， ， ，， ， 在和中，， ， 38 题型全解 题型09 角平分线与全等综合应用 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 39 题型全解 方法总结 总结1：核心知识点 角平分线的性质与判定； 全等三角形的判定与性质； 综合推理能力. 总结2：解题方法技巧 ①性质判定联用法：角平分线性质和判定交替使用，层层推进; ②辅助线构造法：过角平分线上的点向两边作垂线段，构造全等直角三角形; ③面积法：利用三角形面积的不同表示方法，建立等式关系. 题型09 角平分线与全等综合应用 1．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 针对训练 B 解：A.能判定和全等； B.不能判定和全等； C.能判定和全等； D.能判定和全等． 针对训练 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，，点、、、在同一直线上．若，，则的长为（     ） A．12 B．8 C．9 D．10 B 针对训练 解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，，点在线段上，若，，则_________． 75 针对训练 解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 4．如图，，，连接，若，则图中阴影部分的面积为______． 12.5 针对训练 5．小区的便民服务点要搭建一个四边形遮阳棚，其中，点E在棚架上，点F在棚架上，施工时发现，且支撑杆． (1)工人师傅说：“不用测量和，就能知道这两段棚架长度相等．”你同意他的说法吗？请说明理由； (2)已知米，米，搭建该遮阳棚的材料单价 为每平方米20元，求搭建这个四边形遮阳棚一共需要 花费多少元？ 针对训练 解：(1)同意工人师傅的说法． 理由：连接， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，∴． 针对训练 （2）解：由（1）得， ∴米，米， ∴ （平方米） 总费用：（元）． 答：搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费160元． 针对训练 6．如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧、处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出、间的距离．为此，小明和小华两位同学提供了如下测量方案： (1)对于方案1和方案2， 你认为可行的是________． (2)选择你认为可行的方案 并进行证明． 针对训练 (1)两种方案都可行 (2)证明：方案， 在和中， ， ， ， ∴测量的长度即可，故方案一可行； 方案：在和中， ， ， ， ∴测量的长度即可，故方案二可行； 单元总结/易错复盘 ·分类规则 1.全等三角形书写：对应顶点字母写在对应位置，方便快速找对应边、对应角。2.三角形全等判定选择：已知两边：选 SAS、SSS；已知两角：选 ASA、AAS；已知一边一角：选 SAS、ASA、AAS；直角三角形：额外可用 HL。3.角平分线：优先考虑角平分线性质（距离相等）. ·核心概念 1.全等三角形性质：对应边相等，对应角相等。全等判定定理SSS；SAS；ASA；AAS；HL（仅直角三角形）.2.角平分线性质和判定；三角形三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等。 ·答题注意事项 1.证明全等，条件要齐全，禁止使用 SSA 证明普通三角形全等。2.“距离” 特指垂线段长度，角平分线性质使用必须有垂直条件。3.书写全等证明，大括号内条件按定理格式罗列，结论写明依据（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）。4.做几何题，先标记图中相等边、相等角，帮助快速找全等条件。 50 人教版·八年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $