15.1　图形的轴对称 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件围绕轴对称及性质、线段垂直平分线的性质判定与尺规作图展开，通过全等三角形题目关联旧知，结合生活对称图片与操作活动，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以探究为主线，通过剪窗花观察、性质猜想验证等培养抽象能力和推理意识，结合小区车站选址等实际问题发展应用意识。小结用表格对比概念，帮助学生系统掌握，教师可提升教学效率，学生深化几何知识理解与应用。

第十五章　轴对称 15.1　图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 如图，已知∠B=∠C，AD平分∠BAC，则直接证明△ABD≌△ACD的依据是 (　 　) 知识关联 A.ASA　　　　B.SAS　　　　C.AAS　　　　D.SSS 请思考：沿AD折叠，△ABD和△ACD能否重合？你能用全等的知识解释吗? C 【情境问题】 观察下列几幅图片，回答下列问题: 探究与应用 (1)这些图形有什么共同特征? (2)请你举出几个生活中具有对称特征的物体,并与同伴进行交流. 【探究1】 轴对称图形 【观察操作】 如图，是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图案(折痕处不要完全剪断)，再打开这张对折的纸得到的。观察这些窗花，你能发现它们有什之共同的特点吗? 探究与应用 【探究1】轴对称图形 【概括新知】 轴对称图形： 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合， 这个图形就叫作轴对称图形， 这条直线就是它的对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫作对称点。 这时，也说这个图形关于这条直线对称. 探究与应用 【理解应用】 例1　如图，下列图案不是轴对称图形的是 (　　) 探究与应用 D 【探究2】 两个图形成轴对称 【观察操作】 1.下面的每对图形有什么共同特点? 探究与应用 每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合. 【探究2】 两个图形成轴对称 【概括新知】 两个图形成轴对称： 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称。 探究与应用 同样地，这条直线叫作对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫作对称点. 【理解应用】 例2 下面给出的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们的对称轴，并找出一对对称点. 探究与应用 【探究2】 两个图形成轴对称 【思考】轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别和联系? 探究与应用 　　　 名称 关系　　　　 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的对称关系 具有特殊位置关系的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 联系 (1)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形；(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于中条轴对称 探究与应用 A B C A′ B′ C′ N M 【探究3】 轴对称性质与线段的垂直平分线 【探究发现】 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？其他对称点呢？ AA′⊥MN 、BB′⊥MN， CC′⊥MN. 被都MN平分 对称轴经经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段. 轴对称的性质： 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分 【探究3】 轴对称性质与线段的垂直平分线 探究与应用 【概括新知】 轴对称图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分 轴对称的性质 AA′⊥l 、BB′⊥l， 被都l平分 【探究3】 线段的垂直平分线 【概括新知】 探究与应用 如图，MN⊥AA′， AP=A′P. 直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的定义 无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 由轴对称的性质得出 探究与应用 【理解应用】 例3 如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是(　　) A．130° B．150° C．40° D．65° A 【理解应用】 【变式】 如图,已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠B=125°，∠A+∠D=155°，AB=3 cm，EH=4 cm. (1)写出EF、AD的长度; 探究与应用 (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么位置关系? (2)求∠G的度数; 直线MN垂直平分线BF EF=3 cm，AD=4 cm　 ∠G=360°-125°-155°=80°　 例4　如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，P是直线MN上的点，连接AP、BP，则下列判断错误的是 ( 　　) A.AM=BM B.AP=BN C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 B 【理解应用】 变式 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为　　　　cm2. 探究与应用 8 (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够互相重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定成轴对称; (2)成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等. 【小结】 课堂小结与检测 全等变换 成轴对称 沿某条直线翻折 性质 轴对称图形 简单应用 【检测】 课堂小结与检测 C 1．下列图形中，是轴对称图形的是(　　) 【检测】 课堂小结与检测 2．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是(　　) A 【检测】 课堂小结与检测 3．如图所示，如果直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝115°，∠ABC＝120°，那么∠BCD的度数为________，连接BD交直线m于点F，则BF________DF(填“＝”“>”或“<”)，BD________m(填“垂直于”或“不垂直于”)． 70° ＝ 垂直于 【检测】 课堂小结与检测 4.如图，已知AD所在的直线是△ABC的对称轴，点E、F是AD上的点，若BC=4，AD=3，则图中阴影部分的面积是　　　 .  3 15.1.2　线段的垂直平分线 第1课时　线段的垂直平分线的性质及判定 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 2.线段的对称轴是什么? 知识关联 1.线段是轴对称图形吗? 3.什么叫作线段的垂直平分线? 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 【回顾思考】 【探究1】线段的垂直平分线的性质 【操作尝试】 探究与应用 如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有发现什么吗？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 【探究1】线段的垂直平分线的性质 探究与应用 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 【猜想交流】 【探究1】线段的垂直平分线的性质 探究与应用 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB． 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB=90°． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． P A B l C 【验证证明】 【探究1】线段的垂直平分线的性质 【概括新知】 探究与应用 用几何语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， （点P在线段AB的垂直平分线上） ∴ PA =PB． 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． P A B l C 线段垂直平分线的性质 【理解应用】 探究与应用 例1 如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE，△BCE的周长为16，△ABC的周长为24，求AD的长度． 解：(1)∵DE是AB边的垂直平分线， ∴EA＝EB，AD＝DB. ∵△BCE的周长为16， ∴BC＋CE＋EB＝BC＋CE＋EA＝BC＋AC＝16. ∵△ABC的周长为24，∴BC＋AC＋AB＝24. ∴AB＝8.∴AD＝DB＝4. 【理解应用】 【变式】 如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长为 ( ) A.8　　　B.4　　　C.12　　　D.16 探究与应用 A 【探究2】 线段的垂直平分线的判定 【思考交流】 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢? 探究与应用 P A B 【探究2】 线段的垂直平分线的判定 探究与应用 验证结论 已知：如图，PA =PB 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵　PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上 P A B C 【概况归纳】 探究与应用 【探究2】 线段的垂直平分线的判定 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 【概况归纳】 探究与应用 【探究2】 线段的垂直平分线的判定 　这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 　与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合. P A B C l 【验证证明】 探究与应用 【探究2】 线段的垂直平分线的判定 应用格式： ∵　AB =AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵MB =MC ∴点M在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线． A B C D M 这是判断一条直线是线段的垂直平分线的证明过程. 探究与应用 【理解应用】 例2 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB ∴DE=CE.∠EDO=∠ECO=90° ∴OC=OD. 在Rt△OED 和Rt△OEC中， ∵DE=CE OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴点E在线段CD的垂直平分线上. ∴点O在线段CD的垂直平分线上. ∴OE垂直平分CD 探究与应用 【探究3】 互逆命题 1.下面两个命题的题设和结论有什么关系? ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等; ②与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 【尝试交流】 这两个命题的题设和结论正好相反. 【概况归纳】 探究与应用 【探究3】 互逆命题 2.你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 【尝试交流】 如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的逆命题. 互逆命题： 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题。 角平分线的性质与判定、平行线的性质与判定等. 探究与应用 例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立 (1)两直线平行，同位角相等; 【理解应用】 逆命题 : 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个数相等.逆命题不成立. (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等: (3)全等三角形的对应角相等. 逆命题 : 同位角相等,两直线平行.逆命题成立. 逆命题 : 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.逆命题不成立. 【概况归纳】 探究与应用 【探究3】 互逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。这两个定理叫作互逆定理. 其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 在几何中,有许多互逆的定理. 例如,上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理,“两直线平行,内错角相等”和“内错角相等,两直线平行”也是互逆定理. 探究 : 三角形的三条边的垂直平分线的性质. 我们已经证明三角形的三条角平分线能够交于一点，那么三角形的三条边的垂直平分线也能交于一点吗？如果能交于一点,这一点又有什么性质呢？ 【探究2】有理数的概念及分类 探究与应用 【拓展提升】 【概况归纳】 探究与应用 已知 : 如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点O. 求证 : 点O在边BC的垂直平分线上. 三角形的三条垂直平分线交于一点,该点到三角形三个顶点的距离相等. 【拓展提升】 【小结】 课堂小结与检测 线段的垂直平分线的性质和判定 性质 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 互逆命题 【检测】 课堂小结与检测 1．如图所示，AB垂直平分CD.若AC＝1.6，BC＝2.3，则四边形ACBD的周长是(　　) A. 3.9 B. 7.8 C. 4 D. 4.6 B 【 检测】 课堂小结与检测 2.如图，AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E，连接AE。若AD=6 cm，△ACE的周长为16 cm，则△ABC的周长为　　 cm.  28 【 检测】 课堂小结与检测 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. 逆命题 : 如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等. 逆命题成立. (1)同旁内角互补，两直线平行; (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等; (3)全等三角形的对应边相等. 逆命题 : 两直线平行,同旁内角互补. 逆命题成立. 逆命题 : 如果两个实数的平方相等,那么这两个实数也相等. 逆命题不成立. 第十五章 轴对称 15.1.2　线段的垂直平分线 第2课时　尺规作图—作线段的垂直平分线 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 【回顾思考 】 1.我们已经学过的基本尺规作图有几种? 知识关联 2.你能动手作图试一下吗? 【情境问题】 探究与应用 如图，A、B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 【探究1】作线段的垂直平分线 【操作尝试】 如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线. 探究与应用 A B 2.根据与A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上,可以作出这样的两个点. 分析： 1.由于“两点确定一条直线，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点。 【探究1】作线段的垂直平分线 【尝试交流】 探究与应用 A B C D 作法: (1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点; (2)作直线CD. 警示: (1) 在尺规作图中,作一条线段的垂直平分线的方法,也是确定线段中点的方法; (2)直线两侧都有两弧交点,不能只画出一个交点; CD就是线段AB的垂直平分线. 【探究2】作成轴对称图形的对称轴 【尝试交流】 如图，△ABC与△A'B'C'是成轴对称的两个图形，请画出它们的对称轴. 探究与应用 要求: 1.用尺规作图的方法，保留作图痕迹 2.有多少种方法,它们有什么共同之处. 【概括新知】 探究与应用 (1)任意找一组对称点; (2)作出连接这对对称点的线段的垂直平分线. 作轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对称轴的一般步骤: 【探究2】作成轴对称图形的对称轴 【理解应用】 例2　如图所示的五角星是一个轴对称图形，请作出它的一条对称轴. 探究与应用 分析：连接五角星的一对对称点,作所连线段的垂直平分线,即得它的一条对称轴. 作法: 如图①,点A和点A'是五角星的一对对称点. 连接AA'，作出线段AA'的垂直平分线l, 则直线l就是这个五角星的一条对称轴. 【理解应用】 思考下列问题: (1)在图①中，如果把A、B两点看作对称点，你能作出这个五角星的一条对称轴吗? 探究与应用 如图②,连接AB，作线段AB的垂直平分线m，直线m就是这个五角星的一条对称轴. (2)图①中的五角星一共有几条对称轴？你能把它们都作出来吗? 一共有五条对称轴，如图③所示. 【探究3】过一点画已知直线的垂线 【尝试交流】 尺规作图 : 经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知 : 直线AB和AB外一点C，如图. 探究与应用 求作:AB的垂线，使它经过点C. A B C 【探究3】过一点画已知直线的垂线 【概括新知】 探究与应用 A B C D E F 作法： （1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点D和点E. （3）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线. （2）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. 【理解应用】 例3 尺规作图 : 经过已知直线上一点作这条直线的垂线. 探究与应用 （1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交a于点D和点E. （2）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点M,N 两点. （3）作直线MN.直线MN就是所求作的垂线. 【情境问题】 探究与应用 如图，A、B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ A B 作AB 的垂直平分线，交公路于点P ，点P 就是所求。 【拓展提升】 　如图，要在公园(四边形ABCD)中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求: (1)到公园两个出入口A、C的距离相等; (2)到公园两边围墙AB、AD的距离相等. 探究与应用 请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P. (不必写作法,但要保留作图痕迹) 【拓展提升】 　 分析：(1)到公园两个出入口A、C的距离相等; 探究与应用 （3）确定喷泉的位置P. (2)到公园两边围墙AB、AD的距离相等. 画线段AC的垂直平分线 画∠BAD的角平分线 线段AC的垂直平分线与 ∠BAD的角平分线的交点 例　如图，两条笔直的公路a、b相交于点C，A、B两村在公路b的两侧. 请作图解决以下问题: 探究与应用 【拓展提升】 (1)如果在公路b边设一个公共汽车站，使之到A、B两村的距离相等，那么这个公共汽车站应设在什么位置? (2)如果在S区修建一个信号塔，使之到A、B两村的距离相等，并且到a、b两条公路的距离也相等，那么这个信号塔应设在什么位置? 探究与应用 【拓展提升】 (1)如果在公路b边设一个公共汽车站，使之到A、B两村的距离相等，那么这个公共汽车站应设在什么位置? (2)如果在S区修建一个信号塔，使之到A、B两村的距离相等，并且到a、b两条公路的距离也相等，那么这个信号塔应设在什么位置? 分析:公共汽车站到A、B两村的距离相等,则它应在线段AB的垂直平分线上. 分析:信号塔到a、b两条公路的距离相等，则它应在a、b夹角的平分线上. 分析:信号塔应是a、b夹角的平分线上与线段AB的垂直平分线上. 【小结】 课堂小结与检测 尺规作图--线段的垂直平分 作线段的垂直平分线 过一点画已知直线的垂线 作轴对称图形的对称轴 【检测】 课堂小结与检测 1．如图所示的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们所有的对称轴． 【检测】 课堂小结与检测 解：如图所示： 【检测】 课堂小结与检测 2．如图所示，△ABC和△A′B′C′关于某条直线成轴对称，请画出它们的对称轴． 解：如图所示： 【 检测】 课堂小结与检测 3.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（　　） A．∠A的平分线 B．AC边的中线 C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线 D 【检测】 课堂小结与检测 4.如图，有A、B、C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置. B C 解:如图，点P即为所求. A P $