4.5 函数的应用（二）同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点与应用，分层设计从基础求解到综合建模，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一函数零点求解|选择填空直接应用概念，如零点定义与简单方程求解| |进阶层|零点存在性与图像分析|多项选择结合图像判断，中档解答关联实际情境| |综合层|含参方程根与实际问题建模|拔高题渗透分类讨论，解答题强化数学建模与逻辑推理|

数学人教A版必修第一册 4.5函数的应用（二） 同步练习 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．函数的零点是(      ) A.2 B. C. D.2或 2．的零点为(      ) A. B. C. D. 3．某公司所产A型芯片,在成本保持不变的前提下,可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍）,已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个,那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月,参考数据：）(      ) A.38 B.42 C.46 D.50 4．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则(      ) A. B. C. D. 5．函数的零点所在区间是(      ) A. B. C. D. 6．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单位：）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（k为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则(      ) A.2 B.4 C.6 D.8 7．已知函数,若关于x的方程有6个不 同的实数根,则实数a的取值范围为(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 8．下列各图象表示的函数有零点的是(      ) A. B. C. D. 9．已知函数，若函数（）恰有两个零点，则m的取值范围可以为(      ) A. B. C. D. 三、填空题 10．函数的零点是_____________. 11．函数的零点为__________. 12．函数的零点是_____________. 四、解答题 13．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式，.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元），试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式. 14．设函数，其中. （1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围； （2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围. 参考答案 1．答案：A 解析：由题意令,因为,所以,即. 故选：A. 2．答案：B 解析：令,得：, 即, 两边取自然对数,得：. 故选：B 3．答案：B 解析：设经过t个月后的数量为,每18个月翻一番,则 令,可得,即, 因为,所以,代入上式可得. 故选：B. 4．答案：C 解析：由，得， 即，则，即. 故选：C 5．答案：A 解析：因为函数在定义域内单调递增,函数在定义域内单调递增, 所以函数在定义域内单调递增, 因为, 由零点存在性定理可知,函数在区间有唯一零点, 所以函数的零点所在区间是. 6．答案：A 解析：由题意可得，解得. 令，即， 化简得，解得（舍去）. 7．答案：A 解析：由函数画出函数图象,如下图所示, 令,, 则由题意可得,当原方程有6不同的实数根时,由图象可知方程两根均在上, 当函数的两个零点在上时, 可得,解得. 故选:A. 8．答案：ABC 解析：对比各选项函数图象可知，其中与x轴有交点的选项是ABC. 故选：ABC. 9．答案：BC 解析：令，得， 在同一坐标系中作出函数，的图象，如图所示： 因为函数（）恰有两个零点， 由图象知：或， 故选：BC 10．答案：2 解析：令，解得，函数的零点是2. 11．答案： 解析：设,令,去分母,得, 整理得,即, ,,即, . 12．答案： 解析：由已知可得,当时,； 当时,由,得, 故的零点是. 故答案为：. 13．答案： 解析：由题意，对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资万元， 所以销售甲种商品所得利润是万元，销售乙种商品所得利润是万元， 所以总利润y关于x的函数关系式为：. 14．答案：（1） （2） 解析：（1）在区间上有唯一的零点， 或 或或. 或或， . （2）在区间上有两个零点， 或. 的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版必修第一册 4.5函数的应用（二） 同步练习 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．函数的零点是(      ) A.2 B. C. D.2或 2．的零点为(      ) A. B. C. D. 3．某公司所产A型芯片,在成本保持不变的前提下,可容纳的晶体管数量呈指数增长规律且每18个月翻一番（数量变为原来的2倍）,已知该芯片在2026年初能容纳晶体管数量200亿个,那么其可容纳的晶体管数量达到1000亿个大约需要多少个月？（精确到1月,参考数据：）(      ) A.38 B.42 C.46 D.50 4．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则(      ) A. B. C. D. 5．函数的零点所在区间是(      ) A. B. C. D. 6．一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单位：）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（k为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则(      ) A.2 B.4 C.6 D.8 7．已知函数,若关于x的方程有6个不 同的实数根,则实数a的取值范围为(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题 8．下列各图象表示的函数有零点的是(      ) A. B. C. D. 9．已知函数，若函数（）恰有两个零点，则m的取值范围可以为(      ) A. B. C. D. 三、填空题 10．函数的零点是_____________. 11．函数的零点为__________. 12．函数的零点是_____________. 四、解答题 13．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式，.今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元），试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式. 14．设函数，其中. （1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围； （2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围. 参考答案 1．答案：A 解析：由题意令,因为,所以,即. 故选：A. 2．答案：B 解析：令,得：, 即, 两边取自然对数,得：. 故选：B 3．答案：B 解析：设经过t个月后的数量为,每18个月翻一番,则 令,可得,即, 因为,所以,代入上式可得. 故选：B. 4．答案：C 解析：由，得， 即，则，即. 故选：C 5．答案：A 解析：因为函数在定义域内单调递增,函数在定义域内单调递增, 所以函数在定义域内单调递增, 因为, 由零点存在性定理可知,函数在区间有唯一零点, 所以函数的零点所在区间是. 6．答案：A 解析：由题意可得，解得. 令，即， 化简得，解得（舍去）. 7．答案：A 解析：由函数画出函数图象,如下图所示, 令,, 则由题意可得,当原方程有6不同的实数根时,由图象可知方程两根均在上, 当函数的两个零点在上时, 可得,解得. 故选:A. 8．答案：ABC 解析：对比各选项函数图象可知，其中与x轴有交点的选项是ABC. 故选：ABC. 9．答案：BC 解析：令，得， 在同一坐标系中作出函数，的图象，如图所示： 因为函数（）恰有两个零点， 由图象知：或， 故选：BC 10．答案：2 解析：令，解得，函数的零点是2. 11．答案： 解析：设,令,去分母,得, 整理得,即, ,,即, . 12．答案： 解析：由已知可得,当时,； 当时,由,得, 故的零点是. 故答案为：. 13．答案： 解析：由题意，对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资万元， 所以销售甲种商品所得利润是万元，销售乙种商品所得利润是万元， 所以总利润y关于x的函数关系式为：. 14．答案：（1） （2） 解析：（1）在区间上有唯一的零点， 或 或或. 或或， . （2）在区间上有两个零点， 或. 的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $