4.5.2 用二分法求方程的近似解同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二分法概念理解与应用，通过题组分层设计，实现从概念辨析到实际应用的知识巩固，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题组一|二分法概念理解（零点性质、适用条件、区间确定）|以选择、填空题为主，如判断零点是否为准确值、不可用二分法函数，强化数学抽象能力| |题组二|二分法实际应用（近似解计算、迭代次数、实际问题）|含表格分析、解答题，如焊接点检测、函数零点近似值求解，体现模型意识与应用能力|

4.5.2　用二分法求方程的近似解 基础过关练 题组一　对二分法的理解 1.(2026广东佛山期中)用二分法求函数零点时,所求得的零点(　　) A.一定是近似值　　 B.一定不是近似值　　 C.一定不是准确值　　D.可以是准确值 2.(2025天津第五十五中学月考)下列函数中,不能用二分法求零点的是(　　) A. f(x)=ln x-6　　B. f(x)=x2+2x+2 C. f(x)=x+-4　　D. f(x)=ex-3x 3.(2026山东济南一中期中)已知函数f(x)=x3-3x+1在区间(0,1)内有且仅有1个零点,在利用二分法求函数零点的近似值时,经过2次二分法后确定的零点所在区间为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 4.(2026湖北武汉华中科技大学附属中学月考)用二分法求函数f(x)=ln x+x-2在区间[1,2]上的零点近似值,给定精确度ε=0.1,则至少需要二分的次数为(　　) A.2　　B.3　　C.4　　D.5 5.(2025上海南洋中学期末)若在用二分法寻找函数y=2x-(x>1)零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为[a,b],,,则实数a和b分别等于(　　) A.,　　B.2,3　　C.,2　　D., 6.(2025天津南开月考)某同学在借助题设给出的数据求方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)时,设f(x)=lg x+x-2,得出f(1)<0,且f(2)>0,他用“二分法”取到了四个x的值,计算其函数值的正负,并得出结论:方程的近似解为1.8,那么他所取的四个值中的第二个值为　　　　.  7.已知f(x)=-ln x在区间(n,n+1)(n∈Z)上有一个零点x0,则n=　　　　　.若用二分法求x0的近似值(精确度0.01),则至少需要将区间等分　 次.  8.已知函数f(x)=x+(a>0),若能用二分法求函数f(x)的零点,则实数a的取值范围是　　　　　.  题组二　二分法的应用 9.(2026山东青岛五十八中月考)用二分法求方程的近似解时,求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值如下表所示: x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.812 5 f(x) -6 3 -2.625 -0.141 1.342 0.579 则当精确度为0.1时,方程x3+2x-9=0的近似解可取(　　) A.1.6　　B.1.7　　C.1.8　　D.1.9 10.(2026山西大同部分学校月考)一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点,知道电路不通是焊口脱落造成的.要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至多需要检测(　　) A.4次　　B.6次　　C.8次　　D.30次 11.(教材习题改编)已知函数h(x)=x3-x2+5在x∈[-2,-1]上有零点,用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1),并说明求得近似值至少需要进行多少次二分法的迭代操作. 答案 4.5.2　用二分法求方程的近似解 基础过关练 1.D　用二分法求函数零点时,需要不断计算区间中点的函数值,计算过程中可能出现函数值为0的情况,此时得到的零点是准确值,若没有出现函数值为0的情况,则此时得到的零点是近似值. 2.B　对于A,函数f(x)=ln x-6在(0,+∞)上单调递增,当x→0+时, f(x)→-∞,当x→+∞时, f(x)→+∞,所以f(x)有唯一零点x0,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点. 对于B, f(x)=x2+2x+2=≥0,故函数值恒大于或等于零,故不能用二分法求零点. 对于C,当x<0时, f(x)=x+-4=--4≤-2-4=-6,当且仅当x=-1时,等号成立,无零点; 当x>0时, f(x)=x+-4≥2-4=-2,当且仅当x=1时,等号成立,易知f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,当x→0+时, f(x)→+∞,当x→+∞时, f(x)→+∞,故可用二分法求零点. 对于D,易得f(0)=1>0, f(1)=e-3<0, f(2)=e2-6>0,且f(x)的图象连续不断,故可用二分法求零点. 3.B　第1次,由=,且f(0)=1, f=-, f(0)·f<0,得f(x)在内有零点; 第2次,由=,且f=, f·f<0,得f(x)在内有零点, 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为. 4.C　区间[1,2]的长度为1,经过一次操作,区间长度变为原来的, 所以经过n次操作,区间长度变为原来的, 用二分法求函数f(x)=ln x+x-2在区间[1,2]上的零点近似值,要求精确度ε=0.1, 则<0.1,解得n>log210≈3.3,即至少需要二分的次数为4. 5.A　∵依次确定了零点所在区间为[a,b],,, ∴解得 6.答案　1.75 解析　根据“二分法”的定义,最初确定的区间是(1,2),又方程的近似解是1.8,所以后四个区间分别是(1.5,2),(1.75,2),(1.75,1.875),(1.75,1.812 5),故他取的四个值分别为1.5,1.75,1.875,1.812 5,所以第二个值为1.75. 7.1　7　f(x)=-ln x在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=1>0,f(2)=-ln 2<0,所以f(x)的零点x0∈(1,2),故n=1.设至少需等分n次,则()n≤0.01且n∈N,解得n≥7,故至少需等分7次. 8.(0,)　f(x)的定义域为{x|x≠0},因为a>0,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x+≥2=2>0,当且仅当x=时,等号成立,故x∈(0,+∞)时,f(x)没有零点; 当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),f(x)=-(-x+)+≤-2=-2,当且仅当x=-时,等号成立,若要用二分法求f(x)的零点,需满足-2>0,所以0<a<,即实数a的取值范围是(0,). 9.C　由题表中数据可得,函数f(x)=x3+2x-9的零点在区间(1.75,1.812 5)内,且1.812 5-1.75=0.062 5<0.1, 结合选项可知区间(1.75,1.812 5)内任意一个数都可作为近似值, 所以方程x3+2x-9=0的近似解可取1.8. 10.B　第一次,可去掉30个结果,从剩余的30个中继续应用二分法;第二次,可去掉15个结果,从剩余的15个中继续应用二分法;第三次,可去掉7或8个结果,考虑至多的情况,所以去掉7个结果,从剩余的8个中继续应用二分法;第四次,可去掉4个结果,从剩余的4个中继续应用二分法;第五次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续应用二分法;第六次,可去掉1个结果,得到最终结果,所以至多需要检测六次. 11.解析　易得h(-2)=-8-4+5=-7<0,h(-1)=-1-1+5=3>0,h(-1.5)=--+5=-<0, 所以函数h(x)在x∈[-1.5,-1]上有零点,此时|-1.5-(-1)|=0.5>0.1; 因为h(-1.25)=>0,所以函数h(x)在x∈[-1.5,-1.25]上有零点, 此时|-1.5-(-1.25)|=0.25>0.1; 因为h(-1.375)=>0,所以函数h(x)在x∈[-1.5,-1.375]上有零点, 此时|-1.5-(-1.375)|=0.125>0.1; 因为h(-1.437 5)=-<0,所以函数h(x)在x∈[-1.437 5,-1.375]上有零点, 此时|(-1.437 5)-(-1.375)|=0.062 5<0.1. 所以用二分法可得零点的近似值(精确度小于0.1)为-1.375,至少需要进行4次二分法的迭代操作. 7 学科网（北京）股份有限公司 $