第二十课时-函数的应用（二）同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦函数的应用（二），以“基础巩固-综合应用-实际建模”分层设计，通过真实情境问题链培养数学建模与数据分析能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一函数模型直接应用|选择题1-8、填空题9-12，如指数衰减（题1）、对数运算（题6），强化概念理解| |提升层|模型参数求解与最值综合|解答题13-14，如指数函数参数确定（题13）、利润函数最值（题14），训练逻辑推理| |综合层|多模型整合与实际预测|解答题15，人口增长多问建模，需对数运算与跨情境分析，发展数学应用意识|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第二十课时 函数的应用（二） 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 常见函数模型 在实际问题中，常用的函数模型有：①一次函数模型 y ＝ kx ＋ b（k ≠ 0），描述匀速变化的过程，如匀速运动、固定费率等；②二次函数模型 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c（a ≠ 0），描述具有最值的过程，如抛物运动、利润最大化等；③指数函数模型 y ＝ a·bˣ（b ＞ 0且b ≠ 1），描述"爆炸式"增长或衰减的过程，如人口增长、细胞繁殖、放射性衰变等；④对数函数模型 y ＝ a ＋ b·logₐx，描述"先快后慢"的过程，如学习曲线等；⑤分段函数模型，描述不同阶段有不同变化规律的过程。选择合适的函数模型是解决实际问题的关键，需要根据问题的特点和数据的变化趋势来判断。 考点二 指数函数模型的应用 指数函数模型常用于描述增长率或衰减率固定的问题。常见形式：①增长模型 y ＝ a(1 ＋ r)ˣ，其中 a 为初始值，r 为增长率，x 为时间，如人口增长、复利计算等；②衰减模型 y ＝ a(1 － r)ˣ，描述逐年减少的过程；③倍增模型 y ＝ a·2ˣ，描述每期翻倍的增长，如细胞分裂；④半衰期模型 y ＝ a·(1/2)ˣ，描述每期减半的衰减，如放射性元素衰变。解题时需注意：①确定初始值 a 和增长率 r；②明确时间 x 的含义和单位；③计算结果需结合实际意义检验。 考点三 对数函数模型的应用 对数函数模型常用于描述量级变化的问题。常见应用：①地震震级 M ＝ lgA，其中 A 为地震波最大振幅；②声音响度 L ＝ 10lg(I/I₀)，其中 I 为声强，I₀ 为基准声强；③溶液酸碱度 pH ＝ －lg[H⁺]，其中 [H⁺] 为氢离子浓度。对数函数模型的特点是能将大范围的数值压缩到较小的范围，便于比较和计算。解题时需注意：①理解对数式中各量的实际含义；②利用对数运算性质化简计算；③结果需还原为实际意义。 考点四 函数模型的选择与比较 面对实际问题时，需要根据数据特点选择合适的函数模型。选择方法：①散点图法，将数据描点，观察分布趋势选择模型；②试算法，用不同模型拟合数据，比较误差大小；③理论分析法，根据问题的实际背景选择模型。常见判断：数据呈直线趋势用一次函数，数据呈抛物线趋势用二次函数，数据呈"爆炸式"增长用指数函数，数据呈"先快后慢"用对数函数。比较不同模型时，需计算各模型的预测值与实际值的误差，选择误差最小的模型。 考点五 最值问题 函数应用中的最值问题主要包括利润最大化、成本最小化、面积最大化等。常用方法：①配方法，对于二次函数 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c，通过配方化为 y ＝ a(x ＋ b/(2a))² ＋ (4ac － b²)/(4a)，当 a ＞ 0 时有最小值，当 a ＜ 0 时有最大值；②基本不等式法，利用 a ＋ b ≥ 2√(ab) 求最值，注意等号成立的条件；③单调性法，利用函数的单调性在端点处取得最值。解题时需注意：①建立正确的函数关系式；②确定自变量的取值范围；③检验最值是否在定义域内取得。 知识结构思维导图 图1 函数的应用（二）知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．某商品原价为a元，每月降价10%，则x个月后的价格为（ ） A．a(1 ＋ 0.1x) B．a·0.9ˣ C．a·1.1ˣ D．a(1 － 0.1x) 2．某地区人口年增长率为r，经过x年后人口为原来的2倍，则x ＝ （ ） A．log(1＋r)2 B．log₂(1 ＋ r) C．2/(1 ＋ r) D．(1 ＋ r)² 3．某工厂月产量y（件）与月份x的关系为y ＝ 100·1.1ˣ，则第3个月的产量为（ ） A．110 B．121 C．133.1 D．146.41 4．某种细菌每30分钟分裂一次（1个变2个），则4小时后1个细菌变为（ ） A．64个 B．128个 C．256个 D．512个 5．某商品利润y（元）与销量x（件）的关系为y ＝ －2x² ＋ 40x － 100，则最大利润为（ ） A．100元 B．120元 C．150元 D．200元 6．地震震级M与振幅A的关系为M ＝ lgA，若A增大为原来的1000倍，则M增大（ ） A．1级 B．2级 C．3级 D．10级 7．某放射性元素半衰期为5年，经过20年后剩余量为原来的（ ） A．1/2 B．1/4 C．1/8 D．1/16 8．某商品售价x元时销量为(100 － x)件，则销售额最大时售价为（ ） A．40元 B．50元 C．60元 D．70元 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．某商品原价200元，每月降价10%，则3个月后的价格为 ____________ 元。 10．某地区人口年增长率为2%，约 ____________ 年后人口翻一番（lg2 ≈ 0.301，lg1.02 ≈ 0.0086）。 11．某商品利润y ＝ －x² ＋ 10x － 9（元），则利润最大时销量为 ____________ 件。 12．声音响度L ＝ 10lg(I/I₀)，若声强I增大为原来的100倍，则响度增大 ____________ 分贝。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）某工厂生产某种产品，月产量y（万件）与月份x满足y ＝ a·bˣ。已知第1个月产量为2万件，第3个月产量为8万件。 （1）求a和b的值； （2）求第5个月的产量； （3）预计第几个月产量超过100万件？ 14．（14分）某商品售价x元（x ＞ 0）时，销量为(100 － 2x)件。 （1）写出销售额R与售价x的函数关系式； （2）求销售额的最大值及对应售价； （3）若成本为每件20元，求利润最大时的售价。 15．（14分）某地区2024年底人口为100万，年增长率为1.2%。 （1）求2034年底的人口数（精确到0.1万）； （2）约几年后人口达到120万？（lg1.012 ≈ 0.0052，lg1.2 ≈ 0.0792） （3）若人口达到150万时需控制增长，约在哪个年份？（结果取整数） 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． A 3． C 4． C 5． A 6． C 7． D 8． B 9． 145.8 10． 约35年 11． 5 12． 20 ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】每月降价10%，即每月价格为上月的90% ＝ 0.9倍。原价a元，1个月后为0.9a，2个月后为0.9²a，x个月后为0.9ˣa，选B。本题关键：降价率固定时用指数衰减模型。 2．【答案】A 【解析】人口年增长率为r，x年后人口为原来的2倍，即(1 ＋ r)ˣ ＝ 2。取对数得x·log(1＋r) ＝ log2，故x ＝ log(1＋r)2 ＝ log₂2/log₂(1 ＋ r) ＝ 1/log₂(1 ＋ r)，选A。本题关键：利用对数解指数方程。 3．【答案】C 【解析】y ＝ 100·1.1ˣ，第3个月 y ＝ 100·1.1³ ＝ 100×1.331 ＝ 133.1，选C。本题关键：代入x ＝ 3计算。 4．【答案】C 【解析】每30分钟分裂一次，4小时 ＝ 240分钟 ＝ 8个30分钟，即分裂8次。1个细菌分裂8次后为2⁸ ＝ 256个，选C。本题关键：分裂n次后数量为2ⁿ个。 5．【答案】A 【解析】y ＝ －2x² ＋ 40x － 100 ＝ －2(x² － 20x) － 100 ＝ －2(x － 10)² ＋ 200 － 100 ＝ －2(x － 10)² ＋ 100。开口向下，当x ＝ 10时取最大值y ＝ 100，选A。本题关键：配方法求二次函数最值。 6．【答案】C 【解析】M ＝ lgA，当A增大为原来的1000倍时，M′ ＝ lg(1000A) ＝ lg1000 ＋ lgA ＝ 3 ＋ lgA ＝ M ＋ 3。故M增大3级，选C。本题关键：利用对数运算性质lg(MN) ＝ lgM ＋ lgN。 7．【答案】D 【解析】半衰期5年，20年 ＝ 4个半衰期。每经过一个半衰期剩余量为原来的1/2，故20年后剩余量为(1/2)⁴ ＝ 1/16，选D。本题关键：半衰期模型y ＝ a·(1/2)ˣ。 8．【答案】B 【解析】销售额R ＝ x·(100 － x) ＝ －x² ＋ 100x ＝ －(x² － 100x) ＝ －(x － 50)² ＋ 2500。开口向下，当x ＝ 50时取最大值，选B。本题关键：建立销售额函数后配方法求最值。 ■ 填空题解析 9．【答案】145.8 【解析】每月降价10%，3个月后价格为200×0.9³ ＝ 200×0.729 ＝ 145.8元。 10．【答案】约35年 【解析】人口翻一番即(1.02)ˣ ＝ 2，取对数x·lg1.02 ＝ lg2，x ＝ lg2/lg1.02 ≈ 0.301/0.0086 ≈ 35年。 11．【答案】5 【解析】y ＝ －x² ＋ 10x － 9 ＝ －(x² － 10x) － 9 ＝ －(x － 5)² ＋ 25 － 9 ＝ －(x － 5)² ＋ 16。开口向下，当x ＝ 5时取最大值，故利润最大时销量为5件。 12．【答案】20 【解析】L ＝ 10lg(I/I₀)，当I增大为原来的100倍时，L′ ＝ 10lg(100I/I₀) ＝ 10[lg100 ＋ lg(I/I₀)] ＝ 10×2 ＋ 10lg(I/I₀) ＝ 20 ＋ L。故响度增大20分贝。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）a ＝ 1，b ＝ 2；（2）32万件；（3）第7个月 【解析】（1）由y ＝ a·bˣ，第1个月y ＝ a·b¹ ＝ ab ＝ 2，第3个月y ＝ a·b³ ＝ 8。 两式相除得b² ＝ 4，b ＝ 2（b ＞ 0）。 代入ab ＝ 2得a ＝ 1。 故a ＝ 1，b ＝ 2，y ＝ 2ˣ。 （2）第5个月y ＝ 2⁵ ＝ 32（万件）。 （3）由y ＞ 100，即2ˣ ＞ 100。 因2⁶ ＝ 64 ＜ 100，2⁷ ＝ 128 ＞ 100，故x ＝ 7。 故第7个月产量超过100万件。 本题关键：利用已知数据建立方程组求参数，利用指数函数单调性解不等式。 14．【答案】（1）R ＝ －2x² ＋ 100x；（2）最大值1250元，售价25元；（3）售价35元 【解析】（1）销售额R ＝ 售价×销量 ＝ x·(100 － 2x) ＝ －2x² ＋ 100x。 定义域：100 － 2x ＞ 0即x ＜ 50，故0 ＜ x ＜ 50。 （2）R ＝ －2x² ＋ 100x ＝ －2(x² － 50x) ＝ －2(x － 25)² ＋ 1250。 开口向下，当x ＝ 25时R取最大值1250元。 故销售额最大值为1250元，对应售价25元。 （3）利润L ＝ (x － 20)·(100 － 2x) ＝ －2x² ＋ 140x － 2000。 配方：L ＝ －2(x² － 70x) － 2000 ＝ －2(x － 35)² ＋ 2450 － 2000 ＝ －2(x － 35)² ＋ 450。 开口向下，当x ＝ 35时L取最大值。 但需检验：x ＝ 35 ∈ (0, 50)，100 － 2×35 ＝ 30 ＞ 0，符合题意。 故利润最大时售价为35元。 本题关键：建立销售额和利润函数后配方法求最值，注意定义域的限制。 15．【答案】（1）约112.7万；（2）约15年；（3）约2058年 【解析】人口模型y ＝ 100·(1.012)ˣ。 （1）2034年底即x ＝ 10年。 y ＝ 100·(1.012)¹⁰。 利用lg(1.012¹⁰) ＝ 10·lg1.012 ≈ 10×0.0052 ＝ 0.052。 1.012¹⁰ ＝ 10⁰·⁰⁵² ≈ 1.127。 故y ≈ 100×1.127 ＝ 112.7（万）。 （2）由y ＝ 120，即100·(1.012)ˣ ＝ 120，(1.012)ˣ ＝ 1.2。 取对数x·lg1.012 ＝ lg1.2，x ＝ lg1.2/lg1.012 ≈ 0.0792/0.0052 ≈ 15.2。 故约15年后人口达到120万。 （3）由y ＝ 150，即(1.012)ˣ ＝ 1.5。 取对数x ＝ lg1.5/lg1.012。 lg1.5 ＝ lg(3/2) ＝ lg3 － lg2 ≈ 0.477 － 0.301 ＝ 0.176。 x ≈ 0.176/0.0052 ≈ 33.8 ≈ 34年。 2024 ＋ 34 ＝ 2058年。 故约在2058年人口达到150万。 本题关键：利用指数函数模型和对数运算解决人口增长问题。 高一数学必修一 · 第二十课时 函数的应用（二） 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $