专题2.3 基本不等式及其应用（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题2.3基本不等式及其应用 教学目标 1、掌握两个基本不等式：（、）、（、为任意正数），并能用于解决一些简单问题. 2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法. 3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点. 教学重难点 教学重点：两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用. 教学难点：基本不等式的应用. 知识点01 平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【即学即练】下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值， 故D错误. 故选：C. 知识点02 几个重要不等式变形 ①()． ②(同号)； ③()． 知识点03利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 【即学即练】已知正数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】直接使用基本不等式即可. 【详解】由正数a，b，且，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 知识点04三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 【即学即练】已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 题型01对基本不等式的理解 【典例1】下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合； 对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合； 对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合； 对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合. 故选：C. 【变式1】“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得，即或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式2】当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】A 【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值. 【详解】，， ，当且仅当时等号成立， 故选：A 题型02 由基本不等式比较大小 【典例1】设，则下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式及适用范围分别判断即可求解． 【详解】对于ACD，当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立，故ACD错误； 对于B，由题知，所以，当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 故选：B． 【变式1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式“1”的妙用以及基本不等式的应用逐项判断可求出结果. 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 对于B，因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，且， 所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：D. 【变式2】已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式得到、，进而求的范围，注意等号成立条件. 【详解】由，即，又， 所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错； 由，即， 所以，当且仅当时等号成立，C、D错. 故选：A 【变式3】已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 【变式4】若x，y满，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式的性质进行逐一判断即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为， 而，所以， 于是有，故选项AB都不正确； 由， 故选：C 题型03 由基本不等式证明不等关系 【典例1】（1）已知，求的最大值； （2）证明：若，，则．并写出等号成立的条件． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可求最大值； （2）利用基本不等式可证题设中的不等式成立，结合取等条件可得等号成立的条件. 【详解】（1）因为，，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. （2）由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 同理，当且仅当时等号成立， 故即，当且仅当时等号成立. 【变式1】（1）解不等式：. （2）已知都是正数，求证:：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）将不等式整理为一元二次不等式的标准形式，即可求得答案； （2）利用基本不等式结合不等式性质，即可证明. 【详解】（1）即， 因为的解为或， 故不等式的解为或， 故的解集为； （2）证明：因为都是正数， 所以， 故， 当且仅当时等号成立, 故. 【变式2】已知正数a，b满足，证明：. 【答案】证明见详解 【分析】利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解. 【详解】，，， ， 当且仅当即时，等号成立. 【变式3】（1）已知，且.求的最小值. （2）已知均为正数，且，求证：. 【答案】（1）9；（2）证明见解析 【分析】（1）由基本不等式求解， （2）由基本不等式证明， 【详解】（1）因为，且，所以， 所以， 当且仅当即时取等，所以的最小值为9 （2）因为 则， ， 三式相加得： 所以. 【变式4】已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，消元并结合二次函数推理作答. （2）根据给定条件，借助“1”的妙用，计算推理作答. 【详解】（1）因为，，，则，， 因此，当且仅当，时取等号， 所以成立． （2）因，，且，则， 因此， 当且仅当且，即，时取等号， 所以成立． 题型04 利用基本不等式求积的最大值 【典例1】已知，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由知， 当且仅当，即时取得等号， 即的最大值为， 故答案为： 【变式1】若，则的最大值为 ，此时 ． 【答案】 / 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由，则， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，此时. 故答案为：；. 【变式2】已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由基本不等式即可求解； 【详解】， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 【变式3】设，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】将用x表示，代入原式后利用基本不等式求和一定时乘积的最大值即可. 【详解】因为，则，即， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式4】已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，所以，于是有 ， 当且仅当，即时等号成立． 故答案为： 题型05 利用基本不等式求和的最小值 【典例1】若，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】化简式子，然后利用基本不等式计算. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则，当且仅当，即时，等号成立， 则，即的最小值为3． 故答案为：3 【变式1】已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 【变式2】已知，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】由基本不等式直接进行求解即可. 【详解】，且，则， 当且仅当，即，即时，等号成立. 的最小值是8. 故答案为：8 【变式3】已知正实数，，满足，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】由，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】， 又，为正实数，所以， 则，当时取等， 所以的最小值为3. 故答案为： 【变式4】设，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且, 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 题型06 利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值 【典例1】当时，函数的最小值为__________________． 【答案】5 【分析】对函数形式进行化简，得到基本不等式形式，根据基本不等式，得到答案. 【详解】 当且仅当，即时，等号成立. 【点睛】本题考查基本不等式的简单应用，属于简单题. 【变式1】函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，则，化简得到，集合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，令，则， 又因为，可得， 因为，当且仅当时，即，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【变式2】已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用换元法，令，将转化为关于的分式，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】令，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为. 故答案为：. 【变式3】若，则函数的最小值为 . 【答案】3 【分析】由，及，利用基本不等式可求出最小值. 【详解】由题意，， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值为3. 故答案为：3. 【变式4】已知，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】将函数的解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【详解】当时，，， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，函数的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解函数的最小值，解答的关键就是对函数解析式进行化简变形，考查计算能力，属于基础题. 题型07 利用基本不等式求条件等式求最值 【典例1】已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，再利用基本不等式可求得的范围． 【详解】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 【变式1】已知，，且，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】由已知条件可得，代入所求式子，再根据基本不等式求解. 【详解】因为，则，所以， 所以. 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值是4. 故答案为：4. 【变式2】已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为， 故 ， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即的最小值为， 故答案为： 【变式3】若正数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由题意可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意正数满足，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是， 故答案为： 【变式4】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 题型08 基本不等式中的恒成立问题 【典例1】若两个正数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由条件适当变形，再结合均值不等式求出的最小值，只需，解出实数的范围即可. 【详解】解：因为为正数且满足， 所以， 所以 当且仅当，即时等号成立. 因为不等式恒成立， 所以只需，即， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 【变式2】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 【变式3】已知 ，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求不等式左侧的最小值，根据不等式恒成立只需右侧小于左侧的最小值，应用基本不等式求左侧最小值，再解一元二次不等式求范围. 【详解】由，， 当且仅当时取等号，故原不等式最小值为8， 由于题设不等式恒成立，则，即， 所以. 故答案为： 【变式4】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知条件可得：，因不等式恒成立，则需恒成立，则需要，利用“1的妙用”，求出的最小值，即可得到的取值范围. 【详解】将化为：， 即：，不等式化为：， 上述不等式要恒成立，则小于的最小值. 因为，则 ， 当且仅当，即且时，取“”， 所以，即. 故答案为：. 题型09 绝对值三角不等式 【典例1】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 因为不等式恒成立，所以，即或， 解得或，即. 故答案为：. 【变式1】不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据含绝对值三角不等式公式，即可判断. 【详解】，则不等式的解集为空集. 故答案为： 【变式2】，，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为（当且仅当时取等号）， 又，，所以，则或， 解得或，即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3】若对任意，都有，则实数的最大值为 【答案】 【分析】利用绝对值不等式的性质求出的最小值，再根据已知条件确定实数的最大值. 【详解】根据绝对值不等式. 对于，这里，，则. 当且仅当时等号成立，所以的最小值是. 因为对任意，都有恒成立. 这就意味着要不大于的最小值. 而最小值是，所以，那么实数的最大值就是. 故答案为：3. 【变式4】存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于，当且仅当时取等号， 因此有， 两边平方，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 1．设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 2．已知，，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 3．已知为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将化为，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以 因为， 所以，当且仅当时取等． 所以则的最小值为， 故答案为：． 4．若，则的最小值是 ． 【答案】9 【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值即可. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值是9. 故答案为：9. 5．已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 6．已知，，若，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】由条件整理得，根据基本不等式得，从而有，解一元二次不等式即可得出的最小值. 【详解】因，，则， ， 两边同乘得， 整理得， 又，，从而， 则， 当且仅当且，即时等号成立， 则有， 即，即， 又，解得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 7．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，解一元二次不等式即可求实数的取值范围. 【详解】由两个正实数，满足， 得，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为不等式恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 8．若正实数x、y满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】变形，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数x、y满足，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故答案为：1 9．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】由得，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为． 故答案为： 10．已知，，，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据题意可得，，代入可得，根据乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 则，解得， 可得， 又因为，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 11．已知表示中的较小值，若，，则的最大值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】令，则可得，对变形后利用基本不等式可求出其最大值，从而可求出的最大值. 【详解】令， 因为，，所以，， 所以，当且仅当时取等号， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当且，即时，的最大值为， 所以的最大值是. 故选：D 12．实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知的范围，然后将目标式转化为，利用基本不等式可得. 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 13．（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2）9 【分析】（1）方法一：利用基本不等式求解，方法二：利用二次函数求解； （2）根据已知条件构造基本不等式求解即可. 【详解】（1）方法一：因为，所以， 所有， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为； 法二： 函数图象开口向下，对称轴为，由， 所以当时，的最大值为 （2）∵， ， ∴， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 14．若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解； （2）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解. 【详解】（1）由条件等式与基本不等式，得，即， 即，解得，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与基本不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即， 所以的取值范围为. 15．已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由基本不等式得到，然后以解出的范围； （2）由等式化简，然后由基本不等式得到的最小值，由不等式恒成立建立不等式求得实数的取值范围. 【详解】（1）， ，当且仅当时等号成立， ， 或（舍去）， 则的最小值为4. （2）， 当且仅当，即时等号成立， 即， ∴ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3基本不等式及其应用 教学目标 1、掌握两个基本不等式：（、）、（、为任意正数），并能用于解决一些简单问题. 2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法. 3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点. 教学重难点 教学重点：两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用. 教学难点：基本不等式的应用. 知识点01 平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立； 定理：对于任意的实数、，有，且等号当且仅当时成立； 【即学即练】下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 知识点02 几个重要不等式变形 ①()． ②(同号)； ③()． 知识点03利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 【即学即练】已知正数a，b满足，则ab的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 知识点04三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 【即学即练】已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 题型01对基本不等式的理解 【典例1】下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 题型02 由基本不等式比较大小 【典例1】设，则下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4】若x，y满，则（    ） A． B． C． D． 题型03 由基本不等式证明不等关系 【典例1】（1）已知，求的最大值； （2）证明：若，，则．并写出等号成立的条件． 【变式1】（1）解不等式：. （2）已知都是正数，求证:：. 【变式2】已知正数a，b满足，证明：. 【变式3】（1）已知，且.求的最小值. （2）已知均为正数，且，求证：. 【变式4】已知，，且，证明： (1)； (2)． 题型04 利用基本不等式求积的最大值 【典例1】已知，则的最大值为 . 【变式1】若，则的最大值为 ，此时 ． 【变式2】已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【变式3】设，则的最大值为 . 【变式4】已知，则的最大值为 ． 题型05 利用基本不等式求和的最小值 【典例1】若，且，则的最小值为 ． 【变式1】已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【变式2】已知，且，则的最小值是 . 【变式3】已知正实数，，满足，则的最小值为 . 【变式4】设，且，则的最小值为 . 题型06 利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值 【典例1】当时，函数的最小值为__________________． 【变式1】函数的最小值为 ． 【变式2】已知，则的最小值为 . 【变式3】若，则函数的最小值为 . 【变式4】已知，则的最小值是 ． 题型07 利用基本不等式求条件等式求最值 【典例1】已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【变式1】已知，，且，则的最小值是 . 【变式2】已知，则的最小值为 ． 【变式3】若正数满足，则的最小值是 . 【变式4】已知，，且，则的最小值为 ． 题型08 基本不等式中的恒成立问题 【典例1】若两个正数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式1】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式2】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式3】已知 ，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式4】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 题型09 绝对值三角不等式 【典例1】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式1】不等式的解集为 . 【变式2】，，则实数的取值范围是 ． 【变式3】若对任意，都有，则实数的最大值为 【变式4】存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 1．设，则的最小值为 ． 2．已知，，则的最小值是 . 3．已知为正实数，且，则的最小值为 ． 4．若，则的最小值是 ． 5．已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 6．已知，，若，则的最小值为 . 7．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 8．若正实数x、y满足，则的最小值是 . 9．已知，则的最小值为 ． 10．已知，，，则的最小值为 . 11．已知表示中的较小值，若，，则的最大值是（   ） A． B．1 C． D． 12．实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 14．若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 15．已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$