21.4.2 实物型抛物线及运动中的抛物线问题 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数在实物及运动轨迹中的应用，通过观察建筑抛物线形状导入，结合合作探究拱桥问题，搭建从二次函数性质到实际建模的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以拱桥、投篮等生活实例培养数学眼光，通过建立坐标系、待定系数法发展数学思维，归纳解题步骤强化数学语言。采用分组讨论与典型例题结合的教学方法，助力学生提升应用能力，为教师提供梯度练习与详细解析，便于教学实施。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 二次函数与反比例函数 21.4.2实物型抛物线及运动中的抛物线问题 2026年8月6日 沪科版九年级上册21.4.2 实物型抛物线及运动中的抛物线问题同步练习题 本次练习聚焦21.4.2实物抛物线与运动抛物线核心考点，重点考查拱桥、投篮、抛球、喷水等生活实物模型，以及物体运动轨迹类二次函数问题。主要题型包含建立平面直角坐标系、求解抛物线解析式、利用解析式求高度与水平距离、判断运动落点、求解最值高度等，贴合中考高频考点，题型梯度合理，适配课后巩固、专项突破与解题方法积累。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 篮球投篮的运动轨迹为抛物线，若最高点为3.2米，水平距离2米，则该抛物线的开口方向为（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 一座拱桥的桥洞为抛物线形，以桥底中点为原点建立坐标系，抛物线解析式为\(y=-0.1x^2+2.5\)，则拱桥的最高高度为（ ） A. 0.1m B. 2.5m C. 5m D. 10m 3. 物体竖直上抛运动轨迹满足\(y=-5x^2+20x\)（\(y\)为高度，\(x\)为时间），则物体到达最高点的时间为（ ） A. 1s B. 2s C. 4s D. 5s 4. 喷泉喷水轨迹为抛物线\(y=-0.2(x-3)^2+1.8\)，则喷水的最大高度为（ ） A. 1.8m B. 3m C. 0.2m D. 4.8m 5. 已知拱桥抛物线\(y=-0.05x^2+1.25\)，当水面宽度为10m时，水面距离桥顶高度为（ ） A. 0m B. 1.25m C. 0.5m D. 1m 6. 关于实物抛物线问题，下列说法正确的是（ ） A. 实物抛物线开口均向上 B. 运动抛物线最高点在自变量端点处 C. 可通过顶点式快速求解最大高度 D. 实物抛物线无自变量取值限制 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 抛射类、拱桥类实物抛物线二次项系数一定__________0，图象开口向下，存在__________值。 8. 小球抛射轨迹\(y=-2x^2+8x\)，小球运动的最大高度为__________，落地时间为__________。 9. 以桥面中点为原点，拱桥抛物线解析式为\(y=-0.08x^2+3.2\)，则拱桥最大跨度为__________m。 10. 篮球运动轨迹顶点为\((4,3.5)\)，且过出手点\((0,1.5)\)，抛物线解析式为__________。 11. 物体上抛高度\(y=-4.9x^2+19.6x\)，物体上升过程中高度随时间增大而__________。 12. 喷水抛物线\(y=-0.3(x-2)^2+2.4\)，喷水口位置高度为__________m。 三、解答题（共52分） 13.（16分）已知一座抛物线形拱桥，以桥底水平面中点为原点建立直角坐标系，抛物线解析式为\(y=-0.04x^2+1.44\)。（1）求拱桥的最高高度；（2）求拱桥的水平最大跨度；（3）求水平距离原点3m处的桥高；（4）说明自变量的实际取值范围。 14.（18分）小明投篮，篮球运动轨迹为抛物线，已知篮球出手点坐标\((0,2)\)，运动最高点坐标\((3,3.8)\)。（1）求篮球运动轨迹的抛物线解析式；（2）求篮球水平距离5m处的高度；（3）若篮筐高度为3.05m，判断篮球能否投入篮筐。 15.（18分）竖直上抛小球，小球高度\(y\)（米）与运动时间\(x\)（秒）满足二次函数关系，已知小球在1秒时高度为15米，2秒时到达最高点20米。（1）求小球运动的函数解析式；（2）求小球的初始高度；（3）求小球落地所需总时间。 参考答案及解析 一、选择题 1.B 解析：所有抛射、实物拱桥抛物线均开口向下，二次项系数小于0。 2.B 解析：抛物线顶点在\((0,2.5)\)，最大高度为2.5m。 3.B 解析：对称轴\(x=-\frac{20}{2\times(-5)}=2\)，2秒时到达最高点。 4.A 解析：顶点式顶点纵坐标即为最大高度，为1.8m。 5.B 解析：代入\(x=\pm5\)，\(y=0\)，水面在底部，距桥顶高度1.25m。 6.C 解析：实物抛物线开口向下，有实际取值范围，顶点处取最大高度。 二、填空题 7. 小于；最大 8. 8；4 解析：顶点\((2,8)\)，令\(y=0\)得落地时间\(x=4\)。 9. 16 解析：令\(y=0\)，解得\(x=\pm4\)，跨度为8。修正：解得\(x=\pm6.4\)，跨度12.8。 10. \(y=-0.125(x-4)^2+3.5\) 解析：设顶点式代入点求解可得。 11. 增大 解析：上升阶段在对称轴左侧，高度随时间增大而增大。 12. 1.2 解析：代入\(x=0\)，求得初始喷水高度为1.2m。 三、解答题 13. 解：（1）顶点\((0,1.44)\)，最高高度1.44m；（2）令\(y=0\)，解得\(x=\pm6\)，最大跨度12m；（3）代入\(x=3\)得高度1.08m；（4）自变量取值\(-6\leq x\leq6\)。 14. 解：（1）设顶点式\(y=a(x-3)^2+3.8\)，代入\((0,2)\)得\(a=-0.2\)，解析式\(y=-0.2(x-3)^2+3.8\)；（2）\(x=5\)时，\(y=3\)；（3）篮筐高度3.05m，篮球高度接近且符合落点，可入筐。 15. 解：（1）设顶点式\(y=a(x-2)^2+20\)，代入\((1,15)\)得\(a=-5\)，解析式\(y=-5(x-2)^2+20\)；（2）\(x=0\)时初始高度10m；（3）令\(y=0\)，解得落地时间4秒。 （字数：1212） 观察思考 观察下列建筑构成的形状，可近似看作什么？ 抛物线 你知道如何求这些抛物线的解析式吗？ 合作探究 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，现在想了解水面下降1 m时，水面宽度增加多少？你有办法吗？ 建立直角坐标系 怎样建立平面直角坐标系比较简单呢？ 分组交流讨论： 1.学生分组交流讨论； 2.各组展示探究方法和过程； 3.教师带领大家完善探究过程. 合作探究 交流 怎样建立平面直角坐标系比较简单呢？ (2，–2) 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系 (0，0) 5 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少？ 探究 解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系. 设抛物线表示的二次函数为y=ax2. 由抛物线经过点(2，–2)，可得 –2=a×22， 所以这条抛物线表示的二次函数为 (2，–2) (0，0) 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少？ 探究 (2，–2) 当水面下降1 m时，水面的纵坐标为–3，如图设点P的横坐标为x1， 由题意知 水面宽度增加 m. 当水面下降1 m时， P(x1，–3) 归纳 建立二次函数模型解决桥梁建筑类实际问题的一般步骤： ① 根据题意建立适当的平面直角坐标系. ② 把已知条件转化为点的坐标. ③ 合理设出函数的解析式. ④ 利用待定系数法求出函数解析式. ⑤ 根据二次函数的图象和性质求解，并解决实际问题. 1.[西安三模]改编如图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水面4 m时，水面宽8 m. (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线对应的函数表达式； 1星题 基础练 举一反三 解：以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，图略．此时可设这条抛物线的表达式为y＝ax2，易知点(4，－4)在该抛物线上，把(4，－4)代入，得－4＝a×42，解得a＝－ ，所以y＝－ x2.(建立平面直角坐标系方法不唯一) 举一反三 (2)当水面上升3 m时，水面宽度减少了多少？ 解：当水面上升3 m时，拱顶离水面的距离是4－3＝1(m)．当y＝－1时，－ x2＝－1， 解得x＝2或x＝－2，所以此时水面宽度是4 m， 则水面宽度减少了8－4＝4(m)． 举一反三 【例】如图（1），悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. （1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图（2），求这条抛物线对应的函数表达式； （2）计算距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直钢索的长. 典型例题 （1） 450 450 (0，0.5) (450，81.5) （2） （1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图（2），求这条抛物线对应的函数表达式； 典型例题 450 450 (0，0.5) (450，81.5) （2） 解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0.5），对称轴为y轴，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+0.5. 抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得 81.5=a·4502+0.5. 解方程，得 答：所求抛物线对应的函数表达式为 13 （2）计算距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直钢索的长. 典型例题 450 450 (0，0.5) (450，81.5) （2） （2）当x=450100=350(m)时，得 答：距离桥两端主塔分别为100 m，50 m处垂直钢索的长分别为49.5 m，64.5 m. 当x=45050=4000(m)时，得 14 交通枢纽中的数学智慧结晶 桥梁与隧道作为交通网络中的关键枢纽，承载着沟通地域、促进发展的重任，其建筑设计更是凝聚了无数工程师的智慧，蕴含着丰富的数学知识．请完成2－4题． 2．赵州桥作为世界闻名的古老石拱桥，历经千年风雨依然屹立不倒．如图，大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，若函数关系式为y＝－ x2，当水面宽度AB为20 m时， 水面与拱顶的高度CO等于________． 4 m 举一反三 3．十七孔桥，横跨于皇家园林湖泊之上，是颐和园的经典建筑之一．桥拱形状可近似看成二次函数图象的一部分，按如图所示建立坐标系，若在正常水位时水面宽AB＝30 m，拱顶O到水面AB的距离为9 m，当水位上升5 m时，水面宽CD为________m. 20 举一反三 4．[芜湖龙湾]长江隧道建成通车后，驾车从隧道过江仅需5 min，隧道穿越障碍，缩短距离，是交通和工程的重要通道．如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽AB为8 m，拱顶内高8 m．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中(原点O是AB的中点)． (1)这条抛物线所对应的函数表达式为 _________________； 举一反三 (2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽2.5 m，高4 m的大型货运卡车是否可以通过？为什么？ 解：可以通过，理由如下： 对于y＝－ x2＋8，令－ x2＋8＝4，解得x＝±2 ， 因为(2 )2＝8>2.52＝6.25，所以2 >2.5， 所以一辆宽2.5 m，高4 m的大型货运卡车可以通过． 举一反三 5. 【新情境】某城市大力推进智能物流园区建设，园区入口的自动感应门由抛物线和矩形的三边组成(如图)，门的最大高度是4.9 m，AB＝10 m，BC＝2.4 m，若有一个高为4 m，宽为2 m的智能仓储设备要进入园区，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边超过多少米时，设备运进园区时才不会碰到门的顶部？(　　) A．1.8 m B．1.9 m C．2 m D．2.1 m 2星题 中档练 C 举一反三 6．[温州期中]某校的围墙上端由若干段相同的凹曲拱形栅栏组成．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，栅栏的立柱和横杆由相同的钢筋切割而成，学校设计用5根立柱将横杆AB六等分加固，相邻两根立柱的间距为 m，OC的长为 m. (1)以O为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则抛物线对应的 函数表达式为______________； 举一反三 (2)现为了安全考虑，更改原先的设计方案，将立柱数量增加到7根(将横杆八等分)，并保持立柱间距不变，求在原设计方案需要的钢筋长度的基础上，至少还需要准备的钢筋长度． 举一反三 解：设增加立柱后原A，B，C三点移动到A′，B′，C′， 举一反三 建立二次函数模型解决桥梁建筑类实际问题的一般步骤： 二次函数的应用 桥梁建筑类实际问题与二次函数的联系： 实际问题 二次函数 建立模型 二次函数的图象和性质 ① 根据题意建立适当的平面直角坐标系. ② 把已知条件转化为点的坐标. ③ 合理设出函数的解析式. ④ 利用待定系数法求出函数解析式. ⑤ 根据二次函数的图象和性质求解，并解决实际问题. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS 解：y＝－x2＋8 y＝x2 由题意可知C′B′＝ m，A′B′＝ m，即点B′的横坐标为，代入y＝x2中，得yB′＝，所以OC′＝ m，所以－＝(m)，所以×8－×6＋7×＝(m)． 所以至少还需要准备的钢筋长度为 m. $