21.4.2 实物型抛物线及运动型抛物线问题 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦实物及运动型抛物线问题，通过回顾二次函数形式与平移知识搭建支架，以抛物线形拱桥实例导入，引导学生从实际情境抽象数学模型，衔接前后知识脉络。 特色在于多坐标系探究同一问题培养几何直观与空间观念，归纳解题步骤发展推理意识，结合喷灌水流、悬索桥钢索等实例强化模型意识。小组合作与分层训练提升学生应用能力，为教师提供清晰教学流程与实效训练设计。

第2课时　实物型抛物线及运动型抛物线问题 课题 第2课时　实物型抛物线及运动型抛物线问题 授课人 教 学 目 标 1.能根据具体的问题情境建立数学模型,应用二次函数的知识求解,并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性. 2.学会从多个角度思考问题,逐步提高解决问题的能力. 3.通过对实际问题的研究,体会建模的数学思想. 4.经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会转化和数形结合的思想. 5.通过问题的设计、解答,使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法,获得解决问题的经验. 6.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神. 7.通过用二次函数的知识解决实际问题,体会数学与现实生活的紧密联系,提高学习数学的兴趣,增强应用数学的意识. 教学 重点 　　探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法. 教学 难点 　　如何从实际问题中抽象出数学问题,建立数学模型. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.二次函数常见的形式有哪几种?并说明其特征. 2.对二次函数y=ax2+bx+c的图象进行平移时: 向上平移k(k>0)个单位长度得到的函数表达式是什么? 向下平移k(k>0)个单位长度得到的函数表达式是什么? 向左平移h(h>0)个单位长度得到的函数表达式是什么? 向右平移h(h>0)个单位长度得到的函数表达式是什么? 师生活动:教师引导学生回忆知识,学生进行解答,教师做好点评. 　　在已有知识的基础上提出新的问题,能为学生营造一个主动思考、探索的氛围,激发学生的学习兴趣. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 图21-4-13 问题:如图21-4-13是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽4米.若水面下降1米,则水面宽度将增加多少米? 师生活动: 教师进行引导,提出问题: 对于本题你认为应该运用什么知识进行解答? 根据问题中的图形为抛物线,由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答. 学生分组讨论,如何利用二次函数模型解决问题,教师帮助学生解决问题. 　　通过日常生活中的实际问题,激发学生的学习兴趣,培养学生的探究意识和解决实际问题的能力. 活动 二: 探究 与 应用 　　1.探究新知 活动一:针对[课堂引入]的问题,教师进行提示: (1)要解答二次函数的问题,必须把抛物线放在平面直角坐标系中,所以必须建立适当的平面直角坐标系; (2)求水面宽度增加的长度,实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标; (3)求出函数表达式,进而求点的坐标; (4)求函数表达式应该用待定系数法. 师生活动:学生先独立进行解答,然后小组内交流讨论,教师适时点拨,指导学生写出解题过程. 解:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图21-4-14.根据图象的特殊性,设抛物线所对应的函数表达式为y=ax2,由抛物线经过点A(-2,-2),可得a=-,所以抛物线所对应的函数表达式为y=-x2.把y=-3代入函数表达式,得x=±,所以CD-AB=(2-4)米, 所以水面宽度将增加(2-4)米. 图21-4-14 　　活动二:教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答. 学生独立完成解题,小组内交流比较:平面直角坐标系的建立是否相同,计算结果是否一致. 如解法:如图21-4-15,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB的中点O,则通过画图可知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,可求出OA和OB的长均为AB长的一半,为2米,抛物线顶点E的坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2. 图21-4-15 将点A的坐标(-2,0)代入表达式,得a=-, 所以抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+2. 把y=-1代入上式,得x=±, 所以CD-AB=(2-4)米, 所以水面宽度将增加(2-4)米. 2.归纳总结 教师引导学生进行归纳总结: ①建立适当的平面直角坐标系; ②根据题意找出题目中的点的坐标; ③求出抛物线所对应的函数表达式; ④直接利用图象解决实际问题. 　　1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数表达式,但结果是相同的,选择合适的平面直角坐标系可以使解答简便,明确易懂. 2.通过总结抛物线类型的实际问题的解题步骤,使学生明确问题的解答方法,思路清晰,明确了方向. 【应用举例】 图21-4-16 例1　自动喷灌设备的喷流情况如图21-4-16所示,设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头,喷出的水流是抛物线状,喷头B与水流最高点C的连线与地面成45°角,水流最高点C比喷头高2米,求水流落地点D到点A的距离. [答案:(2+)米] 师生活动:学生按要求进行解答,教师做好指导、点拨. 教师关注: (1)学生能否熟练地运用二次函数的有关知识解决实际问题; (2)学生是否具有探索精神. 　　激发学生的学习欲望和兴趣,让学生切实感受到数学就在身边的亲切感.让学生学会将获得的知识经验进行类比迁移,并让学生体验数学的建模思想,增强应用意识. 【拓展提升】 例2　如图21-4-17①,悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形状可近似地看作抛物线的一部分,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离AB为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)以AB所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图②,求这条抛物线对应的函数表达式; (2)计算距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长. 图21-4-17 解:(1)根据题意,得抛物线的顶点坐标为(0,0.5),对称轴为y轴,设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+0.5. 抛物线经过点(450,81.5),代入上式,得81.5=a·4502+0.5. 解方程,得a==. 所求抛物线对应的函数表达式为 y=x2+0.5(-450≤x≤450). (2)当x=450-100=350时,得 y=×3502+0.5=49.5. 当x=450-50=400时,得 y=×4002+0.5=64.5. 答:距离桥两端主塔分别为100 m,50 m处垂直钢索的长分别为 49.5 m,64.5 m. 师生活动:学生独立解答,再合作交流,然后展示成果.教师巡视,观察学生解决问题的过程与方法,并给予学习有困难的学生及时的引导和帮助. 　　通过抛物线与常见生活情境相联系的题目的展示,拓宽学生的视野,提高学生灵活运用知识的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【当堂训练】 1.如图21-4-18,有一抛物线形的立交拱桥,这个拱桥的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它的图形放在平面直角坐标系中,若在离跨度中心M 5 m处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶,则这根铁柱的长度为　15 m　.  图21-4-18 2.如图21-4-19是一学生推铅球时铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象,观察图象,铅球推出的水平距离是　10　m.  图21-4-19 3.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8 m,两侧距地面3 m高处各有一盏壁灯,两盏壁灯之间的水平距离为6 m,如图21-4-20所示,则工厂大门的高(水泥建筑物厚度不计,精确到0.1 m)约为　6.9 m　.  图21-4-20 4.城市花园广场喷泉的喷嘴安装在平地上,有一喷嘴喷出的水流呈抛物线形,喷出水流的高度y(m)与喷出水流距喷嘴的水平距离x(m)之间的函数关系可表示为y=-x2+2x. (1)喷嘴能喷出的水流的最大高度是多少? (2)喷嘴喷出的水流的最远距离是多少? [答案:(1)2 m　(2)4 m] 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【课堂总结】 1.谈一谈你在本节课中有哪些收获,有哪些进步. 2.学完本节课后,你还存在哪些困惑? 　　小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知环节中,充分利用多媒体手段提高课堂效率,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,有效地解决了教学的重难点;课堂训练环节,教师给予学生充分的自由时间,学生能够体会建立平面直角坐标系的作用,明确解答问题的步骤,树立建模思想. ②[讲授效果反思] 教师强调重点:(1)明确解决抛物线形问题的步骤;(2)设抛物线所对应的函数表达式时要根据函数图象的特殊位置. ③[师生互动反思] 在开放、多样的教学活动中,培养学生主动合作的意识及对数学的兴趣和爱好. ④[习题反思] 　　好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $