21.4.2 实物型抛物线及运动型抛物线问题 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

课题

第2课时　实物型抛物线及运动型抛物线问题

授课人

教

学

目

标

1.能根据具体的问题情境建立数学模型,应用二次函数的知识求解,并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.

2.学会从多个角度思考问题,逐步提高解决问题的能力.

3.通过对实际问题的研究,体会建模的数学思想.

4.经历将实际问题抽象为数学问题的过程,体会转化和数形结合的思想.

5.通过问题的设计、解答,使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法,获得解决问题的经验.

6.通过小组合作交流,提高合作意识,培养创新精神.

7.通过用二次函数的知识解决实际问题,体会数学与现实生活的紧密联系,提高学习数学的兴趣,增强应用数学的意识.

教学

重点

　　探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.

教学

难点

　　如何从实际问题中抽象出数学问题,建立数学模型.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

1.二次函数常见的形式有哪几种?并说明其特征.

2.对二次函数y=ax2+bx+c的图象进行平移时:

向上平移k(k>0)个单位长度得到的函数表达式是什么?

向下平移k(k>0)个单位长度得到的函数表达式是什么?

向左平移h(h>0)个单位长度得到的函数表达式是什么?

向右平移h(h>0)个单位长度得到的函数表达式是什么?

师生活动:教师引导学生回忆知识,学生进行解答,教师做好点评.

　　在已有知识的基础上提出新的问题,能为学生营造一个主动思考、探索的氛围,激发学生的学习兴趣.

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

图21-4-13

问题:如图21-4-13是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2米时,水面宽4米.若水面下降1米,则水面宽度将增加多少米?

师生活动:

教师进行引导,提出问题:

对于本题你认为应该运用什么知识进行解答?

根据问题中的图形为抛物线,由此可知本题应该运用二次函数的知识进行解答.

学生分组讨论,如何利用二次函数模型解决问题,教师帮助学生解决问题.

　　通过日常生活中的实际问题,激发学生的学习兴趣,培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.

活动

二:

探究

与

应用

　　1.探究新知

活动一:针对[课堂引入]的问题,教师进行提示:

(1)要解答二次函数的问题,必须把抛物线放在平面直角坐标系中,所以必须建立适当的平面直角坐标系;

(2)求水面宽度增加的长度,实际上就是求水面与抛物线的交点的坐标;

(3)求出函数表达式,进而求点的坐标;

(4)求函数表达式应该用待定系数法.

师生活动:学生先独立进行解答,然后小组内交流讨论,教师适时点拨,指导学生写出解题过程.

解:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图21-4-14.根据图象的特殊性,设抛物线所对应的函数表达式为y=ax2,由抛物线经过点A(-2,-2),可得a=-,所以抛物线所对应的函数表达式为y=-x2.把y=-3代入函数表达式,得x=±,所以

CD-AB=(2-4)米,

所以水面宽度将增加(2-4)米.

图21-4-14

　　活动二:教师指导学生建立不同的平面直角坐标系进行解答.

学生独立完成解题,小组内交流比较:平面直角坐标系的建立是否相同,计算结果是否一致.

如解法:如图21-4-15,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB的中点O,则通过画图可知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,可求出OA和OB的长均为AB长的一半,为2米,抛物线顶点E的坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2.

图21-4-15

将点A的坐标(-2,0)代入表达式,得a=-,

所以抛物线所对应的函数表达式为y=-x2+2.

把y=-1代入上式,得x=±,

所以CD-AB=(2-4)米,

所以水面宽度将增加(2-4)米.

2.归纳总结

教师引导学生进行归纳总结:

①建立适当的平面直角坐标系;

②根据题意找出题目中的点的坐标;

③求出抛物线所对应的函数表达式;

④直接利用图象解决实际问题.

　　1.通过建立不同的平面直角坐标系得到不同的函数表达式,但结果是相同的,选择合适的平面直角坐标系可以使解答简便,明确易懂.

2.通过总结抛物线类型的实际问题的解题步骤,使学生明确问题的解答方法,思路清晰,明确了方向.

【应用举例】

　　激发学生的学习欲