第21章 大招专题1 二次函数中的最值问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册二次函数与反比例函数，核心讲解二次函数中的最值问题，通过母题引入（如抛物线表达式求解、三角形面积及线段和差最值），结合大招解读总结几何定理法、代数法、铅垂法，再以子题变式巩固，构建“实例-方法-应用”的学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，通过几何定理法（如线段差最大时三点共线）培养推理能力，代数法设动点坐标构造二次函数发展运算能力，铅垂法结合面积公式强化模型意识。母题与中考真题变式结合，助力学生迁移知识，教师可通过超链接跳转和编辑功能提升教学效率。

数 学 九年级上册 HK 1 2 3 第21章 二次函数与反比例函数 4 大招专 题1 二次函数中的最值问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招1 几何定理法求线段之和（差）最值 1.［中］如图，已知抛物线过点，，其对称轴为直线 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 （1）求该抛物线的表达式. 【解】抛物线过点，，且它的对称轴为直线，抛物线与 轴 的另一个交点的坐标为.设抛物线表达式为.把 代入，得 ，解得，此抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限. ①当的面积为15时，求点 的坐标； 图（1） 【解】如图（1），点是抛物线对称轴上的一点，且点 在第一象限， 设，直线的表达式为，则 ，解得 ，直线的表达式为.设直线与抛物线对称轴交于点 ， 则， . ，，解得或 （舍去），点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 ②在①的条件下，是抛物线上的动点，当取得最大值时，求点 的坐标. 【解】设直线的表达式为.把，代入得 解得 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 图（2） 如图（2），当的值最大时，点，， 在同一条直线上. 是抛物线上的动点，联立得 解得（舍去）， . 思路分析 运用待定系数法求得直线的表达式，结合图（2）分析得到当 的值最大 时，点，，在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 大招解读 几何定理法求线段之和（差）最值 （1）线段之差最大问题：当两定点和动点共线时，线段之差最大，所以动点在两 定点所在的直线上，求解时可过两定点作直线. （2）线段之和（周长）最小问题：这类问题一般是将军饮马模型中“两定点，定 线上一动点”，求解时作对称点，将求和的两条线段转化到一条线段上. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 子题练变式 两点之间线段最短 2.【2026安徽合肥瑶海区校级质检，较难】如图，抛物线与 轴交 于点，与轴交于点，，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点 下方）， 且.当的值最小时，点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 【解析】对于，令，则， ；令 ，则，解得，， ， ，.，.在上取点 ，使得 ，连接，，，如图，.， 四边 形是平行四边形，.点在对称轴上， ， ，当，，三点共线，即点是直线 与抛物线对 称轴的交点时，的值最小. ，，.设直线 的表 达式为 ，将 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 点，的坐标代入，得解得直线 的表达 式为.抛物线的对称轴为直线，将 代入，得， ，故选C. 关键点拨 构造平行四边形，找到的值最小时，点 的位置是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 3.［中］如图，抛物线与轴交于，两点，与 轴交于点，，，连接和 . （1）求抛物线的表达式. 【解】，，，.将 ， 代入，得解得 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 （2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求点 的坐标. 【解】由可知，抛物线对称轴为直线 .由抛 物线的对称性可知，点与点关于对称轴对称.如图，设 交对 称轴于点，连接，则 .由两点之间线段最短可知， 此时的值最小，而的长度是定值，故此时 的周 长取得最小值.由可知，点的坐标为 .设直 线的表达式为，将点代入，得，直线 的表达式为 ，当时，，点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 思路分析 设交对称轴于点，连接，由抛物线的对称性可知 ，由两点之间线 段最短可知，此时有最小值，而的长度是定值，故此时 的周长 取得最小值，求出直线的表达式，将 代入，即可得到答案． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 母题学大招2 代数法求线段最值 4.［中］如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点 的坐 标为 ． （1）求点 的坐标； 【解】点在抛物线上，， .令 ，得，解得或，点的坐标为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （2）若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线 距离的最大值. 【解】由（1）知，.过作于点，过点作 轴于点，交于点，如图.，， ， 是等腰直角三角形， . 轴，， 是等腰直角三角 形，，当最大时，最大.设直线 的表达式为 ，将代入得，，直线 的表达式为 .设，则 ， . ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 当时，取得最大值，为， ， 点到直线距离的最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 大招解读 代数法求线段最值 二次函数图象中求解平行于坐标轴的线段最值问题时，常用代数法：设出动点坐 标，利用坐标表示出线段长度，构造二次函数，利用二次函数的性质求最值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 子题练变式 5.【2026安徽淮南期末，中】如图，抛物线与 轴交 于点和点，与轴交于点，对称轴为直线 . （1）求抛物线的表达式； 【解】抛物线与轴交于点和点 ，对称轴 为直线，易得.将点，的坐标代入 ， 得解得 抛物线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （2）若点为线段下方抛物线上一点，过点作轴于点，再过点 作 于点，请求出 的最大值. 【解】在中，令，则，.又 ， ，.， 是等腰直角三角形， .设点的坐标为，则点 的坐标为 ，，， . ，当时，有最大值，最大值是 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 母题学大招3 铅垂法巧求面积最值 6.［中］如图，抛物线，，为常数， 经 过点，， . （1）求抛物线的表达式. 【解】设.把代入，得 ， 解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （2）连接，点在直线下方的抛物线上，求出的面积最大时点 的坐标. 【解】如图，过点作轴于点，交于点 .由 ，，易得直线的表达式为 .设 ，则 ， ， ，当时，最大，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 大招解读 铅垂法巧求面积最值 铅垂法是一种求三角形面积的特殊方法，主要解决的是 斜三角形面积问题.具体公式为三角形面积等于水平宽和 铅垂高乘积的一半.三角形的水平宽指的是两个顶点之间 结论证明 的水平距离，而铅垂高是指从一个顶点到对边的铅垂高度. 如图， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 子题练变式 7.【2025安徽全椒质检，较难】如图，抛物线与 轴相 交于原点和点，直线与抛物线在第一象限的交点为点 ， 抛物线的顶点为点 . （1）求点和点 的坐标； 【解】抛物线，. 直线 与抛物线在第一象限的交点为点，联立得 解 得或（舍去），.故点和点 的坐标分别为 和 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （2）点是点关于抛物线对称轴的对称点，点是直线 下方的抛物线上的动 点，与直线交于点.设和的面积分别为和，求 的最大值. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解】由题可知，点与点关于直线对称， . 如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点， ， ， . 设，则 ， . ， ， ， 当 时，的最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 $