江苏扬中市第二高级中学2026年高二暑假数学（数列的通项与求和）复习自测练习

**基本信息** 聚焦数列通项与求和，通过单选（8题）、多选（3题）、填空（3题）、解答（5题）覆盖基础与综合应用，融入杨辉三角垛等数学文化素材，培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|通项公式、前n项和|基础递推关系应用，如已知Sn求an| |多选题|3/18|等差等比判定、求和综合|多选项分层考查性质，如Sn与an关系判断| |填空题|3/15|递推数列、面积求和|结合图形情境，如挖正三角形面积累加| |解答题|5/77|等比证明、递增数列、参数范围|多问递进设计，如证明与求和综合，需逻辑推理与模型构建|

2026年暑假高中数学（.数列的通项与求和）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知在数列中，对任意正整数，有，则 （ ） A． B． C． D． 2．数列中，，则数列前项和为 （ ） A． B． C． D． 3．已知数列的前n项和为，若，则 （ ） A. B. C. D. 4．数列满足，，数列的前n项和为 （ ） A. B. C. D. 5．南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为 （ ） A. B. C. D. 6．已知函数，若等比数列满足，则 （ ） A. B. C. 2 D. 2021 7．已知数列满足，若，则的前2022项和为 A. B. C. D. （ ） 8．设数列的前项和为，，，若，则正整数的值为 （ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有 A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前项和 （  ） 10．已知数列满足，且，则下列正确的有 （   ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和为 D．若数列的前项和为，则 11．设数列，的前项和分别为，，，，且，则下列结论正确的是 A． B． C． D． （ ） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．数列{}满足：，则 . 13．已知数列， 满足， ， ，则 ． 14．如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图（1）；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图（2）……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知数列满足：，数列满足，，，数列的前项和为. （1）求证：数列为等比数列； （2）求证：数列为递增数列；（3）若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围. 16.已知数列满足，（1）计算的值； （2）令，求证：数列是等比数列； （3）设、分别为数列、的前项和，是否存在实数， 使得数列为等差数列?若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由. 17．已知在正项数列 （1）求证：数列为等比数列；（2）设； （3）记为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．已知数列满足，，，数列满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n项和为，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 19．已知数列的前项和为，，是与的等差中项. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）设，若数列是递增数列，求的取值范围； （3）设，且数列的前项和为，求证：. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（.数列的通项与求和）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知在数列中，对任意正整数，有，则 （ B ） A． B． C． D． 2．数列中，，则数列前项和为 （ B ） A． B． C． D． 3．已知数列的前n项和为，若，则 （ C ） A. B. C. D. 4．数列满足，，数列的前n项和为 （ D ） A. B. C. D. 【详解】由可得，累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，①，② ①②可得， 因此，.故选：D 5．南宋数学家杨辉在《解析九章算法•商功》一书中记载的三角垛､方垛､刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为 （ D ） A. B. C. D. 【详解】由题意可得，，，，，于是有， 所以，，，，，， 将以上个式子相加，得，所以， 所以 .故选：D. 6．已知函数，若等比数列满足，则 A. B. C. 2 D. 2021 （ D ） 【详解】解：根据题意，等比数列满足，则有， 若，则，则有， 同理：， 则（1）（1），则， 故；故选：D． 7．已知数列满足，若，则的前2022项和为 A. B. C. D. （ B ） 【详解】由题意知数列满足，当时，； 当时，，故，则， 也适合该式，故，则， 故的前2022项和为 ，故选：B 8．设数列的前项和为，，，若，则正整数的值为 （ C ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【详解】由，两边取倒数可得：，即，又， 所以是首项为1，公比为的等比数列，所以， 故，令 由且，则， 由，则， 则，所以， 故，则正整数的值为2022．故选：C 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有 A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前项和 （ BCD ） 【详解】因为数列的前项和为，且满足，，， 对于A选项，由已知等式变形可得，且，所以，，所以，数列是首项和公比均为的等比数列，故，A错； 对于B选项，由已知等式变形得，且， 所以，数列是首项和公比均为的等比数列，则，B对； 对于C选项，由可得，所以， ，C对；对于D选项，， 记，则， 这两个等式作差得， 所以，，故 ，D对故选：BCD. 10．已知数列满足，且，则下列正确的有 （ ACD ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和为 D．若数列的前项和为，则 【详解】对A，由可得，故数列是以为首项，1为公差的等差数列， 故，即，则，故A正确；对B，，故数列的前项和为，故B错误；对C，，则前项和为，故C正确；对D，， 则， 又易得随的增大而增大，故，即，故D正确.故选：ACD 11．设数列，的前项和分别为，，，，且，则下列结论正确的是 A． B． C． D． （ABD） 【详解】由题意，得，∴当时，， 又当时也符合上式，∴，易得，∴，故A，B正确； ， ，易知单调递增，∴，∴，故C错误，D正确.故选:ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．数列{}满足：，则 . 13．已知数列， 满足， ， ，则 ． 14．如下图所示：一个正三角形被分成四个全等的小正三角形，将其中间小正三角形挖去如图（1）；再将剩余的每一个正三角形都分成四个全等的小正三角形，并将中间的小正三角形挖去，得到图（2）……如此继续下去，设原正三角形边长为4，则第5张图中被挖掉的所有正三角形面积的和为_________. 【详解】解：设第次挖去的正三角形个数为，对应的每一个正三角形面积为，所以第次挖去的正三角形总面积为，由题知，，即为等比数列，公比为，首项为，所以；设原正三角形的面积为，由于原正三角形边长为4，故.由题知，，即为等比数列，公比为，首项为，所以，所以，由于，故为等比数列， 所以的前项和为，所以当时，图中被挖掉的所有正三角形面积的和为故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知数列满足：，数列满足，，，数列的前项和为. （1）求证：数列为等比数列； （2）求证：数列为递增数列；（3）若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围. 15．证明：（1），所以为等差数列， 又， ， ， 又因为 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）， 所以， 当， 又， 所以数列是单调递增数列； （3）因为当且仅当时，取得最小值， 所以. 16.已知数列满足，（1）计算的值； （2）令，求证：数列是等比数列； （3）设、分别为数列、的前项和，是否存在实数， 使得数列为等差数列?若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由. 16．解：（1） （2） 1. 由（2）得 累加得： ， 设，所以 若为等差数列，则所以， 所以则所以存在使得为等差数列。 17．已知在正项数列 （1）求证：数列为等比数列；（2）设； （3）记为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．解：（1）证明：因为点上， 所以 两边取对数得，， ， 故数列是公比为2的等比数列； （2）， ， ； （3）由（1）（2）可知，数列是首项为，公比为2的等比数列， ， 即 因为， 所以， 所以， 所以， 所以 ， 若为定值，则 故当时，为定值. 18．已知数列满足，，，数列满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n项和为，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 18．解：（1）因为， 当时，，解得； 当时，可得， 作差得，即； 且，满足， 所以为常数列，即，则，， 由题意可知：数列是以首项为2，公比为2的等比数列，则， （2）由（1）可知：数列满足， 数列的前n项和， 则， 两式相减得， 所以， 不等式化为， 可知数列为递增数列，则有： 若n为偶数，，取，可得； 若n奇数，，取，可得； 综上所述：实数的取值范围是． 19．已知数列的前项和为，，是与的等差中项. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）设，若数列是递增数列，求的取值范围； （3）设，且数列的前项和为，求证：. 19．解：（1）证明：是与的等差中项， ①， 于是有②， ①②，即， ， 又，，， ，， ，即有， 又，， 是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. （2）由（1）可知，， ，， 所以， 是递增数列，，， 当是奇数时，，即恒成立， 数列单调递增，， 当是偶数时，，即恒成立 数列单调递减，， 综上，的取值范围是. （3），， 即， 当时， . ，， 当时，，综上所述，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $