5.10神奇的默比乌斯带 （教学设计） -2026-2027学年数学人教版四年级上册

该小学数学教学设计聚焦默比乌斯带的制作方法、单面特性及剪切规律，通过古老谜题故事导入引发认知冲突，连接“纸有两面”的原有经验，以制作对比环、涂色验证、剪切探索为学习支架，实现从感性操作到理性认知的递进。 其亮点在于“操作—探索—应用”的教学逻辑，通过制作普通环与扭转环对比、涂色验证单面性、剪切猜想与验证等活动，落实几何直观、空间观念和创新意识。例如涂色实验让学生直观感知单面特性，剪切探索培养推理能力，既激发学生数学探索兴趣，又为教师提供清晰的素养培养路径。

第五单元 第10课时 神奇的默比乌斯带 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·人教版 授课班级 授课教师 年 级 学 期 单 元 五 课 题 第10课时 神奇的默比乌斯带 一、教材内容分析 1.知识内涵 （1）本课时是小学数学几何拓展内容，属于拓扑学初步认知，打破传统平面与立体图形的认知边界，为空间几何学习积累感性经验，激发数学探索兴趣。 （2）以“变魔术”情境引入，通过制作普通环与扭转环对比，借助涂一涂（验证单侧性）、沿中线剪（得长度加倍环）、沿宽度剪（得套环）等操作活动呈现内容，最后结合定义与生活应用（如机器传动带）深化认知。 （3）编排特点为“操作—探索—应用”，符合小学生认知规律；意图是通过直观操作体验数学神奇，培养探究能力；逻辑线索：激趣引入→对比制作→操作探索→定义应用，从感性到理性层层递进。 2.素养内涵 本课时承载几何直观、空间观念、推理意识、应用意识、创新意识等核心素养，具体表现： （1）几何直观：通过涂色验证单侧性，借助图形理解抽象拓扑特征； （2）空间观念：扭转纸条形成默比乌斯带，感知二维到三维转化及剪开后的形态变化，发展空间感知与想象； （3）推理意识：通过操作结果归纳规律，如沿中线剪的结果，培养初步归纳推理能力； （4）应用意识：了解默比乌斯带在传动带中的应用，体会数学与生活联系； （5）创新意识：通过魔术情境与未知探索，激发好奇心与创新思维，鼓励尝试新操作与猜想。 二、教学目标 通过制作和探索默比乌斯带的过程，认识其单面特性及剪后变化，掌握相关操作技能。 在猜想与验证默比乌斯带特性的活动中，培养观察推理能力，发展空间观念。 了解默比乌斯带的应用，感受数学魅力，激发探索数学的兴趣与好奇心。 三、教学重难点 1.教学重点 掌握默比乌斯带的制作方法，了解其单侧面特性及沿中线、宽度剪开的结果。 2.教学难点 理解默比乌斯带单侧面的本质，以及不同剪法结果的形成原因。 四、课堂导入 故事导入法： 教师活动：今天老师给大家讲一个有意思的古老谜题：有人把写着不同内容的纸条做成了一个特殊纸圈，原本正反两面不同的内容，居然变成了从头到尾全是同一种内容，这是怎么做到的呢？ 学生活动：自由猜想，议论纷纷，说不出原因，充满好奇。 教师过渡：这个特殊纸圈藏着奇妙的数学奥秘，今天我们就一起来认识它。 【设计意图：用趣味谜题制造认知悬念，激活学生“纸都有两个面”的原有经验，引发认知冲突，激发探究欲望，自然引出本课主题。】 五、探究新知学习任务一 制作默比乌斯带并验证单面性 活动1：制作两种纸环 教师活动：出示两张两面颜色不同的长方形纸条，引导学生标上序号①、②。提问：“如何将纸条①变成普通环？纸条②呢？请大家按照要求操作：纸条①两端直接粘贴，纸条②捏一端、另一端扭转180°后粘贴。” 学生活动：动手制作普通环（①号）和扭转环（②号），观察两个环的形状差异。 教师活动：展示学生制作的纸环，追问 核心问题：“这两个环看起来有什么不同？你觉得它们的面数会一样吗？” 活动2：涂色验证面的数量 教师活动：提出 核心问题：“①号普通环有几个面？②号扭转环呢？请用彩色笔涂一涂，尝试一次连续不断地涂完②号环的整个面，看看会有什么发现。” 学生活动：用彩色笔涂色，发现普通环需要涂两次（正反两面），而扭转环可以一次连续涂完所有区域。教师归纳：②号扭转环只有一个面，这种神奇的纸环叫作默比乌斯带。 【设计意图：通过动手制作和涂色实验，让学生直观感知默比乌斯带的单面特性，经历从操作到发现的过程，培养空间观念和几何直观素养，落实“做中学”的教学理念，突破“理解默比乌斯带单面性”的重难点。】 学习任务二 探索默比乌斯带的剪切奥秘 活动1：沿中线剪切 教师活动：出示带有中线虚线的默比乌斯带，提出核心问题：“如果沿默比乌斯带的中线剪开，会得到什么结果？和普通环沿中线剪开的结果一样吗？请大家动手试一试。” 学生活动：用剪刀沿中线剪开，观察到结果是一个长度加倍、宽度减半的闭合环。 教师活动：引导学生对比普通环剪开后的两段纸条，提问：“为什么默比乌斯带沿中线剪开后没有分成两段？这说明它的结构有什么特别之处？” 活动2：沿宽度剪切 教师活动：提出核心问题：“如果沿默比乌斯带离边缘宽度的地方一直剪下去，会有什么发现？请先猜测，再操作验证。” 学生活动：猜测结果后动手剪切，发现得到两个套在一起的环——一个较小的默比乌斯带和一个较大的普通环。教师归纳：默比乌斯带的剪切结果具有神奇的规律性，这是由它的单面、单侧结构决定的。 【设计意图：通过两次剪切实验，让学生经历“猜测—操作—观察—总结”的探究过程，培养观察能力和逻辑推理能力，激发对数学图形的好奇心和探索欲，指向创新意识和数学应用素养的培养，落实“让学生经历知识形成过程”的教学目标。】 六、课堂练习 1.制作默比乌斯带时，需要将纸条的一端扭转多少度后再与另一端粘贴？ 2.普通纸环有2个面，默比乌斯带只有几个面？ 3.把默比乌斯带沿中线剪开，会得到一个怎样的环？ 4.沿默比乌斯带离边缘宽度的地方一直剪下去，会得到什么结果？ 5.机器传动带做成默比乌斯带状，主要是为了避免什么问题？ 七、课堂小结 本节课我们学习了神奇的默比乌斯带： 用两面颜色不同的纸条制作了普通环和扭转180°后粘贴的环（默比乌斯带）； 发现默比乌斯带是单侧面的，能一次连续不断地涂完整个面； 探索了剪开默比乌斯带的结果：沿中线剪得到长度加倍、宽度减半的闭合环；沿宽度剪得到两个套在一起的环（一个小默比乌斯带和一个大普通环）； 知道了这个神奇的环叫默比乌斯带，是德国数学家默比乌斯发现的。 八、课后作业设计 基础性作业 1.请准备一张两面颜色不同的长方形纸条，按照教材方法制作一个默比乌斯带。用彩色笔涂一涂，观察能否一次连续不断地涂完整个面，并简单描述你的发现。 2.将你制作的默比乌斯带沿中线（纸条宽度的一半处）剪开，记录剪开后的结果（可用文字或画图表示）。 3.默比乌斯带是哪位数学家发现的？它在生活中的一个应用是什么？（至少写出一个） 拓展性作业 1.尝试将长方形纸条扭转180°两次（共360°）后粘贴成环，再沿中线剪开，观察并记录结果。 2.除了教材提到的机器传动带，你还能想到默比乌斯带在生活中的其他应用吗？查阅资料或发挥想象，写出1-2个应用并说明理由。 参考答案 基础性作业 1.答案：能一次连续涂完整个面，说明默比乌斯带只有一个面。设计意图：巩固默比乌斯带的制作方法，验证其“单面性”核心特性，培养动手操作与观察能力。 2.答案：剪开后得到一个长度为原带2倍、宽度为原带1/2的闭合环。设计意图：通过实际操作加深对默比乌斯带沿中线剪开结果的认知，体会其“神奇性”。 3.答案：德国数学家默比乌斯；应用示例：机器传动带（避免只磨损一面）、录音带（延长播放时间）等。设计意图：回忆默比乌斯带的常识，联系生活实际，理解数学知识的应用价值。 拓展性作业 1.答案：得到两个大小相同的普通环，且套在一起。设计意图：鼓励探索不同扭转次数的环的特性，培养创新思维与探究精神。 2.答案：示例1：过山车轨道（利用单侧面特性设计连续无间断的轨道，增加趣味性）；示例2：莫比乌斯环饰品（独特的拓扑结构带来视觉美感）。理由合理即可。设计意图：激发想象力，引导学生将数学知识与生活结合，培养资料查阅与问题解决能力。 九、板书设计 （默比乌斯带） 1. 两种环的对比 普通纸环：两端直接粘贴，有 2 个面。 默比乌斯带：一端扭转 180° 后粘贴，只有 1 个面。 2. 默比乌斯带的神奇特性（剪裁实验） 沿中线剪：长度加倍、宽度减半的闭合大环。（注意：剪完不会变成两个环，而是变成一个更大的环） 沿 1/3 宽度剪：得到一个套在一起的结构，包含一个小默比乌斯带和一个大普通纸环。（这个现象非常奇妙，是课堂拓展的亮点） 3. 实际应用 机器传动带：做成默比乌斯带形状，两面同时磨损，避免单面过度磨损，延长使用寿命。 4. 发现者 发现者：德国数学家 默比乌斯（于 1858 年发现）。（补充小知识：另一位数学家李斯廷也在同年独立发现了它） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $