山东省济南市钢城区第三中学2026-2027学年上学期八年级数学开学模拟练习卷

**基本信息** 八年级开学模拟卷，120分钟120分，涵盖几何图形、代数方程、统计概率等知识，基础巩固与能力提升结合，通过二维码估计、疫苗接种调查等情境体现应用意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|中心对称图形、二元一次方程、随机事件|结合生活成语（守株待兔）考查随机事件，体现数学眼光| |填空题|5/15|因式分解、概率估计、完全平方式|二维码面积估计（频率稳定0.7），培养数据意识| |解答题|10/75|方程组、不等式组、统计、几何证明|新冠疫苗接种调查（抽样统计与概率计算），“松雅点”新定义（抽象能力），探照灯旋转（推理能力）|

山东省济南市钢城区第三中学2026-2027学年八年级上学期开学模拟练习卷 考试时间：120 分钟 满分：120 分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1．下列四幅图案，在设计中用到了中心对称的图形是（     ） A． B． C． D． 2．下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列成语对应的事件属于随机事件的是（     ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．缘木求鱼 4．某人带元去文具店，想买本练习本和支铅笔，但钱不够，结果买了本练习本和支铅笔，还剩元，请你算一算：本练习本和支铅笔哪个价格高？（     ） A．本练习本 B．支铅笔 C．一样高 D．无法确定 5．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．光明学校进行《西游记》，《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》四大名著的阅读活动，小明从中任取一本，恰好抽到《西游记》的概率为（     ） A． B． C． D． 7．已知是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．定义一种运算：，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 9．在如图所示的长方形中，放入5个形状，大小相同的小长方形（阴影部分），其中，，则空白部分图形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，两张相同的矩形纸片交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．过点分别作于点于点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D．2 二、填空题（5 小题，每题 3 分，共 15 分） 11．因式分解：________________． 12．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.7左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为___________． 13．如果关于的多项式是一个完全平方式，那么______． 14．如图，直角三角形的斜边在y轴的正半轴上，点A与原点重合，点B的坐标是，且，若将绕着点O旋转后，点B和点C分别落在点E和点F处，那么直线的解析式是______． 15．已知，则_______． 三、解答题（10题，16题至24题，每题7分，第25题12分，共 75 分） 16．按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解方程组：． 17．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 18．因式分解： (1) (2) 19．如图，的顶点在格点上，点，也在格点上，按要求完成下列问题． (1)若点为原点，点坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)平移，使点移动到点位置，画出平移后的． (3)求平移后的的面积． 20．我市幸福小区居民在“一针疫苗一份心，预防接种尽责任”的号召下，积极联系社区医院进行新冠疫苗接种．为了解接种进度，该小区管理人员对小区居民进行了抽样调查，按接种情况可分如下四类，A类：还没有接种；B类：接种了只需要注射一针的疫苗；C类：接种了需要注射二针，且二针之间要间隔一定时间的疫苗；D类：接种了要注射三针，且每二针之间要间隔一定时间的疫苗；图1与图2是根据此次调查得到的统计图（不完整）． 请根据统计图回答下列问题． (1)此次抽样调查的人数是多少人？ (2)接种B类疫苗的人数的百分比是多少？接种C类疫苗的人数是多少人？ (3)请估计该小区所居住的18000名居民中有多少人进行了新冠疫苗接种． (4)为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集2名志愿宣传者，现有3男2女共5名居民报名，要从这5人中随机挑选2人，求恰好抽到一男和一女的概率是多少． 21．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况．如图，探照灯A射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，探照灯B射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯A射出的光束的转动速度是/秒，探照灯B射出的光束的转动速度是/秒，且，满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图，两探照灯同时转动，在探照灯A射出的光束到达之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯B射出的光束先转动秒，探照灯A射出的光束才开始转动，在探照灯B射出的光束第一次到达之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯A转动的时间． 22．为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件元，明信片每件元．计划一共采购件，总费用不超过元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的．则至少需要采购心愿卡多少件？ 23．如图所示，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴分别交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的表达式． (2)在直线上是否有一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，，若点满足，则把点称作，两点的“松雅点”；且把数值称作，两点的“唯一值”．根据该约定，完成下列各题： (1)若点是，两点的“松雅点”，则________，________，，两点的“唯一值”________（将正确的答案填写在相应的横线上）； (2)已知点，且点是，两点的“松雅点”，先将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，若直线与坐标系中的轴平行，，两点的“唯一值”，求点的坐标． 25．如图，为直径，C、D为上的点，交的延长线于点E，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，求的长． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省济南市钢城区第三中学2026-2027学年八年级上学期开学模拟练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B A D C C D D A 1．D 【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 2．D 【分析】根据二元一次方程的定义判定，二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程 ②含有两个未知数 ③所有含未知数的项的次数均为1，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程． 对选项A： 中，项的次数为2，不符合定义，故A不是二元一次方程，不符合题意； 对选项B：不是等式，不属于方程，不符合定义，故B不是二元一次方程，不符合题意； 对选项C： 中，是分式，该方程不是整式方程，不符合定义，故C不是二元一次方程，不符合题意； 对选项D：是整式方程，含两个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程的定义，故D是二元一次方程，符合题意． 3．B 【详解】解：选项A水中捞月一定不会发生，属于不可能事件； 选项B守株待兔可能发生也可能不发生，属于随机事件； 选项C水涨船高一定会发生，属于必然事件； 选项D缘木求鱼一定不会发生，属于不可能事件． 4．A 【分析】设每本练习本价格为元，每支铅笔价格为元，根据题意列出不等式和等式，通过作差比较本练习本总价和支铅笔总价的大小即可得出结论． 【详解】解:设每本练习本价格为元，每支铅笔价格为元， 根据题意可得： 由式两边同除以得， ∴， 将代入式得： ， 整理得， ∴， 作差比较与的大小： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴本练习本价格更高． 5．D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】根据概率公式，用符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数即可求解． 【详解】解：∵共有4本不同的名著，从中任取一本时所有等可能的结果共4种， 其中抽到《西游记》的结果只有1种， ∴所求概率． 7．C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，解出、的值后，代入计算即可． 【详解】解：是原方程组的解， 将代入，得， ，得， 解得； 把代入，得， 解得； ． 8．D 【分析】根据新定义的运算规则，分和两种情况列出不等式，分别求解后取并集即可得到解集． 【详解】解：由定义可知，需分两种情况讨论： 情况1：当时， 解不等式得，即， 此时，原不等式化为， 解得， 结合前提，得此情况解集为； 情况2：当时， 解不等式得，即， 此时，原不等式化为， 解得， 结合前提，得此情况解集为； 综上，原不等式的解集为或． 9．D 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长、宽，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，进而根据面积公式即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， 则空白部分图形的面积为． 10．A 【分析】先证明四边形是菱形，得到，，，再证明是等边三角形，得到，即可代入解方程即可． 【详解】解：∵纸片是矩形， ∴，纸片的高相等，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴的面积， ∴， ∴四边形是菱形， ∵ ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得（负值舍去）． 11． 【详解】 ． 12． 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为0.7，即黑色阴影的面积占整个面积的0.7，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，估计此二维码中黑色阴影的面积为． 13． 36 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的结构特征，对比多项式的对应系数即可求解. 【详解】解：关于的多项式是完全平方式， 根据完全平方式的结构可得， ， 对比系数得， 计算得. 14．或 【分析】根据点的坐标以及勾股定理求出相关线段的长度，分逆时针和顺时针两种情况进行讨论，利用线段的长度求出相关点的坐标，最后利用待定系数法求解． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴由勾股定理得． ①如图所示，将绕着点O逆时针旋转时， 根据旋转得， ∴点， ∴直线的解析式是； ②如图所示，将绕着点O顺时针旋转时，过点作轴于点，过点作轴于点， 根据旋转得，， ∵轴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得， ∴点， 设直线的解析式是， ∴， 解得， ∴直线的解析式是； 综上，直线的解析式是或． 15． 【分析】根据绝对值及平方的非负数性质得出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 16．(1) (2) 【分析】（1）分别计算乘方、绝对值、立方根，然后去括号合并常数项化简； （2）用加减消元法消去求出，再代回方程算出，得到方程组的解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：已知， 得， 解得， 将代入， 得， 解得， 故原方程组的解为． 17．，所有非负整数解为0，1 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， ∴所有非负整数解为0，1． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1)建立平面直角坐标系如图， ； (2)如图，为所求； (3) 【分析】（1）以点为原点、结合点确定横轴、纵轴，建立平面直角坐标系，根据网格读出坐标． （2）确定点到的平移方向与格数，将按相同规则平移，顺次连接对应顶点得到． （3）用矩形包围三角形，通过矩形面积减去周围三个直角三角形面积，求得目标三角形面积． 【详解】（1）解：作图略，； （2）略 （3）解：如图所示， 20．(1)200人 (2)，30人 (3)16200人 (4) 【分析】（1）由A类的人数除以所占百分比即可求解； （2）由接种B类疫苗的人数除以此次抽样调查的人数得出接种B类疫苗的人数所占的百分比；再由此次抽样调查的人数乘以接种C类疫苗的人数所占的百分比即可； （3）由该小区所居住的总人数乘以B、C、D三类所占的百分比即可； （4）画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：此次抽样调查的人数为：（人）； （2）解：接种B类疫苗的人数的百分比为：， 接种C类疫苗的人数为：（人）； （3）解：（人）， 即估计该小区所居住的18000名居民中有16200人进行了新冠疫苗接种； （4）解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种， ∴恰好抽到一男和一女的概率为． 21．(1)、的值分别为， (2) (3)当秒或77.5秒时，两探照灯的光束互相平行 【分析】（1）利用绝对值的非负性和平方的非负性得出，，解方程组即可求出，的值； （2）过点作，设灯A转动的时间为秒，先得出，，然后建立方程求出，最后根据，，即可求出的度数； （3）先根据题意确定，当时，此时探照灯A射出的光束还没有达到，可建立方程，解得；当时，此时探照灯A射出的光束已经达到后返回了，可建立方程，解得：；当时，此时探照灯A射出的光束第二次从出发，可建立方程，解得，不符合题意，舍去． 【详解】（1）解：， ， 解得，， 、的值分别为，． （2）解：如图，过点作， ， ， ，， 设灯A转动的时间为秒， 则，， ，， ， ， ，解得， ，， ， ． （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ∵探照灯B射出的光束先转动秒， 又∵探照灯B射出的光束自顺时针旋转至需要秒， ∴探照灯B射出的光束第一次到达还需要秒， ∴， ①当时，如图所示， ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵此时探照灯A射出的光束还没有达到， ∴，， ∴，解得； ②当时，如图所示， ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵此时探照灯A射出的光束已经达到后返回了， ∴，， ∴，解得：； ③当时，如图所示， ∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵此时探照灯A射出的光束第二次从出发， ∴，， ∴，解得，不符合题意，舍去； 综上：当秒或秒时，两灯的光束互相平行． 22．至少需要采购心愿卡件 【分析】设需要采购心愿卡件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【详解】解：设需要采购心愿卡件，根据题意，得 ， 解得，     为正整数， 的最小值为， 答：则至少需要采购心愿卡件． 23．(1)； (2)存在；或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）把点代入即可求出m；再求出点C坐标，用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据三角形的面积公式求出的面积；设点P坐标为，分两种情况求出的面积，从而求出m的值． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 把D，C坐标代入得：， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线的解析式为， 当时，， ∴点A坐标为， ∴； ∵直线的解析式为， 当时，， ∴点B坐标为， 如图所示：设点P坐标为， 当P在轴右侧时， 当时，则有：， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当P在轴左侧时， 同理可得，， ∴点的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 24．(1)，， (2)点的坐标是 【分析】（1）根据“松雅点”和“唯一值”的定义求解即可； （2）根据“松雅点”的定义得到，再结合平移的性质，得到，根据“唯一值”的定义，得出，根据直线与坐标系中的轴平行得到，解方程组即可． 【详解】（1）解：点是，两点的“松雅点”， ， 解得：，， ，， ，两点的“唯一值”； （2）解：设点的坐标为， 点是，两点的“松雅点”， ， ， 将点向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点， ，即， ，两点的“唯一值”， ， ， ， ∵直线与轴平行， ∴点与点的纵坐标相等， ， ， 即， 由得，， 解得：，， ，， 点的坐标为． 25．(1)直线与相切， 理由：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线是的切线； (2)证明：连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）连接，证明即可； （2）连接，根据四边形为的内接四边形，结合圆周角定理，证明即可； （3）证明，结合勾股定理，求解即可； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第16页，共18页 答案第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $