重难点培优04 圆锥曲线中的二级结论（焦点三角形面积公式、焦半径、垂径定理、第三定义等）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦圆锥曲线二级结论，涵盖焦点三角形、通径、焦比公式等八大核心考点，按知识逻辑分层梳理，通过知识精讲、题型深研、分层训练环节，帮助学生构建系统知识网络，突破高考难点。 讲义以题型变式训练和分层进阶为特色，如焦比公式结合倾斜角参数建立模型，培养数学思维与模型观念，双阶练习保障复习效果，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供精准指导。

重难点培优04 圆锥曲线中的二级结论内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 1 题型01 焦点三角形面积公式的应用 5 题型02 圆锥曲线的通径 6 题型03 焦比公式 7 题型04 焦半径公式 8 题型05 垂径定理及应用 8 题型06 圆锥曲线的第三定义 9 题型07 双曲线渐近线距离问题 10 题型08 抛物线焦点弦的性质 10 分层进阶·双阶训练验成效 12 巩固过关 12 创新提升 14 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 焦点三角形面积公式 （1）椭圆中的焦点三角形面积公式 设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，椭圆焦点三角形的面积为 证明：设 ． （2）双曲线中的焦点三角形面积公式：（为焦距对应的张角） 知识点2圆锥曲线焦比公式与通径 过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于A,B两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦，与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径. (1)焦比公式 ①设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足. ②设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F，过的直线与双曲线右支于A，B两点，直线的倾斜角为，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于. ③设抛物线的焦点F，过的直线与抛物线交于A，B两点，直线的倾斜角为，且，则. (2)通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 知识点3圆锥曲线的焦半径公式 （1）椭圆焦半径 设为椭圆上的一点，为椭圆的一个焦点， 焦半径坐标式 ①焦点在轴：焦半径(左加右减)； ② 焦点在轴：焦半径(上加下减)． 焦半径角度公式： （2）双曲线焦半径　 设为双曲线上的一点，为双曲线的一个焦点， ①焦点在轴：在左支，在右支； ②焦点在轴：在下支，在上支． 焦半径角度公式：（P与F位于同侧取正，位于异侧取负） （3）抛物线焦半径　 设为抛物线上的一点，为抛物线的焦点， ①焦点在轴：焦半径 ② 焦点在轴：焦半径 焦半径角度公式 知识点4 垂径定理 （1）椭圆中垂径定理 已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 （2）双曲线中的垂径定理 已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 知识点5圆锥曲线的第三定义 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 推论：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 知识点6 双曲线中有关渐近线距离的结论 【性质1】 ①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数. ②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. 【性质2】①双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值. 知识点7 抛物线焦点弦的有关结论 设AB是过抛物线焦点的弦，若，，则    (1) (2)焦半径，(α为弦AB的与x轴夹角) 证明：由抛物线的定义易得． 又，同理可证． (3) 弦长 (α为弦AB的倾斜角)． 证明：由（2）可得 (4) 焦点弦与圆有关的结论： ①以AB为直径的圆与准线相切 ②以为直径的圆与切于焦点； ③以焦半径为直径的圆与轴相切； ④以焦半径为直径的圆与与轴相切； (5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦． (6) （定值）. (7) 已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦， 存在最小值，且最小值为. 证明： （当且仅当时等式成立），所以的最小值为. （8）已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，则四边形 的面积的最小值为. （9） ①三点共线；②三点共线． 中点弦斜率：若斜率为，为AB的中点，则． 证明：，由点差法得 题型深研·通法变式提能力 题型1 焦点三角形面积公式的应用 【典例1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【典例1-2】（2026·河南焦作·一模）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．2 【变式1-1】（2026·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【变式1-3】（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型2 圆锥曲线的通径 【典例2-1】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________． 【变式2-2】过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有______条． 【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型3 焦比公式 【典例3-1】（多选）（25-26高三上·山东青岛·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．以为直径的圆与直线相切 C． D．若，则 【变式3-1】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ） A． B．2 C． D．3 【变式3-2】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ） A．1 B． C． D．2 题型4 焦半径公式 【典例4-1】已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______. 【典例4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 【变式4-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 【变式4-2】已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则______. 【变式4-3】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_________________. 题型5 垂径定理及应用 【典例5-1】已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（ ） A．弦AB的最小值为 B．若，则三角形的周长 C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 【变式5-1】已知椭圆 ，则以点为中点的弦所在的直线方程为__________ 【变式5-2】已知椭圆，求斜率为 的平行弦的中点轨迹方程. 题型6 圆锥曲线的第三定义 【典例6-1】设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【变式6-1】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·河北雄安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型7 双曲线渐近线距离问题 【典例7-1】（2025·广东广州·一模）已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式7-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026山东联考）过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【变式7-3】设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型8 抛物线焦点弦的性质 【典例8-1】（多选）（2022新高考Ⅱ卷）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的 直线与交于，两 点，点在第一象限，点，若，则直线 的斜率为 A．直线AB的斜率为2 B． C． D． 【变式8-1】（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·甘肃·一模）过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【变式8-3】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1.（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2.（2026·全国·高三专题）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 3.设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 4.已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 5.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为 A．4 B． C． D．2 6.（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 7.已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.（多选）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 9.已知椭圆的左焦点为F，过F且斜率为2的直线l交椭圆C于A、B两点，则______ 10.过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则______. 创新提升 1.（25-26山东·东营·模拟测试）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 2.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2做倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ） A． B． C． D． 3.（25-26·浙江·一轮复习）黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A，B；椭圆上有一动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线， 斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 4.已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（    ）个． ① ② ③若点与点关于轴对称，则的面积为 ④当时，内切圆的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 6.已知抛物线的准线方程为，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4 C．以为直径的圆与轴相切 D．若，则直线的斜率为或 7.已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则______. 8.过双曲线的右焦点且斜率为的直线截该双曲线所得的弦长为______. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 圆锥曲线中的二级结论内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 1 题型01 焦点三角形面积公式的应用 6 题型02 圆锥曲线的通径 9 题型03 焦比公式 11 题型04 焦半径公式 13 题型05 垂径定理及应用 16 题型06 圆锥曲线的第三定义 18 题型07 双曲线渐近线距离问题 20 题型08 抛物线焦点弦的性质 22 分层进阶·双阶训练验成效 25 巩固过关 25 创新提升 30 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 焦点三角形面积公式 （1）椭圆中的焦点三角形面积公式 设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，椭圆焦点三角形的面积为 证明：设 ． （2）双曲线中的焦点三角形面积公式：（为焦距对应的张角） 知识点2圆锥曲线焦比公式与通径 过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于A,B两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦，与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径. (1)焦比公式 ①设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足. ②设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F，过的直线与双曲线右支于A，B两点，直线的倾斜角为，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于. ③设抛物线的焦点F，过的直线与抛物线交于A，B两点，直线的倾斜角为，且，则. (2)通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 知识点3圆锥曲线的焦半径公式 （1）椭圆焦半径 设为椭圆上的一点，为椭圆的一个焦点， 焦半径坐标式 ①焦点在轴：焦半径(左加右减)； ② 焦点在轴：焦半径(上加下减)． 焦半径角度公式： （2）双曲线焦半径　 设为双曲线上的一点，为双曲线的一个焦点， ①焦点在轴：在左支，在右支； ②焦点在轴：在下支，在上支． 焦半径角度公式：（P与F位于同侧取正，位于异侧取负） （3）抛物线焦半径　 设为抛物线上的一点，为抛物线的焦点， ①焦点在轴：焦半径 ② 焦点在轴：焦半径 焦半径角度公式 知识点4 垂径定理 （1）椭圆中垂径定理 已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 （2）双曲线中的垂径定理 已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 知识点5圆锥曲线的第三定义 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 推论：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 知识点6 双曲线中有关渐近线距离的结论 【性质1】 ①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数. ②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数. 【性质2】①双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值. 知识点7 抛物线焦点弦的有关结论 设AB是过抛物线焦点的弦，若，，则    (1) (2)焦半径，(α为弦AB的与x轴夹角) 证明：由抛物线的定义易得． 又，同理可证． (3) 弦长 (α为弦AB的倾斜角)． 证明：由（2）可得 (4) 焦点弦与圆有关的结论： ①以AB为直径的圆与准线相切 ②以为直径的圆与切于焦点； ③以焦半径为直径的圆与轴相切； ④以焦半径为直径的圆与与轴相切； (5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦． (6) （定值）. (7) 已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦， 存在最小值，且最小值为. 证明： （当且仅当时等式成立），所以的最小值为. （8）已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，则四边形 的面积的最小值为. （9） ①三点共线；②三点共线． 中点弦斜率：若斜率为，为AB的中点，则． 证明：，由点差法得 题型深研·通法变式提能力 题型1 焦点三角形面积公式的应用 【典例1-1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意知，因为，所，故选B. 【典例1-2】（2026·河南焦作·一模）已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】法一：设，，利用双曲线定义与余弦定理可计算出，再利用面积公式计算即可得解；法二：利用双曲线焦点三角形面积公式计算即可得. 【详解】法一：设，，则由双曲线定义可得， ，则， ，即， 则，故. 法二：由双曲线焦点三角形面积公式可得. 【变式1-1】（2026·河南新乡·期中）已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线焦点三角形面积公式求解即可. 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 所以． 【变式1-2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点三角形面积公式求解即可. 【详解】由椭圆：可知：三角形面积为：. 【变式1-3】（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合余弦定理和三角形面积公式得到椭圆焦点三角形的面积公式，根据已知条件即可得，再利用得到内切圆半径，最后利用三角形面积也等于半周长乘以内切圆半径得到关于的等式，求解即可得离心率. 【详解】设， 根据椭圆定义有，在中，由余弦定理可得 ， 即，整理得， 又的面积，由 可得，结合已知条件有，所以， 点为内切圆圆心，所以是的角平分线，设内切圆半径为， 作，垂足为，则， 同时由等面积法可知， 整理得，进而得到， 故的离心率为. 题型2 圆锥曲线的通径 【典例2-1】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分别求出，，利用条件，搭建的方程，从而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线，令，得， 双曲线的渐近线方程为，令，得， 所以，，由，得， 整理得，有，解得，所以双曲线E的渐近线方程为. 故选：B 【典例2-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，进而可得，即得． 【详解】∵，为椭圆的两个焦点， ∴，， 的周长为， 即， 若最小，则最大． 又当轴时，最小，此时， 故， 解得． 故选：C. 【变式2-1】．（2026·山东烟台·一模）已知椭圆的焦点为，过与轴垂直的直线截所得的弦长为1，则的离心率为___________． 【答案】/ 【分析】由题意得，结合已知通径长及得，进而有，根据离心率公式即可得. 【详解】由题意， 在中，令，可得，所以， 因为过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以，则， 其中，所以，则， 所以，则. 【变式2-2】过双曲线右焦点的直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有______条． 【答案】2 【分析】求出过右焦点与右支相交所得最短弦长、与左右两支相交所得最短弦长即可得解. 【详解】过双曲线的右焦点与右支相交所得最短弦长为双曲线通径，等于， 而，则点不可能都在双曲线右支上； 过双曲线的右焦点与左右两支相交所得最短弦长为双曲线实轴长， 而，则点在双曲线左右两支上，由对称性得这样的直线有2条. 故答案为：2 【变式2-3】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质，利用已知面积关系推出，从而得出即为通径，结合已知条件求出的关系，进而利用求出的关系，从而求解离心率． 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为， ， ， ，， ， ，故轴，是椭圆的通径，即， ， ，故， ，解得，即， ． 题型3 焦比公式 【典例3-1】（多选）（25-26高三上·山东青岛·期末）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，自两点向准线作垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．以为直径的圆与直线相切 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题目条件和抛物线的性质，逐一判断选项，即可得出结果. 【详解】根据题意抛物线为开口向右的抛物线，，焦点，准线为，设. 对于A，直线过最短的弦为通径，所以A错误； 对于B，以为直径的圆，圆心为的中点，半径， 圆心到准线的距离，又，即， 故圆与直线相切，所以B正确； 设直线的方程为，且有， ，联立得， 则， ，所以，所以C正确； 设直线的倾斜角为，根据抛物线焦比公式， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 【变式3-1】已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据焦比公式可直接求得答案.. 【详解】设直线的倾斜角为，则，根据抛物线焦比公式，结合题意可知，故即. 故选：D. 【变式3-2】已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线的倾斜角为，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于，进而求得离心率.. 【详解】设直线的倾斜角为，则，根据抛物线焦比公式， ∴ 故选：B 【变式3-3】已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足. 【详解】因为，设直线的倾斜角为，则，解得．因为，所以，故选B 题型4 焦半径公式 【典例4-1】已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______. 【答案】， 【解析】如图，设，则 由焦点弦公式，， 由焦半径公式，， ，所以. 【典例4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 【答案】/ 【分析】分别讨论直线的斜率是否为0，结合椭圆的焦半径公式求解即可. 【详解】当直线与轴重合时，与中一个为，另一个为， 所以． 当直线不与轴重合时，设直线的倾斜角为，则， 不妨设在轴上方，则， 所以．综上，．    【变式4-1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知椭圆，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，若，则______． 【答案】3 【分析】解法一：由已知条件得到直线的方程，联立直线和椭圆方程求得点横坐标，再由相似性质可得结果；解法二：由椭圆的焦半径公式表示出，化简可得结果；解法三：由焦比定理代入化简可得结果. 【详解】解法一：由题意知，，，所以，即，故直线为， 联立直线与椭圆方程得消去整理得，解得或， 又，所以，，由相似的性质可知，． 解法二：如图所示，设直线的倾斜角为，结合知，．    由题意知，，则．因为斜率，所以，所以． 解法三：由题意知，直线的斜率，设， 由焦比定理知，即，解得，即，所以． 故答案为：3. 【变式4-2】已知双曲线的左焦点为，过点的直线交双曲线的同一支于两点，若，则______. 【答案】2 【分析】利用焦半径公式可证，从而可得结论. 【详解】设，则，由焦半径公式， ， 所以， 从而，即. 故答案为：. 【变式4-3】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_________________. 【答案】 【分析】根据椭圆焦半径公式，设是椭圆上一点，①焦点在轴：焦半径(左加右减)；② 焦点在轴：焦半径(上加下减)． 【详解】由已知可得， 又为上一点且在第一象限,为等腰三角形， ．∴． 设点的坐标为，则 ，解得、， 的坐标为． 题型5 垂径定理及应用 【典例5-1】已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（ ） A．弦AB的最小值为 B．若，则三角形的周长 C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D．若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 【答案】ABC 【分析】A选项焦点弦最短为通径; B选项利用双曲线的定义即可得到三角形的周长;C选项中点弦利用点差法即可得到斜率之间的关系; D选项结合点渐近线斜率可以得到离心率的斜率. 【详解】对于A，    弦AB的最小值为通径，故A正确; 对于B，    由双曲线的定义得,, 所以,, , 则三角形的周长,故B正确; 对于C,根据椭圆中的垂径定理可得故C正确; 对于D,    若直线AB的斜率为,所以，所以，所以， 所以，故D错误. 故选：ABC. 【变式5-1】已知椭圆 ，则以点为中点的弦所在的直线方程为__________ 【答案】 【解析】由椭圆方程知 ，则，原点 与中点 连线的斜率 。设弦所在直线斜率为 ，根据垂径定理 ，即： ，由点斜式得 ，整理得： . 【变式5-2】已知椭圆，求斜率为 的平行弦的中点轨迹方程. 【答案】 【解析】设平行弦的中点为 ，已知 ， ，由垂径定理 ，代入数据得： 整理得 。 由于中点必须在椭圆内部，需满足 。 将 代入边界方程 ，解得 。 故轨迹方程为 。 题型6 圆锥曲线的第三定义 【典例6-1】设直线与双曲线相交于两点，为上不同于的一点，直线的斜率分别为，若的离心率为，则（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的第三定义可知，求值即可. 【详解】由题意可知点关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知， 又由，则. 故选：. 【变式6-1】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的第三定义可求得答案 【详解】根据椭圆的第三定义可知， 又， 所以. 故选：C 【变式6-2】（2026·河北雄安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 【详解】根据椭圆的第三定义可知，解得，故选B. 【变式6-3】（25-26高三下·云南楚雄·开学考试）已知点为椭圆：的上顶点，点，均在椭圆上，且，两点关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对，两点的位置特殊化，再结合圆锥曲线的第三定义可快速求出答案. 【详解】特殊化法：当，两点也关于原点对称时，可得所以椭圆的离心率，故选A. 题型7 双曲线渐近线距离问题 【典例7-1】（2025·广东广州·一模）已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设，将点坐标代入双曲线方程中可得.求出点坐标代入双曲线的两条渐近线的距离之积，结合化简可得的其次方程，即可求解离心率. 【详解】设. ∵点在双曲线上，，即. 又双曲线的两条渐近线分别为和， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为： ， ，即. 又，，，. 故选：D. 【变式7-1】已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质可知双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值. 【详解】由，得． 因为， 所以．又因为，所以， 所以， 所以． 故选：B． 【变式7-2】（2026山东联考）过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据条件证明四边形为矩形，在根据到两条渐近线的距离之积为定值，由此可得四边形面积. 【详解】双曲线的渐近线为或， 直线与相互垂直， 又， 所以四边形为矩形， 所以四边形的面积为， 故选：B. 【变式7-3】设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得． 详解：由题可知 在中， 在中, 故选B. 题型8 抛物线焦点弦的性质 【典例8-1】（多选）（2022新高考Ⅱ卷）已知为坐标原点，过抛物线的焦点的 直线与交于，两 点，点在第一象限，点，若，则直线 的斜率为 A．直线AB的斜率为2 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：设中点为，则所以所以故 选项B：所以所以 选项C： 选项D：由选项A,B知所以所以为钝角； 又所以为钝角； 所以.故选ACD. 【变式8-1】（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弦长 (α为弦MN的倾斜角)可求得P，进而得到焦点坐标，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 【变式8-2】（2026·甘肃·一模）过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】方法一：根据抛物线方程求出焦点坐标，设出直线的方程为，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求得，，然后利用基本不等式求最值即可. 方法二：根据抛物线焦点弦的性质：已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，存在最小值，且最小值为. 【详解】解法一：由抛物线，焦点坐标为， 由题意知，两条弦所在直线的斜率必存在且均不为0， 不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为， 设， 因为弦过抛物线焦点，所以设直线的方程为， 联立方程：，消去得：， 则， 且，故， 将中的换为，得， 所以可得， 当且仅当时，“”成立， 则的最小值为16. 解法二：存在最小值，且最小值为. 【变式8-3】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知直线过抛物线的焦点，与交于两点，若线段的中点的横坐标为2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线的焦点，所以，所以，故A错误； 抛物线为，焦点为， 因为抛物线的准线为，则，， 所以，故B正确； 设直线的方程为，与抛物线联立， 消去可得，可得，，故D错误； 因为，所以， 所以，所以，故C错误. 故选：B 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1.（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为，所以，从而，所以． 2.（2026·全国·高三专题）已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用椭圆焦点三角形面积公式可求得答案 【详解】由，得，又因为故，即. 故选：B 3.设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据结论|PF1||PF2|＝可得，然后由向量数量积定义得解. 【详解】记∠F1PF2＝θ，则|PF1||PF2|＝ 即， 则， 故选：A. 4.已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的第三定义可求得答案 【详解】根据椭圆的第三定义可知. 故选：C. 5.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为 A．4 B． C． D．2 【答案】D 【解析】，， ． 6.（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 7.已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中用表示出，再由三角形的面积公式得到关于的不等关系，从而得到离心率的范围. 【详解】由题，，则，由焦点三角形面积公式得 设则，所以， 故，所以，两边同时平方得，解得， 又，所以. 故选：D． 8.（多选）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合抛物线焦点弦的性质可快速求得答案。 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，选项A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，也适合上式，所以，选项B正确； 对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影， ， 所以，同理可得， 所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确； 对于选项D，由上可知：，， 所以，选项D不正确， 故选：ABC. 9.已知椭圆的左焦点为F，过F且斜率为2的直线l交椭圆C于A、B两点，则______ 【答案】 【解析】设直线l的倾斜角为，则，所以， 由焦点弦公式，. 10.过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则______. 【答案】2 【解析】设，因为，所以点A必在双曲线右支上， 由焦半径公式，，解得：，所以， 从而，双曲线C的渐近线的斜率为， 因为，所以点B也在双曲线的右支上，如图， 由图可知， 所以. 创新提升 1.（25-26山东·东营·模拟测试）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由题设可得，应用余弦定理、椭圆定义求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，，可得， ， 由，，则，即， 所以的面积. 故选：B 2.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2做倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】故选A. 3.（25-26·浙江·一轮复习）黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A，B；椭圆上有一动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线， 斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的第三定义可求得答案 【详解】根据椭圆的第三定义可求得答案 故选：D. 4.已知椭圆的左右焦点分别为．过点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点（在轴的上方），则下列说法中正确的有（    ）个． ① ② ③若点与点关于轴对称，则的面积为 ④当时，内切圆的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先推导出椭圆的焦半径公式及相关性质，从而判断①②③，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出，，设内切圆的半径为，由求出，即可判断④. 【详解】在中，由余弦定理， 即， 整理得，同理可得， 所以，，    对于椭圆，则、、， 所以，，故①错误； ，故②正确； 所以，， 又 ，(由题可知) 又， 所以，故③错误； 当时，直线的方程为， 由，消去整理得，显然， 所以，， 又，，则，， 设内切圆的半径为，则， 所以，解得， 所以内切圆的面积，故④正确；    故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出椭圆焦半径公式（倾斜角形式），利用结论直接解决问题. 5.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二级结论快速得到椭圆的离心率为和双曲线的离心率为的关系，再结合不等式求最值。 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，短半轴长，双曲线的实半轴长为，虚半轴长    则根据椭圆及双曲线的定义得：，设，根据椭圆和双曲线的对称性，可知 |PF1||PF2|= 故 平方后化简得，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 6.已知抛物线的准线方程为，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．设，则周长的最小值为4 C．以为直径的圆与轴相切 D．若，则直线的斜率为或 【答案】ACD 【分析】由抛物线的定义表示出，即可判断A；利用抛物线的定义和几何关系结合图形可判断B；画出大致图象，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合抛物线定义判断选项C；联立直线与抛物线，然后由条件和根与系数的关系即可判定D. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以，则，所以抛物线， 易知直线的斜率不为零，设其方程为， 联立，设，整理可得：， 易知，可得， ， 所以的最小值为，故A正确； 如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，， 根据抛物线的定义可得， 所以周长为, 由图可知，当与点等高时，有最小值， 最小值为到准线的距离，其值为， 所以，所以周长的最小值是，故B错误； 如图，取的中点为，过点作轴的垂线，垂足为， 因为，是梯形的中位线， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以为直径的圆与轴相切，故C正确； 因为，，解得， ，解得， ，因此D正确； 故选：ACD. 7.已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则______. 【答案】 【解析】设，则由焦半径公式，，解得：，由焦点弦公式，. 8.过双曲线的右焦点且斜率为的直线截该双曲线所得的弦长为______. 【答案】 【解析】直线的倾斜角， 由焦点弦公式，. 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $