等式中的规律（同步练习）-2026-2027学年数学五年级上册北师大版

**基本信息** 以等式性质为核心，通过基础巩固、综合提升、拓展应用三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的递进，培养符号意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等式性质直接应用|如填空3（5m=10n）、判断14（a=b则a+3=b+3），强化符号意识| |提升|正反比例与等式变形综合|如填空2（正反比例判断）、选择9（a×20=b×30比较大小），发展推理能力| |拓展|方程解决实际问题|如解答题24（亚运会金牌问题）、20（上衣短裙价格），体现模型意识与应用意识|

专项提升训练：等式中的规律 一、填空题 1．洪泽湖位于淮河中下游结合部，是中国第四大淡水湖，素有“日出斗金”之美誉。从洪泽湖古堰景区码头至蒋坝古镇风景区码头长25千米，泊放8艘时速9千米的帆船和10艘时速11千米的画舫游船。一艘帆船和一艘画舫游船同时从两个码头相向而行，到达对方码头后立即返程，( )小时后它们在途中第二次相遇。 2．如果x÷50＝12÷y，那么x和y成( )比例关系；如果9a＝7b（a、b都不为0），则a和b成( )比例关系。 3．如果m＝2n，那么5m＝( )，m－3＝2n－( )。 4．已知▲＋□＋◎＝28，□－▲＝◎，那么▲＋◎＝( )。 5．天平左边的盘里放2个梨，右边盘里放一个梨和3个桃，天平两边平衡。1个梨和______个桃同样重。 6．李华买了2个笔记本和5块橡皮，王强买了11块同样的橡皮，两人花的钱一样多。一个笔记本的价钱等于( )块橡皮的价钱。 7．，若，是不同的质数，则( )，( )。 8．如果4a＝3b，（a、b为非0自然数），根据等式的性质，可知8a＝______b；4a－______＝3b－4。 二、选择题 9．a×20＝b×30（a和b均不为0），那么a和b的大小关系是（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．不确定 10．下列说法中正确的有（    ）句。 （1）假分数的倒数一定是真分数。 （2）两个质数的积一定是奇数。 （3）修路队第一天修了路全长的，第二天修了剩下的，两天修的路一样长。 （4）等式两边同时乘或除以同一个数，所得结果仍然是等式。 （5）三个连续偶数的和一定是6的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 11．小明在学完等式的性质后，有下面几个推论，其中正确的是（    ）。（a、b、c均不为0） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．已知，根据等式的性质，下面的等式中，不成立的是（    ）。 A． B． C． D． 13．a÷0.01＝b×10（a、b都不为0），那么（    ）。 A．a＝b B．a是b的10倍 C．b是a的10倍 D．a是b的100倍 三、判断题 14．如果a＝b，那么a＋3＝b＋3。( ) 15．如果10a＝7b（a，b均不为0），那么。( ) 16．已知方程，给等式的两边同时加上5，等式仍然成立。( ) 17．若b＝a＋6，那么b＋4＝a＋10。( ) 18．方程两边同时乘（或除以）一个相同的数，方程一定成立。( ) 四、计算题 19．看图列式计算或列方程解答。 五、解答题 20．一件上衣的价钱比一条短裙贵64元，上衣的价钱是短裙的1.2倍，一件上衣和一条短裙分别是多少钱？（列方程解答） 21．快递公司送一批年货，计划每天送125件，12天送完，实际每天多送25件，实际多少天送完？ 22．已知，求a∶b∶c。 23．甲仓库存粮120吨，乙仓库存粮y吨。如果从乙仓库运25吨粮食到甲仓库，那么两个仓库的存粮就一样多。求y的值。 24．2023年9月23日至2023年10月8日，浙江杭州举办了一场盛大的体育盛宴——第十九届亚运会，简称“杭州亚运会”。中国运动员用优异的运动成绩和良好的精神风貌，在团结协作、顽强拼搏、永不言弃等方面生动诠释了中华体育精神。在奖牌榜上，中国体育代表团的金牌数、银牌数、奖牌总数都位列第一名。已知中国队共获383枚奖牌，比金牌数的2倍少19枚，中国队获得多少枚金牌？（用方程解答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． / 【分析】两船从两地码头同时出发，到达对岸立刻返回，第二次迎面相遇时，两船一共行驶的总路程等于个码头间的全程。 根据等量关系：帆船行的路程画舫行的路程总路程，据此列方程求解。 【详解】解：设小时后它们在途中第二次相遇 小时后它们在途中第二次相遇。 2． 反 正 【分析】两种相关联的量，乘积一定成反比例，比值（商）一定成正比例。第一个式子运用等式的性质：等式两边同时乘50y，将x与y放到等号的一边，数字放到等号的另一边进行判断；第二个式子根据比例的基本性质的逆应用变形，将a和b放在等号的同一侧进行判断。 【详解】x÷50＝12÷y，等式两边同时乘50y得： x÷50×50×y＝12÷y×50×y，即：x×y＝12×50＝600，x和y的乘积一定，所以成反比例关系； 9a＝7b，根据比例的基本性质的逆运用可得：a∶b＝7∶9＝，a和b的比值一定，成正比例关系。 3． 10n 【分析】等式的性质1：等式两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍成立。 【详解】m＝2n m×5＝2n×5 5m＝10n m＝2n m－3＝2n－3 4．14 【分析】根据□－▲＝◎，表示出□，把□代入▲＋□＋◎＝28，，即可求出2（▲＋◎）＝28，据此即可解答本题。 【详解】因为□－▲＝◎，可得到□＝▲＋◎； 将□＝▲＋◎代入▲＋□＋◎＝28中， 可得：▲＋（▲＋◎）＋◎＝28 根据加法交换律和结合律： ▲＋◎＋(▲＋◎)＝28 2×（▲＋◎）＝28 ▲＋◎＝28÷2＝14 5．3 【分析】等式左右两边同时加上或者减去同一个数，等式仍然成立。 【详解】由题意知： 2个梨＝1个梨＋3个桃 两边同时去掉一个梨： 2个梨－1个梨＝1个梨＋3个桃－1个梨 1个梨＝3个桃 6． 3 【分析】根据题意，两人花的钱数相等，即李华购买物品的总价等于王强购买物品的总价。通过对比两人购买的物品清单，发现都有橡皮，可以利用等式的性质，从两边同时减去相同数量的橡皮，从而找出笔记本与橡皮价钱之间的倍数关系。 【详解】根据题意，两人花的钱一样多，可得等量关系： 2个笔记本的价钱＋5块橡皮的价钱＝11块橡皮的价钱 ， 根据等式的性质，等式两边同时减去5块橡皮的价钱，得： 2个笔记本的价钱＋5块橡皮的价钱－5块橡皮的价钱＝11块橡皮的价钱－5块橡皮的价钱， 即，2个笔记本的价钱＝6块橡皮的价钱 ， 则1个笔记本的价钱等于橡皮的块数为：，所以一个笔记本的价钱等于3块橡皮的价钱。 李华买了2个笔记本和5块橡皮，王强买了11块同样的橡皮，两人花的钱一样多。一个笔记本的价钱等于（3）块橡皮的价钱。 7． 3或5 19或13 【分析】根据质数的定义：除了1和它本身外没有其他因数的自然数，列举出28以内的质数；再将题干中的进行变形，最后将28以内的质数逐一代入到m中解答即可。 【详解】28以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19； 3m＋n＝28 3m＋n－3m＝28－3m n＝28－3m 当m＝2时，n＝28－3×2＝28－6＝22，22不是质数，不符合题意； 当m＝3时，n＝28－3×3＝28－9＝19，19是质数，符合题意； 当m＝5时，n＝28－3×5＝28－15＝13，13是质数，符合题意； 当m＝7时，n＝28－3×7＝28－21＝7，此时m与n相同，不符合题意中“不同的质数”的条件； 当m＝11时，3×11＝33，33＞28，28无法减去33，所以后面的质数无需再代入； 因此，当m＝3时，n＝19；或当m＝5时，n＝13。 8． 6 4 【分析】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【详解】等式左边乘2，要使等式相等，等式右边也要乘2，也就是3b×2＝6b，所以8a＝6b； 等式右边减去4，要使等式相等，等式左边也要减去4，所以4a－4＝3b－4。 9．A 【分析】两个不为0的数相乘，若乘积相等，其中一个因数越小，对应的另一个因数就越大。此题可以用赋值法解答。 【详解】假设，，，因为，所以。 10．A 11．C 【分析】根据等式的性质进行判断。等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。题目已知、、均不为0，据此逐项分析各选项是否符合等式的性质。 【详解】A．若，根据等式的性质2，等式两边应乘同一个数。左边乘得到，右边乘得到，因为与不一定相等，所以不一定等于。此选项错误； B．若，即。因为，根据等式的性质2，等式两边同时除以，得。而选项中结论为，当时，，，。此选项错误； C．若，根据等式的性质1，等式两边同时减去，得，化简后得。此选项正确； D．若，根据等式的性质1，等式两边应加上或减去同一个数。左边加得到，右边减得到，左右两边进行的运算不同，不符合等式的性质。此选项错误。 12．B 【分析】根据等式的性质：等式两边同时乘或除以同一个不为的数，等式仍然成立；等式两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立。已知，需要逐项验证各选项中的等式是否由原等式通过合法变换得到，从而找出不成立的等式。 【详解】A．，等式两边同时乘，左边变为，右边变为，得到，等式成立，不符合题意。 B．，等式左边乘变为，根据等式的性质，右边也应乘，即，而选项中右边为，，等式不成立，符合题意。 C．，等式两边同时减去，左边变为，右边变为，得到，等式成立，不符合题意。 D．，等式两边同时除以，左边变为，右边变为，得到，等式成立，不符合题意。 13．C 【分析】先将算式中的除法转化为乘法，统一运算形式，然后利用等式的性质化简等式，求出a与b之间的倍数关系，最后对照选项得出结论。 【详解】根据小数除法的计算法则，一个数除以0.01等于这个数乘100。 所以a÷0.01＝a×100 因此原算式可以转化为：a×100＝b×10 根据等式的性质，等式两边同时除以10，等式仍然成立： a×100÷10＝b×10÷10 化简得： a×10＝b 说明b＝10a，也就是b是a的10倍。 对比选项，C选项与推导结果一致。 14．√ 【分析】根据等式的性质1，等式两边加上或减去同一个数，等式两边仍然相等。 【详解】例如：假设a＝b＝2，则2＋3＝2＋3； 假设a＝b＝5，则5＋3＝5＋3。 所以，根据等式的性质1，如果a＝b，那么a＋3＝b＋3。原题说法正确。 故答案为：√ 15．√ 【分析】已知10a＝7b，根据等式的性质2，等式两边同时除以 ab（a，b均不为0），化简后与题目结论对比，据此判断。 【详解】10a＝7b 10a÷ab＝7b÷ab ＝ 即＝，原题说法正确。 故答案为：√ 16．√ 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。据此解题。 【详解】给等式的两边同时加上5，等式两边依旧相等，符合等式的性质。 故答案为：√ 17．√ 【分析】根据等式的性质1，等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。在等式的左右两边同时加上4。 【详解】因为b＝a＋6 所以b＋4＝a＋6＋4＝a＋10，原题说法正确。 故答案为：√ 18． × 【分析】根据等式的性质进行判断，等式两边同时乘或除以同一个数时，必须强调这个数不为 0，因为 0 不能作除数。 【详解】根据等式的性质：方程两边同时乘或除以同一个不为 0 的数，方程仍然成立。由于 0 不能作除数，若这个相同的数是 0，则除法运算无意义。题干未说明这个数不为 0，所以原说法错误。 故答案为：× 19．x＋5x＝2400；x＝400 【分析】根据图可知，科技书有x本，故事书有5x本，再根据等量关系：科技书的本数＋故事书的本数＝2400，列出方程即可求解。 【详解】x＋5x＝2400 解：6x＝2400 6x÷6＝2400÷6 x＝2400÷6 x＝400 20．短裙320元，上衣384元 【分析】根据题意，上衣的价钱是短裙的1.2倍，可以把短裙的价钱看作单位“1”，设短裙的价钱为x元，则上衣的价钱为1.2x元。根据“上衣的价钱比一条短裙贵64元”这一数量关系，即“上衣价钱－短裙价钱＝64”，列出方程求解出短裙的价钱，再计算上衣的价钱。 【详解】解：设一条短裙的价钱是元，则一件上衣的价钱是1.2x元。 1.2x－x＝64 0.2x＝64 0.2x÷0.2＝64÷0.2 x＝320 上衣的价钱：320×1.2＝384（元） 答：一件上衣384元，一条短裙320元。 21．10天 【分析】解答这道题需明确：工作总量＝工作效率×工作时间。这道题用列方程的方法解答，先确定题目中的等量关系，已知计划每天送125件，12天送完，实际每天多送25件，由此可知等量关系为：实际每天送的量×实际的天数＝总量，先用125×12把总量计算出来，再用125＋25把实际每天送的量计算出来，设题目中未知量实际送的天数为，根据等量关系列方程求解即可。 【详解】根据分析： 解：设实际送的天数为。 答：实际10天送完。 22．18∶16∶15 【分析】根据赋值法，设＝＝＝1，分别求出a、b、c的值，再根据比的意义和比的基本性质，进行解答。 【详解】设＝＝＝1 ＝1 2a＝1×3 2a＝3 a＝3÷2 a＝ ＝1 3b＝1×4 3b＝4 b＝4÷3 b＝ ＝1 4c＝1×5 4c＝5 c＝5÷4 c＝ a∶b∶c＝∶∶ ＝（×12）∶（×12）∶（×12） ＝18∶16∶15 a∶b∶c＝18∶16∶15 23．y＝170 【分析】从乙仓库运25吨粮食到甲仓库后，乙仓库的存粮变为原来的存粮减去25吨，即吨；甲仓库的存粮变为原来的存粮加上25吨，即吨。此时两个仓库存粮一样多，所以可列出等式。先对方程进行化简，即计算等号右边的结果，再根据等式的性质，等式两边同时加上相同的数等式仍成立。求出方程的解即可。 【详解】        解：                    答：的值是170吨。 24．201枚 【分析】设中国队获得x枚金牌，根据等量关系：中国队获得金牌的枚数×2－19枚＝中国队共获奖牌得枚数，列方程解答即可。 【详解】解：设中国队获得x枚金牌。 2x－19＝383 2x－19＋19＝383＋19 2x＝402 2x÷2＝402÷2 x＝201 答：中国队获得201枚金牌。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $