探索内角和的奥秘（同步练习）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

**基本信息** 聚焦多边形内角和，通过基础巩固、方法应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到规律建构的知识进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（三角形内角和、简单折叠计算）|填空/选择/判断，夯实公式记忆与基础应用| |提升|方法应用（图形分割、密铺原理）|计算/选择，训练分割转化能力| |拓展|综合探究（多种方法推算、规律总结）|解答题，结合生活情境（蜂房、足球），发展创新意识与应用能力|

专项提升训练：探索内角和的奥秘 一、填空题 1．如图，∠1＝( )。 2．如图，已知三角形纸片中，将这个三角形沿折叠，得到、，_____°。 3．由两个小正方形拼成的长方形，内角和是( )°。 4．按照下图的方法将三角形进行折叠，那么∠2＝______°。 5．一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是( )°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是( )边形。 6．如图：在一个等边三角形中，如果沿虚线剪去∠1，那么在剩下的四边形中，∠2＋∠3＝( )°，∠5＋∠4＝( )°。 7．四边形是一个轴对称图形，是对称轴。（如下图）已知，，那么( )°。 8．如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角和是( )°；如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是( )°。 二、选择题 9．关于图形密铺，说法正确的是（    ）。 A．正五边形能密铺 B．所有正多边形都能密铺 C．圆形可以密铺 D．所有四边形都可以单独密铺 10．小华用一个三角形和一个四边形，沿着一条长度相等的边，严丝合缝地拼成了一个新的多边形。这个新的多边形的内角和是（    ）。 A．360° B．540° C．720° D．900° 11．乐乐在探究七边形的内角和时，采用了图中的分割方法，下面算式（    ）符合他的探究过程。 A．180°×7 B．180°×7－180° C．180°×7＋180° D．180°×7－360° 12．数学课上，四位同学用不同的方法探索六边形内角和，其中童童的方法用算式表示为180°×6－360°，他画出的是图（    ）。 A． B． C． D． 13．如图：将四边形沿虚线剪去一个100°的角，剩余图形的内角和是（    ）。 A．360° B．260° C．540° D．180° 三、判断题 14．下面图①和图②两个图形都是用两个同样的三角形拼成的，它们的内角和都是360°。( ) 15．一个多边形的内角和不可能是270°。( ) 16．五边形的内角和是180°×3＝540°。( ) 17．小文画了一个多边形，这个多边形的内角和可能是600°。( ) 18．三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和540°。( ) 四、计算题 19．画一画，算一算，求出下面图形的内角和。 五、解答题 20．足球是正五边形黑皮与正六边形白皮缝合而成的（如图），请你用已经学过的三角形“内角和”知识，通过画一画、算一算的方法，推算出正五边形的内角和。（提示：写出2种正确的推算方法） 21．你知道吗！中华蜜蜂的蜂窝大约由7000个小蜂房紧密地排布在一起组成的，这种结构不留空隙，相互支撑，空间大而且承重强。 (1)仔细观察，每一个蜂房口是一个________边形。 (2)明明想了一个办法把它分成4个三角形算出了这个多边形的内角和是______°。 (3)按照这样的思路，你还有不同的分法算出它的内角和吗？请在下面画一画，算一算！ 22．下面是两位同学在求四边形的内角和时使用的方法。 方法①： 180°×4－360°＝360° 方法②： 180°×2＝360° (1)上面两种方法中，正确的有__________________。（填序号） (2)五边形的内角和是多少度？先画一画，再算一算。 23．仔细观察，找规律填一填。 图形 …… 内角和 180° 180°×2＝360° （1）内角和是1260°的图形是（    ）边形。 （2）n边形的内角和是（    ）。 24．夕夕和林林一起围了一个正六边形，正六边形的内角和是多少度呢？同学们有不同的方法，请你看图分析思考过程，照样子写出算式。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．40° 【分析】 如图，将图中的各角标上号，便于描述。 根据平角是180°、三角形的内角和是180°、四边形的内角和是360°进行计算。 【详解】∠2＝180°－130°＝50° ∠3＝180°－50°－50°＝80° ∠4＝180°－80°＝100° ∠5＝360°－90°－30°－100°＝140° ∠1＝180°－140°＝40° 2．80 【分析】 如图，三角形内角和180°，在三角形ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠A；在三角形DE中，∠DE＋∠ED＝180°－∠A；四边形内角和360°，在四边形BCED中，360°－（∠B＋∠C）－（∠DE＋∠ED），据此计算。 【详解】∠B＋∠C＝180°－∠A＝180°－40°＝140° ∠DE＋∠ED＝180°－∠A＝180°－40°＝140° 360°－（∠B＋∠C）－（∠DE＋∠ED） ＝360°－140°－140° ＝80° 3．360 【分析】任意四边形的内角和都是360°。也可以换个思路验证：单个小正方形的内角和是360°，两个小正方形的内角总和是360°×2＝720°，但拼成长方形的时候，两个正方形拼接的地方原本各有2个90°的内角重合到图形内部，不再属于长方形的内角，720°－90°×4＝720°－360°＝360°，所以最终这个长方形的内角和是360°。 【详解】360°×2－90°×4 ＝720°－360° ＝360° 由两个小正方形拼成的长方形，内角和是360°。 4．70 【分析】根据三角形内角和等于180°，用180°－90°－55°＝35°，求出∠1的度数，∠1与四边形的一个内角组成一个平角，平角等于180°，用180°－∠1，求出四边形一个内角的度数，再根据四边形内角和等于360°，用360°－90°－55°－四边形一个内角的度数，即可求出∠2的度数。 【详解】180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° ∠1＝35° 180°－35°＝145° 360°－90°－55°－145° ＝270°－55°－145° ＝215°－145° ＝70° 将三角形进行折叠，∠2＝70°。 5． 65 九 【分析】三角形内角和为180°，等腰三角形的两个底角相等，用180°减去50°，再除以2，求出底角的度数即可。 多边形内角和公式为：内角和＝（边数－2）×180°，代入内角和1260°，用1260°除以180°，再加上2，求出多边形的边数即可。 【详解】（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 1260°÷180°＋2 ＝7＋2 ＝9 一个等腰三角形的顶角是50°，它的底角是65°；如果一个多边形的内角和是1260°，那么这个多边形是九边形。 6． 120 240 【分析】等边三角形的三个角相等，都等于60°，三角形内角和等于180°，所以∠2＋∠3＝180°－∠1。四边形内角和等于360°，∠4＋∠5＝360°－∠2－∠3，据此即可解答。 【详解】∠2＋∠3＝180°－60°＝120° ∠5＋∠4＝360°－∠2－∠3＝360°－（∠2＋∠3）＝360°－120°＝240° 7．20 【分析】根据题意可知，四边形是关于对称，因此对称轴两侧的对应角相等，如下图，可得：∠1＝∠4、∠5＝∠7，根据四边形的内角和是360°，求出∠7的度数；又∠7与∠6组成一个平角，据此求出∠6的度数；再根据三角形的内角和是180°，用180°分别减去∠2和∠6的度数，即可求出∠3的度数。 【详解】由分析可知， 四边形是关于对称，可得： ∠1＝∠4 ∠5＝∠7 ∠1＋∠4＋∠5＋∠7＝360° 2×∠1＋2×∠7＝360° 360°÷2＝180° 可得：∠1＋∠7＝180° ∠1＝55° ∠7＝180°－∠1 ＝180°－55° ＝125° ∠6＝180°－∠7 ＝180°－125° ＝55° 在三角形BFM中， ∠3＝180°－∠2－∠6 ＝180°－105°－55° ＝20° 所以，∠3＝20°。 8． 360 720 【分析】图①将三角形的一个角剪掉，剩下图形是一个四边形，图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形是一个六边形。 多边形的内角和＝180°×（边数－2），据此即可解答。 【详解】180°×（4－2） ＝180°×2 ＝360° 如图①，将三角形的一个角剪掉，剩下图形的内角和是360°。 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° 如图②，将剩下的两个角也剪掉后，剩下图形的内角和是720°。 9．D 【分析】密铺条件：在同一个拼接点处，各个内角相加等于360°。依据图形内角特点逐一判断。 【详解】A．正五边形每个内角108°，几个108°相加无法得到360°，不能密铺。 B．正五边形、正七边形等不能密铺，说法错误。 C．圆形边线是曲线，拼接后存在空隙，无法密铺。 D．所有四边形都可以单独密铺。四边形内角和是360°，把四个不同内角放在同一个顶点刚好拼成360°，能够单独密铺。 10．B 【分析】先求出拼接后新多边形的边数，再根据多边形内角和公式计算即可。 【详解】三角形有条边，四边形有条边，沿一条长度相等的边拼接时，重合的条边不再属于新多边形的边，新多边形边数为：；多边形内角和公式为则五边形内角和为： 这个新的多边形的内角和是。 11．D 【分析】上图把七边形分成了7个小三角形，用7个小三角形内角和减去中间的周角360°，即等于七边形的内角和。 【详解】图中把七边形分成了7个小三角形，每个三角形的内角和是180°，7个三角形内角和一共是，这个结果中包含了一个中间的周角，求七边形内角和要减去360°，所以这题计算七边形的内角和的算式是180°×7－360°。 12．A 【分析】童童的算式是180°×6－360°，其中180°×6表示6个三角形的内角和总和，减去360°是因为这6个三角形在六边形中心共用了一个周角，这个周角不属于六边形的内角，需要剔除，所以这个方法的核心是从六边形内部一点连接所有顶点，分成6个三角形再减去中心周角。 【详解】A．从六边形的中心一点向6个顶点连线，正好分成6个三角形，内角和计算为180°×6－360°，和童童的算式一致。 B．从六边形的一个顶点出发向不相邻顶点连线，分成了4个三角形，内角和计算为180°×4，和题目算式不符。 C．从六边形的一个顶点出发向对边顶点连线，分成的三角形数量不是6个，内角和计算方式和题目不符。 D．从六边形一条边上的一点（非顶点）向其他顶点连线，分成了5个三角形，内角和计算为180°×5－180°，和题目算式不符。 13．C 【分析】根据图示可知，剩余的图形是一个五边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此将多边形的边数代入公式计算出结果即可。 【详解】（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 14． × 【分析】所有三角形的内角和都为180°，四边形的内角和是360°；据此解答。 【详解】观察图①，两个小三角形拼成了一个大三角形，所以它的内角和应该是 180°；观察图②，两个小三角形拼成了一个四边形，四边形的内角和是360°。原题说法错误。 故答案为：× 15． √ 【分析】多边形的内角和一定是的倍数，只需判断是否满足这个特征即可。 【详解】多边形内角和为（为不小于3的整数），因此内角和一定是的倍数。 ，不是正整数，所以多边形内角和不可能是。 故答案为：√ 16．√ 【分析】多边形内角和＝（边数－2）×180°，五边形边数为5，代入公式计算即可判断。 【详解】五边形内角和：题干计算正确， 故答案为：√。 17．× 【分析】根据多边形都可以分成若干个三角形可知，多边形的内角和一定是180°的倍数，据此判断即可。 【详解】多边形的内角和一定是180°的倍数，而600°不是180°的倍数，所以这个多边形的内角和肯定不是600°，原题说法不正确。 故答案为：× 18．√ 【分析】三角形的内角和是180°；四边形可以分割成2个三角形，所以四边形的内角和是2个三角形内角和相加；五边形可以分割成3个三角形，所以五边形的内角和是3个三角形内角和相加；据此解答。 【详解】如图： 根据分析可知，三角形的内角和为180°，四边形的内角和为，五边形的内角和为，所以三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和540°，原题表达正确。 故答案为：√ 19．；540° 【分析】根据题意，可以把图形分成3个三角形，每个三角形的内角和都是180°，图形的内角和就是三个三角形的内角的和，用180°乘3，列式计算即可。 【详解】图略； 180°×3＝540° 20．540°； 方法一：； 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 方法二：；180°×5－360° ＝900°－360° ＝540° （方法不唯一） 【分析】方法一： 分割图形：从五边形的一个顶点出发，向不相邻的顶点连线，可以把五边形分割成多个三角形。对于五边形，从一个顶点出发可以连（5－3＝2）条对角线，把五边形分割成（5－2＝3）个三角形。 计算内角和：因为每个三角形的内角和是180°，那么3个三角形的内角和就是五边形的内角和，即180°×3＝540°。 方法二： 分割图形：在五边形内部任取一点，连接这点与五边形的各个顶点，可以把五边形分割成5个三角形。 计算内角和：这5个三角形的内角和是：180°×5＝900°，但这5个三角形的内角和比五边形的内角和多了一个周角（360°），所以五边形的内角和是：900°－360°＝540°。 【详解】方法一： 图略 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 方法二： 图略 180°×5－360° ＝900°－360° ＝540° 所以正五边形的内角和是540°。 （方法不唯一） 21．(1)六 (2)720 (3)可以经过中心点将这个多边形分成6个三角形，用180°×6再减去中间一个周角的度数，即可求出这个多边形内角和的度数。（方法不唯一） 180°×6－360° ＝1080°－360° ＝720° 【分析】（1）根据图片可知，每一个蜂房口都有6条边，由6条边组成的图形是六边形。 （2）三角形内角和是180°，这个多边形分成了4个三角形，用180°×4即可求出这个多边形的内角和。 （3）明确周角等于360°，可以经过中心点将这个多边形分成6个三角形，用180°×6再减去中间一个周角的度数，即可求出这个多边形内角和的度数。 【详解】（1）每一个蜂房口是一个六边形。 （2） 180°×4＝720° 明明想了一个办法把它分成4个三角形算出了这个多边形的内角和是720°。 （3）略 22．(1)①；② (2)（画法不唯一）；540° 【分析】（1）①在四边形内部取一点，连接四个顶点，将四边形分割成4个三角形。三角形的内角和是180°，这4个三角形的内角和总和是180°×4，但中间多出了一个周角（360°），不属于四边形的内角，所以需要减去360°；②连接四边形的一条对角线，将四边形分割成2个三角形，这2个三角形的内角和总和是180°×2； （2）求五边形的内角和，可以采用分割法，将五边形分割成若干个三角形。从一个顶点出发，连接不相邻的顶点，可以将五边形分割成3个三角形，五边形的内角和等于这3个三角形的内角和之和。 【详解】（1）方法①中，将四边形分割成4个三角形，4个三角形的内角和是180°×4＝720°，再减去中间多出的一个周角360°， 即180°×4－360° ＝720°－360° ＝360° 计算正确。 方法②中，将四边形分割成2个三角形，2个三角形的内角和是180°×2＝360°。计算正确。 两种方法中，正确的有①、②。 （2）画图略 180°×3＝540° 答：五边形的内角和是540°。 23． 图形 …… 内角和 180° 180°×2＝360° 180°×3＝540° 180°×4＝720° （1）九 （2）180°×（n－2） 【分析】三角形的内角和是180°，要求多边形的内角和，可以把多边形分成三角形，分成的三角形的个数比边数少2，再用三角形的内角和180°乘分成的三角形的个数，即可求出多边形的内角和。 （1）用多边形的内角和1260°除以180°，求出分成三角形的个数，再加2，求出多边形的边数，即可解答。 （2）根据图形规律，先用多边形的边数n减去2，求出分成三角形的个数，再用三角形的内角和180°乘分成三角形的个数，即可表示出n边形的内角和。 【详解】五边形内角和： 180°×（5－2） ＝180°×3 ＝540° 六边形内角和： 180°×（6－2） ＝180°×4 ＝720° （1）1260°÷180°＋2 ＝7＋2 ＝9 所以，内角和是1260°的图形是九边形。 （2）n边形的内角和是：180°×（n－2）。 24．720度；思考过程及算式见详解 【分析】已知三角形的内角和是180°，四边形内角和是360°，把正六边形分割成几个三角形，或分割成几个四边形，或者分割成三角形和四边形；分成的几个图形的内角和之和就是这个正六边形的内角之和，按照这个思路进行即可。 已知从正六边形中心向各顶点画线，把正六边形分成了6个同样大的三角形。因为三角形内角和是180°，这6个三角形内角和的总和为180°×6。但是在计算这6个三角形内角和时，正六边形中心处的角360°被重复计算了，需要减去。 【详解】 答：正六边形的内角和是720度。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $