专项提升训练：用字母表示数量关系（专项练习）-2026-2027学年数学五年级上册（北师大版）

**基本信息** 以符号意识为核心，通过分层训练构建“具体情境→数量关系→字母表达→公式推导”的完整认知链，强化模型意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|填空1-5、选择9-13|直接表示法、运算定律逆用|从具体数量到字母抽象，巩固代数基本表达| |规律探究|填空2、7|递推归纳法、几何建模|图形规律→字母公式，培养抽象概括能力| |公式推导|解答20、23|面积拆分法、情境分析法|通过几何与实际情境推导公式，深化推理意识| |综合应用|解答22-24|代数与几何结合、公式迁移|综合运用字母表示解决复杂问题，发展应用意识|

专项提升训练：用字母表示数量关系 一、填空题 1．要使，则m表示的数是( )；如果，那么( )。 2．如图所示，奇思用木棒摆成“列车车厢”的形状，第1个图形需要4根木棒，第2个图形需要7根木棒，照这样的方式摆下去，第4个图形需要( )根木棒；第个图形需要( )根木棒。 3．淘气比笑笑小，淘气今年m岁，笑笑今年n岁，2年后淘气比笑笑小( )岁。 4．一张桌子m元，一把椅子n元，1张桌子和4把椅子正好配成1套。用含有字母的式子表示张叔叔买2套这种桌椅所花的钱数是( )元。 5．下面是一个长方体，这个长方体的体积是( )立方厘米；当h＝8时，这个长方体的体积是( )立方厘米。 （单位：厘米） 6．“科技赋能”是本次亚冬会一大亮点，在赛事各个环节中发挥着重要作用。以短道速滑比赛为例，运动员在约110米的单圈赛道上，以大约750米/分的速度飞驰。为避免人工记圈可能出现的失误，记圈系统应运而生。一名运动员绕赛道速滑a圈后，还剩70米到达终点。他一共要滑( )米。当a＝13时，这名运动员滑完全程共用( )分钟。 7．如图，用n个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是( )平方厘米。 8．大理石以其天然的纹理和色彩，呈现出独一无二的美感，极具艺术价值。阿鹏叔叔有一幅正方形天然大理石画，边长为a米，这幅画的面积是( )平方米；要在画的四周包上木条（接口处不计），共需木条( )米。 二、选择题 9．已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，则△□的值为（    ）。 A．6 B．12 C．18 D．20 10．数学家华罗庚说过，数缺形时少直观，形少数时难入微。如图（    ）不能正确地表示出“2n＋2”的数量关系。 A． B． C． D． 11．a·b·2＝a·（b·2）运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．加法结合律 12．58a－16a＝（58－16）a，这里运用了（    ）。 A．乘法分配律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．加法结合律 13．下面每组式子中，结果不一定相等的是（    ）。 A．2a和a＋a B．和a×a C．3n和 D．4（a－1）和4a－4 三、判断题 14．加的5倍，和是多少？列式为。( ) 15．长方形的周长是c米，长是a米，宽是（c－a）米。( ) 16．一个正方形的边长是a分米，它的面积是a2平方分米。( ) 17．如果正方形的边长是a，那么它的面积就是a2。( ) 18．一个正方形的边长是，它的面积公式可以表示为。( ) 四、计算题 19．直接写出得数。                                                         6÷8＝        五、解答题 20．推理计算：请根据图形，通过计算说明（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab是正确的。（提示：大正方形面积S＝S1＋S2＋S3＋S4） 21．用v表示速度，t表示时间，s表示路程，分别写出它们之间的数量关系。 （1）s＝______，v＝______，t＝______。 （2）从上面选一个公式解决问题。 如果每分钟骑行260米，30分钟骑行的路程是多少米？ 22．如下图，从长为acm的长方形两边各剪下一个小长方形（涂色部分），剩余部分是一个边长为bcm的正方形。 （1）涂色部分的面积为（    ）cm2。 （2）当a＝17，b＝9时，涂色部分的面积是多少平方厘米？ 23．壮壮在计算过程中忘记了“除法的基本性质”，即被除数连续除以两个除数等于什么他记不清楚了。请你根据下面的情景，写出除法基本性质的推导过程。 学校图书馆有a本书，平均放在b个书架上，每个书架有c层。 24．古希腊的阿基米德发现了圆柱容球原理，如图所示，这是一个圆柱容球。阿基米德发现，如果圆柱的底面半径为r，那么圆柱的体积，而球的体积公式是，所以 ，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二。（本大题计算结果均用π表示） （1）小明家刚好有一个球形物体，经过测量，已知球的直径10厘米，请你根据阿基米德的发现，算一算，这颗球的体积是多少立方厘米？ （2）你能用字母表示出球的表面积吗？把你的想法记录下来。 （3）小明家刚好有一个圆柱形容器，底面直径是高的一半，底面直径是2厘米，小明往圆柱形容器中装入 的水，并往里面放入一个球，球的直径与圆柱的底面直径相等，当球完全浸没后，水会溢出吗？如果不会，请说明理由。如果会，溢出多少水？说说你的理由。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 6 200 【分析】根据乘法分配律a×ba×c＝a×（bc）进行计算。 【详解】（1）26×m＋74×m＝（26＋74）×m＝100×m＝600，所以m＝600÷100＝6。 （2）25×a－25×b＝25×（a－b） 因为a－b＝8，所以25×（a－b）＝25×8＝200，即25×a－25×b＝200。 2． 13 3n＋1 【分析】第1个图形需要4根木棒，第2个图形需要7根木棒，第3个图形需要10根木棒。第2个图形比第1个图形多3根木棒，第3个图形比第2个图形多3根木棒。 第1个图形需要木棒数量：4 第2个图形需要木棒数量：4＋3 第3个图形需要木棒数量：4＋3＋3 第n个图形需要木棒数量： 4＋3×（n－1） ＝4＋3n－3 ＝3n＋1 【详解】4×3＋1 ＝12＋1 ＝13（根） 所以第4个图需要13根木棒；第n个图需要（3n＋1）根木棒。 3．n－m 【分析】不管过去多少年，淘气和笑笑的年龄差不会发生变化，所以，求出今年二人相差的年龄即可。 【详解】m＜n，今年的年龄差：n－m，所以2年后淘气比笑笑小（n－m）岁。 4．2m＋8n/8n＋2m 【分析】根据“单价×数量＝总价”可得出数量关系：一张桌子的钱数＋一把椅子的钱数×椅子的数量＝买1套这种桌椅所花的钱数，再乘2，即是买2套这种桌椅所花的钱数。 【详解】买1套这种桌椅所花的钱数是：（m＋4n）元； 买2套这种桌椅所花的钱数是：（m＋4n）×2＝（2m＋8n）元 5． 60h 480 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算即可。之后再把h＝8时，代入数据。 【详解】这个长方体的体积：10×6×h＝60×h＝60h（立方厘米） 当h＝8时，60h＝60×8＝480（立方厘米）。 6． 110a＋70 2 【分析】用一圈的长度110乘圈数a，即可求出他一共滑了多少米，再加上还未滑的70米，即为他一共要滑的距离；数字与字母相乘时，乘号可以省略不写，并且通常把数字写在字母的前面。 用已经滑完的米数加70求出全程的长度，再除以速度750，即可求出这名运动员滑完全程共用多少分钟。 【详解】他一共要滑（110a＋70）米，这名运动员滑完全程共用（110a＋70）÷750分钟，把a＝13代入（110a＋70）÷750： （110×13＋70）÷750 ＝（1430＋70）÷750 ＝1500÷750 ＝2（分钟） 7．16n＋8 【分析】n个棱长为2厘米的小正方体排成一排拼成长方体，长方体的长为n×2＝2n厘米，宽和高均等于小正方体的棱长。据此代入长方体表面积公式S＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2中求解即可。 【详解】拼成的长方体的长为2n厘米，宽和高均为2厘米，因此表面积为： （2n×2＋2n×2＋2×2）×2 ＝（4n＋4n＋4）×2 ＝（8n＋4）×2 ＝8n×2＋4×2 ＝16n＋8（平方厘米） 8． 【分析】根据“”求出这幅画的面积，求一共需要木条的长度就是求正方形的周长，根据“”求出木条的总长度，据此解答。 【详解】分析可知，阿鹏叔叔有一幅正方形天然大理石画，边长为a米，这幅画的面积是平方米；要在画的四周包上木条（接口处不计），共需木条米。 9．B 【分析】因为△＝□＋□＋□，△＋□＝24，把△替换成3个□，先算出□的值，再算出△的值，最后求二者的差即可。 【详解】因为△＝□＋□＋□，△＋□＝24 □＋□＋□＋□＝24，即4×□＝24，□＝24÷4＝6 △＝24－6＝18 △□＝18－6＝12，B选项正确。 10．C 【分析】根据图示要求，用数量关系式表示出每个选项即可得出答案。 【详解】A．线段总长度由两段长度为n的部分和一段长度为2的部分组成，其数量关系为2n＋2，不符合题意； B．长方形周长＝（长＋宽）×2，代入得（n＋1）×2＝2（n＋1）＝2n＋2，不符合题意； C．平行四边形的面积＝底×高，代入得2n×2＝4n，符合题意； D．总本数是童话书加故事书的本数，代入得n×2＋2＝（2n＋2）本，不符合题意。 11．C 【分析】A．乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 B．乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 C．乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 D．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 【详解】a·b·2＝a·（b·2），左边先乘前两个数，右边先乘后两个数，运用了乘法结合律。 故答案为：C 12．A 【分析】A．乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。反过来同样适用； B．乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 C．乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。 D．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 【详解】58a－16a ＝（58－16）a→逆用乘法分配律 ＝42a 58a－16a＝（58－16）a，这里运用了乘法分配律。 故答案为：A 13．C 【分析】A．根据2a表示2个a的和判断； B．根据表示a×a进行判断； C．分情况讨论：假设n和a表示同一个数；假设n和a表示不同的数，结合举例进行判断； D．根据乘法分配律把4（a－1）化成4a－4即可判断。 【详解】A．2a＝a＋a，所以2a和a＋a相等； B．表示a×a，所以＝a×a； C．假设n和a相等，例如n＝a＝3，3n＝3×3＝9，＝＝3×3＝9，假设n＝a＝1，则3×1＝3，＝1×1＝1，此时可能相等，也可能不相等； 假设n和a不相等，例如n＝3，a＝2，则3n＝3×3＝9，＝2×2＝4，9≠4。 所以3n和不一定相等。 D．4（a－1）＝4a－4，所以4（a－1）＝4a－4。 所以结果不一定相等的是3n和。 故答案为：C 14．× 【分析】求和，用加法计算。需先理清运算顺序，“X加Y的5倍”是先算Y的5倍，再和X相加，与“X和Y的和的5倍”含义不同。 【详解】Y的5倍列式为： ，X加Y的5倍的和列式为：，表示的是X与Y的和的5倍。原题说法错误。 故答案为：× 15．× 【分析】由“”可知“”，由此用含有字母的式子表示出长方形的宽。 【详解】长方形的周长是c米，长是a米，宽是（c÷2－a）米，而不是（c－a）米，题目说法错误。 故答案为：× 16．√ 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长，把边长为a分米代入公式中，化简后得出这个正方形的面积。 【详解】a×a＝a2（平方分米） 一个正方形的边长是a分米，它的面积是a2平方分米。 原题说法正确。 故答案为：√ 17．√ 【分析】正方形的面积计算公式为边长×边长。当边长为a时，面积应为a×a。两个相同字母相乘可以写成平方的形式，据此判断即可。 【详解】正方形的面积＝边长×边长。若边长用a表示，则面积＝a×a＝a2。题目中的说法正确。 故答案为：√ 18．× 【分析】根据题意可知，正方形面积＝边长×边长；如果正方形边长是a，正方形面积＝a×a，又可以写成S＝a²。 【详解】一个正方形的边长是，它的面积公式可以表示为。原题说法错误。 故答案为：× 19．；；；；； ；；；； 【解析】略 20．通过面积拆分计算，证明（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab是正确的。 【分析】大正方形边长为a＋b，整体面积是边长的平方；大正方形分成四块，分别算出四块面积相加，两者相等即可验证公式。正方形面积＝边长×边长；长方形面积＝长×宽。 【详解】大正方形整体面积：S＝（a＋b）2 四块小图形面积： S₁：a×a＝a2 S₂：b×b＝b2 S₃：a×b＝ab S₄：a×b＝ab 四块面积总和：S₁＋S₂＋S₃＋S₄ ＝a2＋b2＋ab＋ab ＝a2＋b2＋2ab 因为整体面积等于四块面积之和，所以（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab。 21．（1）vt；s÷t；s÷v （2）7800米 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，代入字母即可。 （2）将速度和时间代入公式，计算即可求得结果。 【详解】（1）因为路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，所以s＝vt，v＝s÷t，t＝s÷v。 （2）260×30＝7800（米） 答：30分钟骑行的路程是7800米。 22．（1）ab－b2 （2）ab－b2＝17×9－92＝72（cm2） 【分析】，，涂色部分面积＝出大长方形的面积-空白正方形的面积，再把给定的啊a、b的值代入表达式计算出具体的面积。 【详解】（1）大长方形的长为acm，宽为bcm（空白正方形的边长），大长方形的面积＝（平方厘米）； 空白正方形边长为bcm，空白正方形的面积＝（平方厘米）； 涂色部分面积＝（平方厘米） （2）当a＝17，b＝9时，代入中， 答：涂色部分面积＝（平方厘米）；当a＝17，b＝9时，涂色部分的面积是72平方厘米。 23．被除数连续除以两个除数，等于被除数除以这两个除数的积，即。 【分析】已知学校图书馆有a本书，平均放在b个书架上，那么每个书架放书的数量为a÷b本。又因为每个书架有c层，所以每层书架放书的数量为a÷b÷c本；已知有b个书架，每个书架有c层，那么书架的总层数为b×c层。而图书馆一共有a本书，所以每层书架放书的数量为a÷（b×c）本。 【详解】通过分析可知，两种方式计算的都是每层书架放书的数量，所以a÷b÷c＝a÷（b×c）。 这就表明被除数连续除以两个除数，等于被除数除以这两个除数的乘积。 24．（1）π立方厘米； （2）4πr2； （3）会溢出；溢出π立方厘米的水 【分析】（1）分析题目，先用直径除以2求出半径，再把半径代入球体的体积公式计算即可； （2）圆柱的表面积＝2πr2＋2πrh，根据“球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”可知球的表面积＝圆柱的表面积，据此结合圆柱的底面半径是r，高是2r解答即可； （3）先根据圆柱的体积＝π（d÷2）2h代入数据求出圆柱的体积，再把圆柱的体积看作单位“1”，用圆柱的体积乘（1－）即可求出容器中没有水的体积，再根据球体的体积公式求出球体的体积，再把两者进行比较，若球体的体积大，则水会溢出，反之则不会溢出；如果会溢出，用球体的体积减去容器中没有水的体积即可求出溢出的水的体积。 【详解】（1）π×（10÷2）3× ＝π×53× ＝π×125× ＝125π× ＝π（立方厘米） 答：这颗球的体积是π立方厘米。 （2）圆柱的表面积＝2πr2＋2πr×2r＝2πr2＋4πr2＝6πr2 S球＝S圆柱＝×（6πr2）＝4πr2 答：我能用字母表示出球的表面积，用字母表示为：4πr2。 （3）π×（2÷2）2×（2×2）×（1－） ＝π×12×4× ＝π×1×4× ＝4π× ＝π（立方厘米） π×（2÷2）3× ＝π×13× ＝π×1× ＝π× ＝π（立方厘米） 因为π＜π，所以水会溢出。 π－π＝π（立方厘米） 答：水会溢出，会溢出π立方厘米的水。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $