第三章 函数的概念与性质（复习讲义）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学复习讲义通过表格对比、要点速测等工具系统梳理函数概念、性质及应用，构建“概念-性质-应用”递进知识体系，突出分段函数应用、单调性与奇偶性综合运用等重难点，清晰呈现知识内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如以“心理学接受能力”实际问题为例，引导学生用函数模型刻画现实规律，提升数学建模素养。每个题型配备解题要点与迁移练习，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

第三章 函数的概念与性质（复习讲义） 复习要点 1.理解用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域. 3.理解区间的概念，并且能够利用区间表示集合. 4.理解分段函数的概念，会描绘分段函数图象，掌握分段函数的简单应用. 5.理解函数单调性的定义，判定证明函数的单调性；理解函数最大值与最小值的几何意义，会用函数的单调性求最值、比较大小、解不等式. 6.了解奇偶性的概念和几何意义，能判断函数的奇偶性，能利用奇偶函数的定义和图象解题，掌握奇偶性与单调性的综合运用. 7.了解幂函数的概念，归纳幂函数的图象与性质. 8.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，提升数学建模、数据分析和数学运算素养. 复习重难点 重点：掌握分段函数的简单应用 难点：熟练掌握函数的单调性、奇偶性的核心性质，并能灵活运用性质解决综合问题． ． 知识点 函数的概念及其表示 1、函数的概念及其表示 （1）函数的概念：设、是非空的实数集，使对于集合中的任意一个数，如果按照某种确 定的对应关系，在集合中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称为集合到 集合的一个函数，记作：. （2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 函数相等：两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致． 【易错提醒】1.垂直于x轴的直线与函数的图象至多有1个交点，即在定义域内的直线与图象只有1个交点． 2. 判断两个函数是否相同，要抓住的两点： (1)定义域是否相同； (2)对应关系是否相同，当解析式可以化简时，要注意化简过程的等价性 要点速测 1．下列表示函数图象的是 A． B． C． D． 【答案】选D 【详解】由A，B，C选项的图知，存在的值，不止一个与之对应， 由函数的定义知A，B，C选项对应的图形不表示函数，对于D，由图知，每一个的值，有且只有一个值与之对应，故D正确．故选D． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 知识点 函数的定义域 1.树立定义域优先的思想． 2.求函数的定义域时常用的结论 ①分式中，分母不为0； ②偶次方根中，被开方数非负； ③对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0； 【易错提醒】(1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围； (2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简； (3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式； (4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集． （5）应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义． 要点速测 3. 求 的定义域； 【答案】 【详解】由题意得，即，故所求函数的定义域为； 4. 若函数的定义域为 ，求函数的定义域． 【答案】 【详解】由，得，故的定义域为． 知识点 函数的值域 1. 求函数值域的一般方法：（1）分离常数法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）单调性法；（6）换元法；（7）数形结合法；（8）导数法． 【温馨提示】(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. (2)利用基本不等式求最值简记为：积定和最小，和定积最大. 要点速测 5. （多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC；【解析】因为， 所以函数值域为； 因为时，； 因为时，函数的值域为集合，不是区间； 因为，所以函数的值域为． 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 知识点 求函数解析式 2. 函数解析式的四种求法： （1）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的表达式． （2）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解． （3）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． （4）方程思想：已知关于与或等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式构成方程组，通过解方程组求出． 【温馨提示】配凑法、换元法此时要注意新元的取值范围． 要点速测 7.求下列函数的解析式． （1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【详解】（1）设，则，，且， 所以，． 用代替，得：，． （2）因为为一次函数，可设，． 所以， 又，所以，所以或． 所以或． （3）因为① 用代替，得② ①②得：，所以，． 8.（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用代入法求解析式即可； （2）解法一利用配凑法，解法二利用换元法求解析式； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 知识点 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，． 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数． 当，都有，那么就说函数在区间上是减函数． 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间． 2．函数单调性的两个等价结论 设，则： （1）（或）在上单调递增； （2）（或）在上单调递减． 【易错提示】（1）定义域优先法：先求定义域，再利用单调性定义求解； （2）图象不连续的单调区间要分开写，不能用“”连接； （3）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． 要点速测 9．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 知识点 函数的最值 1．函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 2.求函数最值（值域）的常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； 【易错提示】(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值． 要点速测 11.（25-26高二下·天津南开·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递减，所以． 12．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性进而求最值即可. 【详解】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增，又，， 故在上的最小值为，最大值为. 知识点 函数的奇偶性 7 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 2 .对称性的3个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 【易错提示】(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 要点速测 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 解法1：因函数是定义在上的奇函数，当时，，则，解得，则当时，，所以，选C． 解法2：因函数是定义在上的奇函数，当时， 则，解得，则当时，，故当时，，此时，所以 14．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【详解】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 知识点 幂函数 8 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． （2）几种幂函数的图象： （3）幂函数的性质：定点：. 单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； (1)定义域和值域：将函数解析式化为根式即可得出. (2)奇偶性：当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数. 【易错提示】①幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限． ②幂函数的图象过定点(1,1)；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 要点速测 15．（人教A版必修一91页第1题改编）已知幂函数的图象过点，则 A． B． C． D． 【答案】B．【解析】设，所以，所以，． 16.若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为 A． B． C． D． 【答案】D．【解析】(1)当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，所以．当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则．综上可知，．故选D． 7 题型1 函数的定义域（含抽象函数的定义域） ▌例1 （25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 解题要点 求函数的定义域的策略 1. 已知函数的解析式，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数的解析式列出自变量满足的不等式（组），得出不等式（组）的解集即可． 2. （1）若的定义域为，则在中，由解得的范围，即为的定义域． （2）若的定义域为，则由得到的范围，即为的定义域． 口诀：定义域指的是的范围，括号内范围相同． ▌迁移练1-1（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抽象函数的定义域的求解方法，列出不等式，即可求解，得到答案． 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得． 所以的定义域为. ▌迁移练1-2（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. ▌迁移练1-3（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数的定义域列出相应不等式，求解可得函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. 题型2 判断两个函数是否相等 ▌例2 (北师大版高中数学必修一52页例题1改编)下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是． 【解析】（1）因为的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； （2）因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； （3）因为的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数； （4）和虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数． 解题要点 判断两个函数是否相同的策略 （1）两个函数相同当且仅当定义域与对应关系相同； （2）定义域与对应关系相同，则值域一定相同． ▌迁移练2-1（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【详解】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. ▌迁移练2-2（24-25高一上·陕西西安·期中）（多选题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】逐项判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【详解】对于A，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故D正确. 故选：BCD. ▌迁移练2-3（24-25高一上·福建福州·期中）（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数中，，解得或，即的定义域为， 函数中，，解得，的定义域为，A不是； 对于B，，且与的定义域都为，B是； 对于C，当时，；当时，；又当时，， 因此，函数与的定义域相同，对应法则相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，D不是. 故选：BC 题型3 函数的值域 ▌例3 （25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为(-1,1] 解题要点 求值域的策略 ①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 ②单调性法 ③换元法：形如，（令）；，（令）. ，（令）；（令）. ▌迁移练3-1（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．若，，则 C．函数的值域为 D．函数与函数为同一个函数 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式判断A；由作差法判断B；根据函数的性质、同一函数的定义判断CD. 【详解】A：当时，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； B：因为，所以，即，故B正确； C：因为，所以， 因此函数的值域为，故C正确； D：由可知：， 所以函数的定义域为， 由函数可知或， 所以函数的定义域为或， 因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，故D错误； 故选：ABC ▌迁移练3-2（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 ▌迁移练3-3（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 题型4 求函数的解析式 ▌例4 （25-26高一·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . 【答案】(1) (2) (3)或 ． 【分析】（1）用换元法，令，代入求出后即可得； （2）用替换已知式中的，然后解方程组可得； （3）设，代入已知条件求解. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）∵ ，①∴ ，②由得 解得： ． （3）设 ，则 . 又 ，所以. 即，解得，或.所以或 ． ▌迁移练4-1（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式．解题要点 函数解析式的求法策略 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可． （5）解方程组法给出的方程同时含： ①与，或与； ②一奇一偶函数与； ③与，或与； 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！ （1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求 【详解】（1）设，则，，且， 所以，． 用代替，得：，． （2）因为为一次函数，可设，． 所以， 又，所以，所以或． 所以或． （3）因为① 用代替，得② ①②得：，所以，． ▌迁移练4-2（1）已知，求函数的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求函数的解析式； 【详解】（1）因为， 所以，所以． （2）令，因为，所以， 又，所以 即，所以解得 所以． ▌迁移练4-3（1）已知，求函数的解析式； （2）已知函数满足，求函数的解析式． 【详解】令，，， 由，， 所以，； （4）因为函数满足，所以 解得．所以． 题型5分段函数的图像、求值、不等式、参数问题 ▌例5 （2026高一·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复合函数的定义写出解析式． 【详解】（1）当时，，故； （2）当时，，故． 解题要点 分段函数题型求解策略 “分段函数——分段看”，遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围，并根据自变量的范围选择合适的解析式代入，若自变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论．解题思路如下： （1）求函数值：当出现的形式时，应从内到外依次求值； （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验所求结果是否有意义． ▌迁移练5-1（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B ▌迁移练5-2（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. ▌迁移练5-3（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据图象判断的解析式，列方程即可. 【详解】作出函数的图象，如图， 由图可知，若，则分别在轴的负半轴与正半轴上， 所以， 所以，解得. 故选：A. 题型6 定义法判断函数的单调性 ▌例6 （25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 解题要点 利用定义证明或判断函数单调性的步骤 （1） 取值：设，是该区间内的任意两个值，且； （2） 作差变形：做差，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子； （3） 定号：确定的符号； （4）根据的符号及定义判断单调性． 标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件． ▌迁移练6-1（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由的单调性列出，结合的取值即可求解. 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. ▌迁移练6-2（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. ▌迁移练6-3（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据定义法证明单调性的步骤，取值、作差、整理、变形、得结论，结合解析式，化简整理，即可得证. （2）由（1）得在R上单调递增，所以，代入解析式，即可得证. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在R上单调递增. （2）由（1）得在R上单调递增，且， 所以，则，得证. 题型7 利用函数的单调性比较大小、解不等式 ▌例7-1 （25-26高一上·陕西西安·阶段练习）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是 A． B． C． D． 答案A，详解（2）因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得．故选A． ▌例7-2 （25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则，故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即，故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或，故实数a的取值范围为. 解题要点 利用单调性比较大小、解不等式策略 1. 对于无附加条件的不等式的证明，一般从繁证到简，可从左证到右，也可从右证到左，还可以两头齐比较函数值的大小时，结合函数的单调性的等价结论，得出函数的单调性．若自变量的值不在同一单调区间内，应利用函数性质，将不在同一个单调区间内的自变量，转化到同一个单调区间内进行比较． 2．利用单调性求参数范围（或值）的策略 （1）将参数看作已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； （2）若分段函数在上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小． ▌迁移练7-1（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. ▌迁移练7-2（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，所以，解得， 所以实数的取值范围是. ▌迁移练7-3（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由，可得， 设函数，，则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数， 在上单调递减，而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 题型8 函数的最值（值域）及参数问题 ▌例8 （2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B 【分析】先根据二次函数求出的最小值，无最大值，再根据反比例函数的单调性求解函数的最值，即可得解. 【详解】令，则． 又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值. 故选：B． 解题要点 求函数最值（或值域）的几种常用方法及其思路 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值（或值域）； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值（或值域）； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值（或值域） （4）分离常数法：求形如的函数的最值（或值域）常用分离常数法求解； （5）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求出最值（或值域）； ▌迁移练8-1（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． ▌迁移练8-2（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. ▌迁移练8-3（25-26高二下·山东日照·期末）已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 即， 当时，在上单调递减，此时， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 题型9判断函数的奇偶性及求值问题 ▌例9-1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，函数，其定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，且在上单调递减，所以A符合题意； 对于B，函数，则满足，即函数的定义域为， 所以函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，且， 可得函数为偶函数，所以C不符合题意； 对于D，函数，根据幂函数的性质得，函数在上单调递增，所以D不符合题意. ▌例9-2（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【详解】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为，因为，且， 所以为非奇非偶函数. 解题要点 判断函数奇偶性的方法 （1）定义法：①确定函数的定义域；②若定义域不是关于原点对称的区间，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域是关于原点对称的区间，再判断是否等于； （2）图象法：①关于原点对称，为奇函数；②关于轴对称，为偶函数； （3）性质法： 在公共定义域内有：奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；偶偶偶；奇偶奇． ▌迁移练9-1（25-26高一上·重庆·阶段检测）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3） 【答案】(1)偶函数 (2) 奇函数 (3)奇函数 详解（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又，所以为奇函数． （3）由题设得所以函数定义域为，关于原点对称，且，所以，所以， 所以，所以是奇函数． ▌迁移练9-2（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【答案】(1)不是奇函数也不是偶函数 (2)偶函数 (3)奇函数 【分析】根据奇偶性的定义逐一判断即可 【详解】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. ▌迁移练9-3（25-26高一下·贵州六盘水·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据奇函数性质和偶函数的性质，推导的对称性与周期性，再逐一验证各选项即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以对任意，有； 因为为偶函数，所以， 令可得，即的图象关于直线对称， 故对任意，. 所以， 所以，即是周期为4的周期函数. 选项A，，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C错误； 选项D，，故D错误. 题型10 奇偶性中的参数问题 ▌例10 （25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 解题要点 利用函数的奇偶性求参数的值： （1）考虑定义域是否关于原点对称，若定义域含参数，求出参数； （2）借助奇偶性的定义求解，对于在处有定义的奇函数，利用求参数，通常也可以有效简化运算． 的开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数． ▌迁移练10-1（25-26高一下·陕西安康·期末）已知函数是偶函数，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 （2）由是偶函数，则， 满足二次函数的对称轴得，故选B． ▌迁移练10-2（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，不妨设，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. ▌迁移练10-3（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 题型11类奇偶性求最值问题 ▌例11 （25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B， 所以当地到地的距离为时，总运费最低． 解题要点 类奇偶性求最值答题策略 1.定义区间关于原点对称是前提； 2.将f(x)拆成，为奇函数 3.题型特征：题目求最大值 + 最小值的和，不是单独求最大或最小 ▌迁移练11-1（多选）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）21．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． 故选：A 【分析】由题可得为奇函数，为奇函数，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】因对于任意实数，，都有， 令，可得， 再令，则，从而为奇函数. 注意到， 结合为R上奇函数，为R上偶函数， 可得为R上奇函数， 由题可得存在，且为，存在，且为. 又由奇函数性质可得， 从而. ▌迁移练11-2（25-26高一上·广西河池·期中）1．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解. 【详解】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. ▌迁移练11-3（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如果偶函数在上是减函数且最小值是，那么在上是 A．减函数且最小值是 B．减函数且最大值是 C．增函数且最小值是 D．增函数且最大值是 【答案】C．【解析】因为是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减， 所以在单调递增，，因为在最小值是，所以，又，所以，即在单调递增，且最小值是． 题型12利用奇偶性求解析式 ▌例12 （25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． ▌迁移练12-1（25-26高一下·福建福州·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.解题要点 利用函数奇偶性求解析式策略 1.先将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性求解， 2.利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式． (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. 答案．(1) (2). 【分析】（1）直接描点并结合函数在单调递增可得函数在上的图象，再由奇函数图象的对称性可得的图象； （2）直接由奇函数的对称性可得当时，，进而可得函数在上的解析式. 【详解】（1）当时，，所以. 因为函数是定义域为的奇函数，所以. 又因为函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增. 又函数是定义域为的奇函数，所以在上单调递增. 根据描点并结合函数的性质可得函数图象如下： （2）设，则，故， 因为是奇函数，所以，，即. 故时，. 因此. ▌迁移练12-2（24-25高一上·上海·月考）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， ▌迁移练12-3(25-26高一下·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．求函数，的解析式； 【答案】，． 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． 题型13奇偶性结合单调性比较大小 ▌例13 （25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 答案A 【分析】先确定函数的对称性与单调性，将函数值不等式转化为自变量到对称轴距离的绝对值不等式求解. 【详解】由，可得函数的图象关于直线对称； 对，且都有， 则在上单调递减， 由对称性可得在上单调递增； 结合函数单调性与对称性，等价于到对称轴的距离小到的距离，即； 所以不等式等价于，即； 即，展开整理得，解得. 故不等式的解集是. 解题要点 利用函数奇偶性、单调性比较大小答题策略 1.借助奇偶性转化自变量，把所有自变量归到同一个单调区间，再用单调性比较函数值。 2.偶函数套绝对值，全部移到正区间比；奇函数负号往外提，统一区间判高低。． ▌迁移练13-1已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. ▌迁移练13-2（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（     ） A．的图象关于对称 B． C． D．是奇函数 答案ABD 【分析】对于A，通过为奇函数可得，那么函数图象关于点对称；对于B，若为偶函数，则，结合选项A可以推导出周期，从而；对于C，由题可得在上单调递减，从而判断；对于D，因为，，可得. 【详解】对于A，若为奇函数，则，那么函数图象关于点对称，A正确； 对于B，若为偶函数，则，那么， 由选项A可知，那么 ， 所以，，那么， 所以，，所以函数的周期，，B正确； 对于C，对任意的，，，都有，则函数在上单调递减，，C错误； 对于D，由选项AB可知，函数的周期，所以， 又函数图象关于点对称，所以， 所以，故为奇函数，D正确． ▌迁移练13-3（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数在上是增函数，且函数是偶函数，当，，时，有（    ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 答案A 【分析】根据偶函数的定义分析可知的图象关于直线对称，结合对称性将函数值转化到区间内，再根据单调性比较． 【详解】令． 因为是偶函数，所以对任意实数，，即的图象关于直线对称． 因为，，所以，． 由，得 因为在上是增函数，所以． 又由对称性得，因此 题型14奇偶性结合单调性解不等式 ▌例14 （25-26高二下·河北沧州·期末）（多选）定义在上的函数满足，且当时，，下列说法正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 答案AD 【分析】利用赋值法求，可判断A的真假；探索与的关系，判断B的真假；利用函数单调性定义判断函数的单调性，可判断C的真假；结合函数的单调性解函数不等式，可判断D的真假. 【详解】令，，可得，因为，所以.故A正确． 令，得，所以． 当时，，所以，则不是偶函数，故B错误． 对任意，都有． 因为当时，，，， 所以对任意． 任取，则，， 所以， 所以在上单调递增，故C错误． 由，结合单调性得，解得，故D正确． 解题要点 利用函数奇偶性、单调性解不等式策略 ① 优先定域：求出题干函数的完整定义域，所有自变量必须在定义域内，这是解题前提，遗漏直接丢分； ② 统一变量：借助奇偶性转化式子中的负自变量，统一为同侧自变量（优先转为正数）； ③转化自变量的大小关系：根据单调性转化不等关系，增函数保号、减函数反号； ④ 联立求解：结合定义域范围、转化后的不等式，联立取交集； ⑤ 检验收尾：验证边界值、区间取舍，排除增根。 ▌迁移练14-1（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. ▌迁移练14-2（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 答案B 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. ▌迁移练14-3（25-26高一下·浙江衢州·期末）（多选）定义在上的函数，满足当时，，且，，都有，下列说法正确的是（      ） A． B．是偶函数 C． D．若，则 答案ACD 【分析】令可判断A；令结合函数奇偶性的定义可判断B；令，可得，然后通过换元法证明（成立），结合奇函数的性质可判断C；先利用定义法证明函数的单调性，然后把不等式变形为，最后利用函数单调性解不等式可判断D . 【详解】令，可得，故A正确； 令，可得，因为不恒等于0，结合可得： ，即，所以是奇函数，又不恒等于0， 所以不是偶函数，故B错误； 令，可得， 令，则原式变形为： ， 对任意，令，得， 替换为得，即（成立）； 当时，对等式用替换，替换可得： ，由奇函数的性质可得， 即（成立）； 当一个非负数一个负数时，不妨设，， 对等式用替换可得， 再用替换得，即（成立）； 故对所有成立，C正确； 是奇函数且满足得： 若，则，因为当时，， 所以，即，所以是上的增函数， 由得： ， 由增函数性质得，即，故D正确. 题型15幂函数的概念与简单性质 ▌例15 （25-26高二下·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A． B．3 C． D． 答案C 【分析】使用幂函数的定义与单调性求解. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，在上单调递减，符合题意，所以， 所以，所以. 解题要点 幂函数的概念与简单性质 (1) 幂函数的形式是，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2) 单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； (3)奇偶性：当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数. ▌迁移练15-1（人教A版必修一91页第1题改编）已知幂函数的图象过点，则 A． B． C． D． 【答案】B．【解析】设，所以，所以，． ▌迁移练15-2（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. ▌迁移练15-3已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是_____ 【答案】．【解析】由为幂函数，则，解得或， 当时，，其图象关于轴对称， 当时，，其图象关于点对称，因此． 题型16幂函数的图像及其应用（含过定点问题） ▌例16 （2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 答案D 【分析】应用幂函数图象判断大小. 【详解】幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，所以. 解题要点 幂函数的图像性质 (1) 在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴（简记为“指大图低”）， (2) 在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴（简记为“指大图高”）． (3) 幂函数的性质：定点：. ▌迁移练16-1（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． 答案A 【详解】设，由，得， 解得，所以， 的定义域为，是偶函数，在上单调递减， 所以图象的大致形状与选项A中的图象一致． ▌迁移练16-2．函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为 A． B． C． D． 【答案】D．【解析】对于A，二次函数开口向上，则，此时存在与图中符合，如，故A可能；对于B，二次函数开口向下，则，此时存在与图中符合，如，故B可能；对于C，二次函数开口向上，则，此时存在与图中符合，如，故C可能；对于D，二次函数开口向上，则，此时在为增函数，不符合，故D不可能． ▌迁移练16-2．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 题型16利用幂函数的性质比较大小 ▌例16 已知，则 A． B． C． D． 【答案】C．【解析】依题意，，而幂函数在上单调递减，又，因此，所以的大小关系为． 解题要点 幂函数值大小比较策略 （1） 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． （2） 比较幂函数的大小时，优先看能否化为同底数，利用函数单调性直接比较；若无法统一，则借助等中间量分界，再结合各自单调性判断即可． ▌迁移练16-1（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. ▌迁移练16-2已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对每个数变形，再利用幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，， 所以，又因为， 且幂函数在上单调递增.所以. 故选：B ▌迁移练16-2（24-25高一上·甘肃白银·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以．故选：C. 题型17利用幂函数的性质解不等式 ▌例17 （24-25高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 答案 【详解】由题可设幂函数，则即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 解题要点 利用幂函数性质解不等式 1 确定函数定义域； 2 确定幂函数的单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 3 根据单调性得到不等式； ④ 结合定义域联立求解，取有效区间。 ▌迁移练17-1（25-26高一下·湖南·期末）已知幂函数的图象经过点． （1）求此幂函数的表达式和定义域； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）设，则有，解得， 故，其定义域为； （2）由，则在上单调递减， 故有即即． ▌迁移练17-2（24-25高一上·湖北·月考）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C ▌迁移练17-3（24-25高一上·江苏南京·月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 题型18幂函数综合问题 ▌例18 （25-26高二下·山西阳泉·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则 A．函数为增函数 B．不等式的解集为 C．函数为偶函数 D．当时， 答案ABD 【详解】对于A，设幂函数，则，解得，所以， 所以的定义域为，在上单调递增，故A正确； 对于B，因为函数在上单调递增，所以解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故C错误， 对于D，当时， ， 又，所以，D正确．故选ABD． ▌迁移练18-1（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ）解题要点 幂函数综合问题答题策略 （1）确定幂函数的表达式； （2）确定幂函数的单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； （3）确定幂函数的奇偶性；当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数 （4）结合定义域及已知条件联立求解。 A． B． C． D． 答案D 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． ▌迁移练18-2（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为幂函数在上单调递减， 则，解得， 可得正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. ▌迁移练18-3（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 答案(1) (2)在上单调递增， 证明如下：因为， 设， 则， 因为，所以，， 则， 所以在上单调递增 【分析】（1）根据 是幂函数得 ，再根据 是偶函数，且在 上单调递增得 为正偶数，从而求解出 解析式. （2）求出 解析式后根据单调性定义证明函数 的单调性. 【详解】（1）∵幂函数（k∈Z）是偶函数，且在上单调递增， ，且为正偶数，则，故. （2）略. 题型19几个常见函数模型的实际应用 ▌例19 （24-25高一上·福建厦门·期中）心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 答案(1)开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟 (2)接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟 (3)不能，当时，由解得， 当时，因为，满足要求 ， 当时，由解得， 当时，因为，不满足要求 ， 因为分钟<12分钟 所以老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题. 【详解】（1）由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为60， 当时，， 当时，，， 当时，， 所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. （2），，， 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟. （3）略. ▌迁移练19-1（北师大版必修1第139页例5改编）某商店每月按出厂价每瓶元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶元，每月可销售瓶；若零售价每降低(升高)元，则可多(少)销售瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为 元/瓶．解题要点 函数实际应用题答题策略 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型． ②建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． ③求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征，正确求得函数模 型的解． ④还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答． 【答案】．【解析】设销售价每瓶定为元，利润为元，故 ．故当时，利润最大． ▌迁移练19-2（25-26高二下·河北·期末）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是 A．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米 B．某城市机动车最高限速千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 C．甲车以千米/时的速度行驶小时，消耗升汽油 D．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 【答案】B 【解析】对于A，从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于，故A项错误； 对于B，速度在千米/小时以下时，相同条件下每消耗升汽油，丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，故B项正确．对于C，甲车以千米/小时的速度行驶，升汽油行驶千米，所以行驶小时，即行驶千米，消耗升汽油，故C项错误； 对于D，同样速度甲车消耗升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多， 所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故D项错误．故答案为B． ▌迁移练19-3（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游．该县某乡村计划在年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费元，且每年内接待的游客当年能全部服务完． (1)求出年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利万元，求年接待游客量的取值范围． （参考数据：，） 【答案】见解析 【解析】（1）当时，； 当时，， 所以 （2）若，即， 当时，万元； 若时，，当且仅当时，即时，万元，因为，所以年最大利润为万元，在年接待游客量为千人时取得． （3）当时，由，即，即，判别式，该不等式无解．因此，在区间内，无法达到盈利万元． 当时，由，即化简得， 解方程，得两根为，． 由于，所以解得． 综合两段区间，年接待游客量在千人范围内时，该乡村至少盈利万元． 题型20抽象函数 ▌例20 （2026·陕西西安·三模）（多选）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】利用赋值法判断AB，利用赋值法，以及不等式，判断C，根据函数单调性的定义，再结合赋值法和不等式判断D. 【详解】A选项，令，得，所以，A正确； B选项，令，得，，不恒为0，故B错误； C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确； D选项，设任意，，且，令，， 则有，即， 由于，故有，，， 所以，即，故在上单调递减，D正确． 解题要点 抽象函数答题策略 1.抽象函数：无具体解析式，仅给出 等函数方程， 2.主要考查：求特殊值、判断奇偶性、证明单调性、比较大小、解不等式 3.解题步骤（1）赋值（求 等特殊值） （2）构造f(-x)与f(x)的关系判断奇偶性 （3）通过作差法判断单调性 ▌迁移练20-1若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)最大值为2，最小值为 【分析】（1）赋值法得到，再由得到，得到函数为奇函数； （2）赋值法求出，利用（1）中的函数奇偶性求出，再用赋值法求出； （3）先证明出函数的单调性，结合（2）中结论得到答案. 【详解】（1）定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； （2）因为，故令得，即， 又是奇函数，所以， 令得， 令得 故； （3）不妨设， 中，令得， ， 因为，又时，， 所以，即， 所以在R上单调递减， 故． ▌迁移练20-2（23-24高一上·湖北·月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. ▌迁移练20-3（25-26高一上·吉林辽源·期中）（多选）已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 【答案】ACD 【分析】令可判断A；设，利用，结合单调性定义得的单调性，再利用单调性解得可判断B；令得，代入已知得，根据求出的范围可判断C；结合选项C，分别求出与可判断D. 【详解】对于A，令，得， 因为时，有，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，所以， ， 因为 ，且，所以， 所以，所以在上是单调递增函数， 由，得，解得， 因为是的真子集，则是 的必要不充分条件，故B错误； 对于C，令，得 ，所以， 代入得， 可得 ，即， 因为，所以 ， 则 ， ，即 ，故C正确； 对于D，任意， ， ， 而 ， 因 ，所以 ， 所以，故D正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 难点一 含参分段函数的最值与单调性 知识点 分段函数的概念 1.定义 分段函数：在定义域的不同区间上，对应法则（解析式）不相同的函数，整体仍是一个函数，不是多个函数。简单说：一个函数，多段表达式，分段定义。 2.定义域： 把每一段自变量的取值范围合并，就是整个分段函数的定义域。 3.解析式： 按自变量 x 所在区间，选用对应一段式子计算函数值。 4.图像： 由几段不同曲线 / 直线拼接而成，分界点要注意空心点、实心点（判断该点是否有定义 难点1：含参分段函数的最值 难点精练 1.（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 2.（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 3.（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 4.（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 【答案】 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． 5.已知的最小值为2，则m的取值范围为______________ 【答案】 【分析】根据给定条件，分别求出函数在时与函数在时的最小值即可作答. 【详解】当时，，当且仅当，即时取“=”， 当时，，，当，即时，取最小值， 因的最小值为2，于是得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为： 难点2：含参分段函数的单调性 难点精练 1.（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得 2.（2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】B 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 3.（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数是上的减函数，需要保证在各个区间段是减函数，并且满足在分段点处，断点左边在断点处的函数值要不小于右支函数在断点处的极限值． 【详解】因为是上的严格减函数，故 当时，必须严格单调递减，故，解得； 当时，，因为，故单调递减； 分段点为，，当时，， 故，解得； 综上，实数的取值范围是． 4.已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】将已知不等式变形后构造减函数，根据分段函数的单调性及衔接点处的单调性列方程组可求解. 【详解】因为，所以， 令函数，则是减函数. 因为， 所以， 因为是减函数，所以在上单调递减， 在上单调递减，且衔接点左侧函数值不小于右侧函数值. 当时，根据的图象可知， 在上，随着x的增大，与的差越来越大， 即在上单调递增，不符合题意，所以， 所以，解得. 5.已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 难点二 函数单调性、奇偶性、对称性的综合应用. 知识点 函数的基本性质 （1）单调性 设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有： ①或上单调递增； ②或上单调递减； 等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数. （2）奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝f(x)=f(|x|)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 等价变形：，f(-x)+f(x)=0为奇函数；，f(-x)-f(x)=0为偶函数. 奇偶函数的特点： (1)具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称， (3)若奇函数在原点处有定义，则. （3）对称性 ①图象关于直线对称； 推论1:的图象关于直线对称； 推论2:的图象关于直线对称； 推论3:的图象关于直线对称； ②的图象关于点对称； 推论1:的图象关于点对称； 推论2:的图象关于点对称； 推论3:的图象关于点对称； ③两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 函数与图象关于y轴对称； 函数与图象关于原点对称； 函数与图象关于x轴对称； 【常用结论】 （1）函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． （2）复合函数的单调性：同增异减 （3）若，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质： ①与单调性相同； ②当时，与单调性相同；当时，与单调性相反； ③当时，与单调性相同； 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 （4）若，在其公共定义域上具有奇偶性，则： 奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数 和 奇函数 偶函数 差 奇函数 偶函数 积 偶函数 奇函数 偶函数 商 偶函数 奇函数 偶函数 （5）奇偶性与单调性：奇同偶异. 奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性； 偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性，且偶函数还满足 难点精练 1．（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 可知函数为上的偶函数，． 因为在上单调递增，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 不等式可化为， 所以，解得或． 2.（2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，并分析函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】设，. 任取，则， 因为，，所以，即，所以， 所以在上单调递增. 原不等式可化为，由，得. ， 因为在上单调递增，故，即. 又，故. 3．（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 4．（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 【答案】/0.25 【详解】因为的图象关于对称，所以， 将替换为，可得， 因为是偶函数，所以， 将替换为，可得， 联立可得， 将替换成，可得，即是周期为的周期函数， 因此， 因为，所以， 当时，，所以， 即. 5．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 【答案】①②④ 【分析】令，利用奇偶性的定义与图象的平移可判断①；令，因式分解可判断②；利用作差法比较数的大小可判断③，利用导数的意义与根的存在性定理可得，，，结合②，可得，同理判断，可判断④. 【详解】因为，所以令， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以关于原点对称， 又的图象向下平移个单位得到的图象， 所以曲线的图象关于点成中心对称图形；故①正确； 令 ，当时，， 所以当时，曲线在曲线的上方，故②正确； 因为， 所以 ， ， 所以 ， 当时，，此时，故③错误； 因为， 所以在上单调递增，又， 所以只有唯一零点，且，同理可得， 当时，，且，， 所以函数有唯一零点，且， 由②知当时，曲线在曲线的上方，故， 当时，令 ， 即曲线在曲线的下方，故， 所以，故④正确. 6．（25-26高三上·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 7．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【分析】由条件结合对称性的性质可得，，结合关系可得，由此可得，再求，结合可得结论. 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 8．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得函数关于对称，进而有、，且，结合，得到是的两个零点，根据二次函数性质求得、，即可求的范围. 【详解】由，即，故函数关于对称， 所以，则， 故， 令，且开口向上，对称轴为， 由题意，且，它们也是的两个零点， 所以，且，故，则， 所以. 故选：C 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到函数的对称中心，从而得到为奇函数，利用奇函数性质得到结果. 【详解】， 故函数水平渐近线为，当时，趋向于， 故对称中心的纵坐标为， 联立与得， 由上述分析知的图像关于点对称， 变形函数，令， 则 ， 则在上是奇函数， 故有，即，． 10．（2026·陕西榆林·一模）(多选题)已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 【答案】ABD 【分析】抽象函数的性质，通过取特殊值解决前三个选项，选项D将抽象函数具体化. 【详解】 对于A，令，得，所以， 再令，，得，所以，故A正确； 对于B，首先定义域关于原点对称，其次令，得， 即，所以是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，令，得， 所以，由，得，解得或， 即只是解集的一部分，则是的充分不必要条件，故C错误； 对于D，设， 不难验证， 所以，所以，将代入，可得， 所以，的零点为0，，2，故D正确． 基础达标 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 2．（25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 3．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 【答案】C 【详解】对于A，，对应关系， 当时，，不满足函数定义，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，则函数需满足， 即，故函数的定义域为，故C正确； 对于D，函数是对勾函数， 当时取最小值，故最小值不是3，故D错误. 4．（广东省江门市2025-2026学年普通高中学科竞赛高一数学试题）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 【答案】 / 【分析】先利用偶函数性质将转化为，再结合周期为2的性质将自变量转化到区间内，代入已知解析式计算即可. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 由可知，函数是周期为的周期函数， 因此. 因为，所以， 故. 5．（2024·北京西城·一模）已知函数若存在最小值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，， 故当时，有最小值为； 当时，单调递减，所以，由题意存在最小值， 则，解得，即c的最大值为. 故选：A. 6．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 7．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 8．（25-26高一上·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代值计算可得的值； （2）利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集； （3）解方程可得出的值. 【详解】（1）因为，所以. （2）不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为. （3）由可得，即，解得或，合乎题意. 9．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 10．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 答案C 【分析】根据题意，可得为周期为的偶函数，根据性质求值. 【详解】已知是定义在R上的偶函数，即， 是奇函数，即， 则， 所以， 所以， 则. 11．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知是上的偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为，求解即可. 【详解】已知是R上的偶函数，且在上是单调减函数， 所以在上是单调增函数， 由，得，即， 解得，则符合题意的整数有. 故答案为： 12．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到为偶函数，且在上单调递减，，分和两种情况，变形，结合的单调性得到不等式，，满足不等式，从而求出答案. 【详解】是定义域为的奇函数，故， 定义域为， ， 故是偶函数， 又在上单调递增，故在上单调递减， 是定义域为的奇函数，，故， 故， 当时，， 而在上单调递增，故； 其中， 当时，， 而在上单调递减，故； 当时，，满足不等式． 综上，． 故选：D． 13．（24-25高三上·山东滨州·阶段检测）已知函数，且，则________． 【答案】6 【分析】根据代入解得，即可得，进而代入求. 【详解】因为函数，且， 可知，且，解得， 所以， 由有意义可得， 所以． 故答案为：6. 14．（河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上的最大值为 【答案】BD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可. 【详解】因为，作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，因为，，则， 结合图形可知，函数不是偶函数，A错； 对于B选项，当时，， 故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，C错； 对于D选项，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以函数在区间上的最大值为，D对. 故选：BD. 15．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 答案．(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 能力进阶 1．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）某信息需传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密的方法是英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数．通过变换公式：将明文转换成密文，如，即h变换成q，，即e变换成c．按上述规定，若将明文译成的密文是shxc，则原来的明文是__________． 【答案】 【分析】根据变换公式进行求解即可. 【详解】设密文s对应的明文为，则， 若，不符合题意； 若，符合题意，即密文s对应的明文为， 同理可求出hxc分别对应的明文为， 故答案为： 2．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数 (1)求函数的定义域 (2)求，的值 (3)当时，求a的值 【答案】(1) (2)2， (3) 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域； （2）代入自变量值，计算得函数值； （3）由代入解析式，计算得解. 【详解】（1）由题意，得，即等价于， 解得或， 所以函数的定义域为. （2），. （3）由，则，且， 所以，解得，符合题意. 所以的值为. 3．（23-24高一上·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【答案】(1)， (2)当为时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围. （2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）因为，所以，， 因为，，所以. （2） 当且仅当，即时，等号成立， 所以当为时，取得最大值，最大值为. 4．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）函数表示中的较小者，若，则（    ） A．的最大值为4 B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．方程有3个不等实根 【答案】BD 【分析】根据题意作出的图象，结合函数图象逐项分析判断即可. 【详解】因为， 作出的图象（图中实线部分），如图所示： 对于选项A：无最大值，故A错误； 对于选项B：在区间上单调递减，故B正确； 对于选项C：的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为与有3个交点，所以方程有3个不等实根，故D正确； 故选：BD. 5．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【分析】抓住第四个条件对应的函数解析式运算特征，分析学过的基本初等函数模型中，幂函数能与之对应，随即可解. 【详解】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 6．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据累加法可得即可求解. 【详解】当时， 因为， 故 由累加法可得， 故，故AB错误， 由， 所以故，所以C错误,D正确， 故选：D 7．（2026·陕西榆林·一模）(多选题)已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 【答案】ABD 【分析】抽象函数的性质，通过取特殊值解决前三个选项，选项D将抽象函数具体化. 【详解】 对于A，令，得，所以， 再令，，得，所以，故A正确； 对于B，首先定义域关于原点对称，其次令，得， 即，所以是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，令，得， 所以，由，得，解得或， 即只是解集的一部分，则是的充分不必要条件，故C错误； 对于D，设， 不难验证， 所以，所以，将代入，可得， 所以，的零点为0，，2，故D正确． 8．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（复习讲义） 复习要点 1.理解用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域. 3.理解区间的概念，并且能够利用区间表示集合. 4.理解分段函数的概念，会描绘分段函数图象，掌握分段函数的简单应用. 5.理解函数单调性的定义，判定证明函数的单调性；理解函数最大值与最小值的几何意义，会用函数的单调性求最值、比较大小、解不等式. 6.了解奇偶性的概念和几何意义，能判断函数的奇偶性，能利用奇偶函数的定义和图象解题，掌握奇偶性与单调性的综合运用. 7.了解幂函数的概念，归纳幂函数的图象与性质. 8.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，提升数学建模、数据分析和数学运算素养. 复习重难点 重点：掌握分段函数的简单应用 难点：熟练掌握函数的单调性、奇偶性的核心性质，并能灵活运用性质解决综合问题． ． 知识点 函数的概念及其表示 1、函数的概念及其表示 （1）函数的概念：设、是非空的实数集，使对于集合中的任意一个数，如果按照某种确 定的对应关系，在集合中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称为集合到 集合的一个函数，记作：. （2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 函数相等：两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致． 【易错提醒】1.垂直于x轴的直线与函数的图象至多有1个交点，即在定义域内的直线与图象只有1个交点． 2. 判断两个函数是否相同，要抓住的两点： (1)定义域是否相同； (2)对应关系是否相同，当解析式可以化简时，要注意化简过程的等价性 要点速测 1．下列表示函数图象的是 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点 函数的定义域 1.树立定义域优先的思想． 2.求函数的定义域时常用的结论 ①分式中，分母不为0； ②偶次方根中，被开方数非负； ③对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0； 【易错提醒】(1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围； (2)求函数的定义域时，对函数解析式先不要化简； (3)求出函数的定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式； (4)函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)的定义域的交集． （5）应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义． 要点速测 3. 求 的定义域； 4. 若函数的定义域为 ，求函数的定义域． 函数的值域 1. 求函数值域的一般方法：（1）分离常数法；（2）反解法；（3）配方法；（4）不等式法；（5）单调性法；（6）换元法；（7）数形结合法；（8）导数法． 【温馨提示】(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”. (2)利用基本不等式求最值简记为：积定和最小，和定积最大. 要点速测 5. （多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 6．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 知识点 求函数解析式 2. 函数解析式的四种求法： （1）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的表达式． （2）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解． （3）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． （4）方程思想：已知关于与或等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式构成方程组，通过解方程组求出． 【温馨提示】配凑法、换元法此时要注意新元的取值范围． 要点速测 7.求下列函数的解析式． （1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 8.（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 知识点 函数的单调性 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，． 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数． 当，都有，那么就说函数在区间上是减函数． 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间． 2．函数单调性的两个等价结论 设，则： （1）（或）在上单调递增； （2）（或）在上单调递减． 【易错提示】（1）定义域优先法：先求定义域，再利用单调性定义求解； （2）图象不连续的单调区间要分开写，不能用“”连接； （3）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． 要点速测 9．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 知识点 函数的最值 1．函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 2.求函数最值（值域）的常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； 【易错提示】(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值． 要点速测 11.（25-26高二下·天津南开·期末）已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 知识点 函数的奇偶性 7 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 2 .对称性的3个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 【易错提示】(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 要点速测 13. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 14．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 知识点 幂函数 8 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． （2）几种幂函数的图象： （3）幂函数的性质：定点：. 单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； (1)定义域和值域：将函数解析式化为根式即可得出. (2)奇偶性：当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数. 【易错提示】①幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限． ②幂函数的图象过定点(1,1)；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 要点速测 15．（人教A版必修一91页第1题改编）已知幂函数的图象过点，则 A． B． C． D． 16.若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为 A． B． C． D． 7 题型1 函数的定义域（含抽象函数的定义域） ▌例1 （25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 解题要点 求函数的定义域的策略 1. 已知函数的解析式，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数的解析式列出自变量满足的不等式（组），得出不等式（组）的解集即可． 2. （1）若的定义域为，则在中，由解得的范围，即为的定义域． （2）若的定义域为，则由得到的范围，即为的定义域． 口诀：定义域指的是的范围，括号内范围相同． ▌迁移练1-1（25-26高二下·黑龙江黑河·期末）若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 题型2 判断两个函数是否相等 ▌例2 (北师大版高中数学必修一52页例题1改编)下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1），； （2），； （3），； （4），． 解题要点 判断两个函数是否相同的策略 （1）两个函数相同当且仅当定义域与对应关系相同； （2）定义域与对应关系相同，则值域一定相同． ▌迁移练2-1（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 ▌迁移练2-2（24-25高一上·陕西西安·期中）（多选题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， ▌迁移练2-3（24-25高一上·福建福州·期中）（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型3 函数的值域 ▌例3 （25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 解题要点 求值域的策略 ①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 ②单调性法 ③换元法：形如，（令）；，（令）. ，（令）；（令）. ▌迁移练3-1（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列说法中正确的是（   ） A．当时，的最小值是3 B．若，，则 C．函数的值域为 D．函数与函数为同一个函数 ▌迁移练3-2（25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. ▌迁移练3-3（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 题型4 求函数的解析式 ▌例4 （25-26高一·内蒙古呼和浩特·期末）求下列函数解析式： (1)函数满足； (2)函数对任意的都有 ； (3)函数是一次函数且满足 . ▌迁移练4-1（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式．解题要点 函数解析式的求法策略 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可． （5）解方程组法给出的方程同时含： ①与，或与； ②一奇一偶函数与； ③与，或与； 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！ （1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求 ▌迁移练4-2（1）已知，求函数的解析式； （2）已知函数是二次函数，且，，求函数的解析式； ▌迁移练4-3（1）已知，求函数的解析式； （2） 已知函数满足，求函数的解析式． 题型5分段函数的图像、求值、不等式、参数问题 ▌例5 （2026高一·全国·专题练习）已知两个函数，． (1)当时，求的解析式； (2)当时，求的解析式． 解题要点 分段函数题型求解策略 “分段函数——分段看”，遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围，并根据自变量的范围选择合适的解析式代入，若自变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论．解题思路如下： （1）求函数值：当出现的形式时，应从内到外依次求值； （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验所求结果是否有意义． ▌迁移练5-1（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． ▌迁移练5-3（25-26高三上·辽宁抚顺·期末）已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 题型6 定义法判断函数的单调性 ▌例6 （25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 解题要点 利用定义证明或判断函数单调性的步骤 （1） 取值：设，是该区间内的任意两个值，且； （2） 作差变形：做差，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子； （3） 定号：确定的符号； （4）根据的符号及定义判断单调性． 标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件． ▌迁移练6-1（25-26高一上·上海·期末）已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围． ▌迁移练6-2（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． ▌迁移练6-3（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 题型7 利用函数的单调性比较大小、解不等式 ▌例7-1 （25-26高一上·陕西西安·阶段练习）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是 A． B． C． D． ▌例7-2 （25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 解题要点 利用单调性比较大小、解不等式策略 1. 对于无附加条件的不等式的证明，一般从繁证到简，可从左证到右，也可从右证到左，还可以两头齐比较函数值的大小时，结合函数的单调性的等价结论，得出函数的单调性．若自变量的值不在同一单调区间内，应利用函数性质，将不在同一个单调区间内的自变量，转化到同一个单调区间内进行比较． 2．利用单调性求参数范围（或值）的策略 （1）将参数看作已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； （2）若分段函数在上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小． ▌迁移练7-1（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-3（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型8 函数的最值（值域）及参数问题 ▌例8 （2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 解题要点 求函数最值（或值域）的几种常用方法及其思路 （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值（或值域）； （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值（或值域）； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值（或值域） （4）分离常数法：求形如的函数的最值（或值域）常用分离常数法求解； （5）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求出最值（或值域）； ▌迁移练8-1（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． ▌迁移练8-2（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练8-3（25-26高二下·山东日照·期末）已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是________． 题型9判断函数的奇偶性及求值问题 ▌例9-1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． ▌例9-2（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 解题要点 判断函数奇偶性的方法 （1）定义法：①确定函数的定义域；②若定义域不是关于原点对称的区间，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域是关于原点对称的区间，再判断是否等于； （2）图象法：①关于原点对称，为奇函数；②关于轴对称，为偶函数； （3）性质法： 在公共定义域内有：奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；偶偶偶；奇偶奇． ▌迁移练9-1（25-26高一上·重庆·阶段检测）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3） ▌迁移练9-2（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) ▌迁移练9-3（25-26高一下·贵州六盘水·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型10 奇偶性中的参数问题 ▌例10 （25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解题要点 利用函数的奇偶性求参数的值： （1）考虑定义域是否关于原点对称，若定义域含参数，求出参数； （2）借助奇偶性的定义求解，对于在处有定义的奇函数，利用求参数，通常也可以有效简化运算． 的开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数． ▌迁移练10-1（25-26高一下·陕西安康·期末）已知函数是偶函数，则 A． B． C． D． ▌迁移练10-2（25-26高二下·河北唐山·期末）已知函数是奇函数，则实数 ． ▌迁移练10-3（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 题型11类奇偶性求最值问题 ▌例11 （25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 解题要点 类奇偶性求最值答题策略 1.定义区间关于原点对称是前提； 2.将f(x)拆成，为奇函数 3.题型特征：题目求最大值 + 最小值的和，不是单独求最大或最小 ▌迁移练11-1（多选）（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）21．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知函数的定义域为，且对于任意实数，，都有，若函数在定义域内的最大值为，最小值为，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练11-2（25-26高一上·广西河池·期中）1．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． ▌迁移练11-3（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如果偶函数在上是减函数且最小值是，那么在上是 A．减函数且最小值是 B．减函数且最大值是 C．增函数且最小值是 D．增函数且最大值是 题型12利用奇偶性求解析式 ▌例12 （25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． ▌迁移练12-1（25-26高一下·福建福州·阶段检测）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.解题要点 利用函数奇偶性求解析式策略 1.先将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性求解， 2.利用奇偶性构造关于的方程(组)，从而得到的解析式． (1)画出函数的图象； (2)求出函数的解析式. ▌迁移练12-2（24-25高一上·上海·月考）已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． ▌迁移练12-3(25-26高一下·河南洛阳·期末）已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，．求函数，的解析式； 题型13奇偶性结合单调性比较大小 ▌例13 （25-26高二下·山东济宁·期末）已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 解题要点 利用函数奇偶性、单调性比较大小答题策略 1.借助奇偶性转化自变量，把所有自变量归到同一个单调区间，再用单调性比较函数值。 2.偶函数套绝对值，全部移到正区间比；奇函数负号往外提，统一区间判高低。． ▌迁移练13-1已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． ▌迁移练13-2（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（     ） A．的图象关于对称 B． C． D．是奇函数 ▌迁移练13-3（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数在上是增函数，且函数是偶函数，当，，时，有（    ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 题型14奇偶性结合单调性解不等式 ▌例14 （25-26高二下·河北沧州·期末）（多选）定义在上的函数满足，且当时，，下列说法正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 解题要点 利用函数奇偶性、单调性解不等式策略 ① 优先定域：求出题干函数的完整定义域，所有自变量必须在定义域内，这是解题前提，遗漏直接丢分； ② 统一变量：借助奇偶性转化式子中的负自变量，统一为同侧自变量（优先转为正数）； ③转化自变量的大小关系：根据单调性转化不等关系，增函数保号、减函数反号； ④ 联立求解：结合定义域范围、转化后的不等式，联立取交集； ⑤ 检验收尾：验证边界值、区间取舍，排除增根。 ▌迁移练14-1（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. ▌迁移练14-2（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练14-3（25-26高一下·浙江衢州·期末）（多选）定义在上的函数，满足当时，，且，，都有，下列说法正确的是（      ） A． B．是偶函数 C． D．若，则 题型15幂函数的概念与简单性质 ▌例15 （25-26高二下·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则（   ） A． B．3 C． D． 解题要点 幂函数的概念与简单性质 (1) 幂函数的形式是，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2) 单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； (3)奇偶性：当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数. ▌迁移练15-1（人教A版必修一91页第1题改编）已知幂函数的图象过点，则 A． B． C． D． ▌迁移练15-2（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． ▌迁移练15-3已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是_____ 题型16幂函数的图像及其应用（含过定点问题） ▌例16 （2026高三·全国·专题练习）已知幂函数，，，在第一象限内的图象如图所示分别是，，，，则，，，的大小关系是（   ） A．， B．， C． D． 解题要点 幂函数的图像性质 (1) 在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近轴（简记为“指大图低”）， (2) 在区间上，幂函数中指数越大，函数图象越远离轴（简记为“指大图高”）． (3) 幂函数的性质：定点：. ▌迁移练16-1（25-26高二下·黑龙江·期末）已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练16-2．函数与在同一直角坐标系中的图象不可能为 A． B． C． D． ▌迁移练16-2．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 题型16利用幂函数的性质比较大小 ▌例16 已知，则 A． B． C． D． 解题要点 幂函数值大小比较策略 （1） 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． （2） 比较幂函数的大小时，优先看能否化为同底数，利用函数单调性直接比较；若无法统一，则借助等中间量分界，再结合各自单调性判断即可． ▌迁移练16-1（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练16-2已知，则（    ） A． B． C． D． ▌迁移练16-2（24-25高一上·甘肃白银·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型17利用幂函数的性质解不等式 ▌例17 （24-25高一上·广东深圳·期中）已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 解题要点 利用幂函数性质解不等式 1 确定函数定义域； 2 确定幂函数的单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 3 根据单调性得到不等式； ④ 结合定义域联立求解，取有效区间。 ▌迁移练17-1（25-26高一下·湖南·期末）已知幂函数的图象经过点． （1）求此幂函数的表达式和定义域； （2）若，求实数的取值范围． ▌迁移练17-2（24-25高一上·湖北·月考）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练17-3（24-25高一上·江苏南京·月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型18幂函数综合问题 ▌例18 （25-26高二下·山西阳泉·期末）（多选）已知幂函数的图象经过点，则 A．函数为增函数 B．不等式的解集为 C．函数为偶函数 D．当时， ▌迁移练18-1（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ）解题要点 幂函数综合问题答题策略 （1）确定幂函数的表达式； （2）确定幂函数的单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； （3）确定幂函数的奇偶性；当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数 （4）结合定义域及已知条件联立求解。 A． B． C． D． ▌迁移练18-2（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． ▌迁移练18-3（24-25高一上·福建厦门·期中）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明. 题型19几个常见函数模型的实际应用 ▌例19 （24-25高一上·福建厦门·期中）心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. ▌迁移练19-1（北师大版必修1第139页例5改编）某商店每月按出厂价每瓶元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶元，每月可销售瓶；若零售价每降低(升高)元，则可多(少)销售瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为__________元/瓶．解题要点 函数实际应用题答题策略 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型． ②建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． ③求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征，正确求得函数模 型的解． ④还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答． ▌迁移练19-2（25-26高二下·河北·期末）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是 A．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米 B．某城市机动车最高限速千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 C．甲车以千米/时的速度行驶小时，消耗升汽油 D．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 ▌迁移练19-3（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）近年来，某县大力发展旅游业，带动周边乡村游．该县某乡村计划在年新增一个特色体验项目，通过调查分析：运营该项目全年需投入固定成本万元，年接待游客（千人），需另投入成本（万元），且由市场调研知，每人收费元，且每年内接待的游客当年能全部服务完． (1)求出年的利润（万元）关于年接待游客量（千人）的表达式； (2)年年接待游客量为多少（千人）时，该乡村所获利润最大？最大利润是多少？ (3)若该乡村希望至少盈利万元，求年接待游客量的取值范围． （参考数据：，） 题型20抽象函数 ▌例20 （2026·陕西西安·三模）（多选）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 ▌迁移练20-1若函数对任意，恒有成立，且．解题要点 抽象函数答题策略 1.抽象函数：无具体解析式，仅给出 等函数方程， 2.主要考查：求特殊值、判断奇偶性、证明单调性、比较大小、解不等式 3.解题步骤（1）赋值（求 等特殊值） （2）构造f(-x)与f(x)的关系判断奇偶性 （3）通过作差法判断单调性 (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． ▌迁移练20-2（23-24高一上·湖北·月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. ▌迁移练20-3（25-26高一上·吉林辽源·期中）（多选）已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 难点一 含参分段函数的最值与单调性 知识点 分段函数的概念 1.定义 分段函数：在定义域的不同区间上，对应法则（解析式）不相同的函数，整体仍是一个函数，不是多个函数。简单说：一个函数，多段表达式，分段定义。 2.定义域： 把每一段自变量的取值范围合并，就是整个分段函数的定义域。 3.解析式： 按自变量 x 所在区间，选用对应一段式子计算函数值。 4.图像： 由几段不同曲线 / 直线拼接而成，分界点要注意空心点、实心点（判断该点是否有定义 难点1：含参分段函数的最值 难点精练 1.（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2.（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4.（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 5.已知的最小值为2，则m的取值范围为______________ 难点2：含参分段函数的单调性 难点精练 1.（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·湖南常德·一模）已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 3.（2026·云南·模拟预测）函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数，若函数满足：对于任意的，当时，都有，则实数a的取值范围是______. 5.已知函数为定义在上的单调函数，则的取值范围是___________． 难点二 函数单调性、奇偶性、对称性的综合应用. 知识点 函数的基本性质 （1）单调性 设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有： ①或上单调递增； ②或上单调递减； 等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数. （2）奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝f(x)=f(|x|)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 等价变形：，f(-x)+f(x)=0为奇函数；，f(-x)-f(x)=0为偶函数. 奇偶函数的特点： (1)具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称， (3)若奇函数在原点处有定义，则. （3）对称性 ①图象关于直线对称； 推论1:的图象关于直线对称； 推论2:的图象关于直线对称； 推论3:的图象关于直线对称； ②的图象关于点对称； 推论1:的图象关于点对称； 推论2:的图象关于点对称； 推论3:的图象关于点对称； ③两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 函数与图象关于y轴对称； 函数与图象关于原点对称； 函数与图象关于x轴对称； 【常用结论】 （1）函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． （2）复合函数的单调性：同增异减 （3）若，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质： ①与单调性相同； ②当时，与单调性相同；当时，与单调性相反； ③当时，与单调性相同； 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 （4）若，在其公共定义域上具有奇偶性，则： 奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数 和 奇函数 偶函数 差 奇函数 偶函数 积 偶函数 奇函数 偶函数 商 偶函数 奇函数 偶函数 （5）奇偶性与单调性：奇同偶异. 奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性； 偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性，且偶函数还满足 难点精练 1．（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·河北张家口·三模）已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（2026·河北保定·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且为偶函数，当 时， 则 _______. 5．（2026·北京朝阳·二模）已知函数．给出下列四个结论： ①曲线是中心对称图形； ②当时，曲线在曲线的上方； ③当时，； ④设正实数分别是的零点，则． 其中正确结论的序号是___________ 6．（25-26高三上·江西·期中）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 8．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西榆林·一模）(多选题)已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 基础达标 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津东丽·阶段检测）函数的定义域是________ 3．（25-26高二下·重庆·期末）下列说法正确的是（     ） A．，对应关系是A到B的函数 B．和表示同一函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的值域是 4．（广东省江门市2025-2026学年普通高中学科竞赛高一数学试题）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 5．（2024·北京西城·一模）已知函数若存在最小值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·吉林辽源·期中）已知函数. (1)当时，求的值； (2)求的解集； (3)若，求实数的值. 9．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知是定义在R上的偶函数，且是奇函数，，则（   ） A． B． C．1 D．2 11．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知是上的偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为 . 12．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高三上·山东滨州·阶段检测）已知函数，且，则________． 14．（河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上的最大值为 15．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 能力进阶 1．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）某信息需传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密的方法是英文的a，b，c，…，z的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数．通过变换公式：将明文转换成密文，如，即h变换成q，，即e变换成c．按上述规定，若将明文译成的密文是shxc，则原来的明文是__________． 2．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知函数 (1)求函数的定义域 (2)求，的值 (3)当时，求a的值 3．（23-24高一上·江苏盐城·期中）为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. (1)将表示为的函数，并写出的取值范围； (2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 4．（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）函数表示中的较小者，若，则（    ） A．的最大值为4 B．在区间上单调递减 C．的图象关于直线对称 D．方程有3个不等实根 5．（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 6．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知函数的定义域为，且对任意，满足，且则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西榆林·一模）(多选题)已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（   ） A． B．是奇函数 C．是的必要不充分条件 D．的零点个数为3 8．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $