第三章 函数的概念与性质（复习讲义）高一数学人教A版2019必修第一册

第三章 函数的概念与性质（复习讲义） 1、用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2、理解区间的概念，并且能够利用区间表示集合；会判断两个函数是不是同一个函数，通过求简单函数的定义域、值域，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 3、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(列表法、图象法、解析法)表示函数，能根据函数解析式作出函数图象；通过选择合适的方法求函数解析式. 4、理解分段函数的概念，会描绘分段函数图象，掌握分段函数的简单应用. 5、借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会根据函数单调性的定义，判定证明函数的单调性； 理解函数最大值与最小值的几何意义，会用函数的单调性求最值、比较大小、解不等式. 6、结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，能判断函数的奇偶性，能利用奇偶函数的定义和图象解题，掌握奇偶性与单调性的综合运用. 7、通过具体实例，结合y=x，y=x-1，y=x2，y=，y=x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数的概念，归纳幂函数的图象与性质. 8、在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，提升数学建模、数据分析和数学运算素养. 1、函数的概念及其表示 （1）函数的概念：设、是非空的实数集，使对于集合中的任意一个数，如果按照某种确 定的对应关系，在集合中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称为集合到 集合的一个函数，记作：. （2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 函数相等：两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致． 2、定义域求法 （1）常见求函数定义域的方法 ①中要求； ②中要求； ③中要求； ④应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义． ⑤求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错． （2）抽象函数定义域：函数，三者之间定义域的关系. 【定义域都是指的取值范围】 ①已知定义域是，求的定义域：解不等式，其解集就是的定义域． ②已知定义域是，求的定义域：利用求的值域，该值域就是定义域． ③已知的定义域是，求的定义域：利用先求出的值域，然后解不等式，此不等式的解集就是的定义域． 3、值域的求法 ①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 ②单调性法 ③换元法：形如，（令）；，（令）. ，（令）；（令）. 4、函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可． （5）解方程组法给出的方程同时含： ①与，或与； ②一奇一偶函数与； ③与，或与； 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！ 5、函数的基本性质 （1）单调性 设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有： ①或上单调递增； ②或上单调递减； 等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数. （2）函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 （3）奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝f(x)=f(|x|)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 等价变形：，f(-x)+f(x)=0为奇函数；，f(-x)-f(x)=0为偶函数. 奇偶函数的特点： (1)具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称， (3)若奇函数在原点处有定义，则. （4）对称性 ①图象关于直线对称； 推论1:的图象关于直线对称； 推论2:的图象关于直线对称； 推论3:的图象关于直线对称； ②的图象关于点对称； 推论1:的图象关于点对称； 推论2:的图象关于点对称； 推论3:的图象关于点对称； ③两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 函数与图象关于y轴对称； 函数与图象关于原点对称； 函数与图象关于x轴对称； 【常用结论】 （1）函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． （2）复合函数的单调性：同增异减 （3）若，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质： ①与单调性相同； ②当时，与单调性相同；当时，与单调性相反； ③当时，与单调性相同； 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 （4）若，在其公共定义域上具有奇偶性，则： 奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数 和 奇函数 偶函数 差 奇函数 偶函数 积 偶函数 奇函数 偶函数 商 偶函数 奇函数 偶函数 （5）奇偶性与单调性：奇同偶异. 奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性； 偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性，且偶函数还满足. （6）伪奇函数的性质：若，其中为奇函数. 则；(2). 6、函数的图像平移变换 （1）已知的图象平移结论: 向右平移个单位得到的图象；向左平移个单位得到的图象； 向上平移个单位得到的图像；向下平移个单位得到的图像. （2）函数的对称与翻折变换 ①对称变换：与的图像关于轴对称； 与的图像关于轴对称； 与的图像关于原点对称. ②翻折变换：，即正半轴的图像不变，负半轴的原图像去掉，把正半轴图像关于轴对称过去（去左翻右）； ，即轴上方的图像不变，把轴下方的图像沿轴对称翻上去下翻上). 7、幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． （2）几种幂函数的图象： （3）幂函数的性质：定点：. 单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； (1)定义域和值域：将函数解析式化为根式即可得出. (2)奇偶性：当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数. 题型一 函数的定义域（含抽象函数的定义域） 1．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 2．（24-25高一上·吉林长春·月考）已知函数，则函数的定义域为 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 5．（24-25高一上·云南红河·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域是 6．（24-25高一上·江西九江·月考）若函数的定义域为，则的定义域为 . 题型二 判断两个函数是否相等 1．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）（多选题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三 函数的值域 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 3．求下列函数的值域． (1)； (2). 4．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 题型四 求函数的解析式 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 2．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 题型五 分段函数的图像、求值、不等式、参数问题 1．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是 ． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数且，则 ． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 题型六 定义法判断函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 3．（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 题型七 利用函数的单调性比较大小、解不等式 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 3．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东·月考）函数是上的增函数，且的图象经过点和，则不等式的解集为 . 题型八 函数的最值（值域）及参数问题 1．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 3．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 5．（24-25高一上·四川巴中·期中）（多选题）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高一上·江西南昌·月考）关于实数的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 7．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 8．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 9．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 题型九 判断函数的奇偶性及求值问题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 2．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则 . 3．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知函数且，则的值为 . 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 5．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 题型十 奇偶性中的参数问题 1．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·河南·模拟预测）已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 5．已知函数是奇函数，则实数 ． 题型十一 类奇偶性求最值问题 1．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知的最大值，最小值为，求的值 题型十二 利用奇偶性求解析式 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则当时， . 2．已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 3．（24-25高一上·上海奉贤·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 4．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 5．（24-25高一上·上海·月考）设为实数，函数是奇函数，则 ． 题型十三 奇偶性结合单调性比较大小 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 2．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是偶函数，在上是单调减函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）（多选题）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 题型十四 奇偶性结合单调性解不等式 1．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东湛江·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知是上的偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为 . 7．（24-25高一下·广东·期中）已知函数，则不等式的解集是 . 8．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是 9．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知，若对任意的xR，恒成立，则实数的取值范围是 题型十五 幂函数的概念与简单性质 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有 （只填序号）. 4．（24-25高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 5．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知幂函数，则 . 6．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 7．（24-25高一下·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 8．（25-26高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 题型十六 幂函数的图像及其应用（含过定点问题） 1．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高一上·陕西西安·月考）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 3．函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 5．（多选题）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 6．已知函数在上单调递增，其图像不过坐标原点，则 ． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 8．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 题型十七 利用幂函数的性质比较大小 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·甘肃白银·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)，和. 题型十八 利用幂函数的性质解不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北·月考）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则关于的表达式的解集为 . 7．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数且关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 题型十九 幂函数综合问题 1．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 2．（24-25高一上·云南昭通·月考）幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（    ） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0 3．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当时，越小，越大 4．（多选题）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 题型二十 几个常见函数模型的实际应用 1．（23-24高一上·江苏无锡·月考）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 2．某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元． (1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数； (2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？ 3．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 4．（25-26高一上·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 题型二十一 抽象函数 1．定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 2．若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 3．（23-24高一上·湖北·月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 4．已知定义域为的函数满足对任意都有． (1)求证：是奇函数； (2)设，且当x＞1时，，求不等式的解． 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·月考）已知偶函数在区间上是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知幂函数则（    ） A．1 B．4 C．8 D．12 6．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 7．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河南开封·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 11．（24-25高一上·重庆·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 15．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知定义在R上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选题）下列各项中，与表示同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 17．（24-25高一上·河北·月考）（多选题）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 18．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知幂函数的图象过点，则 . 19．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 20．已知定义在上的奇函数，当时，， 21．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）已知函数，若，则实数的值等于 ． 22．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数是幂函数，且是奇函数，则 ． 23．（23-24高一上·江西赣州·月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 24．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为 25．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，且，则 ． 26．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 27．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则实数的最小值为 ． 28．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 29．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 30．（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 31．（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值； (3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 32．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 33．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 34．（2025高一·全国·专题练习）（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 35．（24-25高一下·湖北·月考）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 36．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 37．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 能力提升进阶练 1．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·周测）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知函数，当时，恒成立，若的最小值为0，则（    ） A． B． C． D．4 6．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选题）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 7．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 8．（2025高一·全国·专题练习）设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 9．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 11．（24-25高一上·山西太原·月考）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 . 12．（25-26高一上·全国·单元测试）定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 13．已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值； (2)求证：当时，； (3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 14．（24-25高一下·湖北·月考）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 15．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 17．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 18．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 19．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①对任意,都有； ②对任意且，都有. 请解答下列问题： (1)求的值； (2)判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①.；②.. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念与性质（复习讲义） 1、用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2、理解区间的概念，并且能够利用区间表示集合；会判断两个函数是不是同一个函数，通过求简单函数的定义域、值域，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 3、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(列表法、图象法、解析法)表示函数，能根据函数解析式作出函数图象；通过选择合适的方法求函数解析式. 4、理解分段函数的概念，会描绘分段函数图象，掌握分段函数的简单应用. 5、借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，会根据函数单调性的定义，判定证明函数的单调性； 理解函数最大值与最小值的几何意义，会用函数的单调性求最值、比较大小、解不等式. 6、结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，能判断函数的奇偶性，能利用奇偶函数的定义和图象解题，掌握奇偶性与单调性的综合运用. 7、通过具体实例，结合y=x，y=x-1，y=x2，y=，y=x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数的概念，归纳幂函数的图象与性质. 8、在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，提升数学建模、数据分析和数学运算素养. 1、函数的概念及其表示 （1）函数的概念：设、是非空的实数集，使对于集合中的任意一个数，如果按照某种确 定的对应关系，在集合中都有惟一确定的数y和它对应，那么就称为集合到 集合的一个函数，记作：. （2）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 函数相等：两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致． 2、定义域求法 （1）常见求函数定义域的方法 ①中要求； ②中要求； ③中要求； ④应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义． ⑤求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错． （2）抽象函数定义域：函数，三者之间定义域的关系. 【定义域都是指的取值范围】 ①已知定义域是，求的定义域：解不等式，其解集就是的定义域． ②已知定义域是，求的定义域：利用求的值域，该值域就是定义域． ③已知的定义域是，求的定义域：利用先求出的值域，然后解不等式，此不等式的解集就是的定义域． 3、值域的求法 ①图象法（最常用的方法）：几类基本初等函数 ②单调性法 ③换元法：形如，（令）；，（令）. ，（令）；（令）. 4、函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可． （5）解方程组法给出的方程同时含： ①与，或与； ②一奇一偶函数与； ③与，或与； 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！ 5、函数的基本性质 （1）单调性 设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有： ①或上单调递增； ②或上单调递减； 等价变形： ，，，在区间上是增函数. ，，，在区间上是减函数. （2）函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 （3）奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝f(x)=f(|x|)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(-x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 等价变形：，f(-x)+f(x)=0为奇函数；，f(-x)-f(x)=0为偶函数. 奇偶函数的特点： (1)具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称， (3)若奇函数在原点处有定义，则. （4）对称性 ①图象关于直线对称； 推论1:的图象关于直线对称； 推论2:的图象关于直线对称； 推论3:的图象关于直线对称； ②的图象关于点对称； 推论1:的图象关于点对称； 推论2:的图象关于点对称； 推论3:的图象关于点对称； ③两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 函数与图象关于y轴对称； 函数与图象关于原点对称； 函数与图象关于x轴对称； 【常用结论】 （1）函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． （2）复合函数的单调性：同增异减 （3）若，在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质： ①与单调性相同； ②当时，与单调性相同；当时，与单调性相反； ③当时，与单调性相同； 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 （4）若，在其公共定义域上具有奇偶性，则： 奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数 和 奇函数 偶函数 差 奇函数 偶函数 积 偶函数 奇函数 偶函数 商 偶函数 奇函数 偶函数 （5）奇偶性与单调性：奇同偶异. 奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性； 偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性，且偶函数还满足. （6）伪奇函数的性质：若，其中为奇函数. 则；(2). 6、函数的图像平移变换 （1）已知的图象平移结论: 向右平移个单位得到的图象；向左平移个单位得到的图象； 向上平移个单位得到的图像；向下平移个单位得到的图像. （2）函数的对称与翻折变换 ①对称变换：与的图像关于轴对称； 与的图像关于轴对称； 与的图像关于原点对称. ②翻折变换：，即正半轴的图像不变，负半轴的原图像去掉，把正半轴图像关于轴对称过去（去左翻右）； ，即轴上方的图像不变，把轴下方的图像沿轴对称翻上去下翻上). 7、幂函数 （1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． （2）几种幂函数的图象： （3）幂函数的性质：定点：. 单调性：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； (1)定义域和值域：将函数解析式化为根式即可得出. (2)奇偶性：当为偶数时，为偶函数；当为奇数时，为奇函数. 题型一 函数的定义域（含抽象函数的定义域） 1．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】（1）根据根式以及0次方的性质即可由不等式求解， （2）根据根式的性质即可求解， （3）根据抽象函数的定义域性质即可求解. 【详解】（1）由得且，∴函数的定义域是． （2）由得，∴函数的定义域是． （3）∵的定义域是， ∴，∴，即的定义域是， ∴，∴， ∴函数的定义域是． 故答案为：；； 2．（24-25高一上·吉林长春·月考）已知函数，则函数的定义域为 【答案】 【分析】先求出的定义域，根据有意义得，解方程即可求得的定义域. 【详解】解：， ， 解得：， 若有意义， 则， 解得：， 故函数的定义域为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【详解】由题意知， ， 则函数的定义域为． 故答案为：． 4．（2025高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【详解】（1）设． 因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考察函数． 因为的定义域为， 所以，得， 所以的定义域为． 设，要使有意义， 必须，解得． 故的定义域为． 故答案为：；． 5．（24-25高一上·云南红河·月考）若函数的定义域为，则函数的定义域是 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以定义域是， 故答案为： 6．（24-25高一上·江西九江·月考）若函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域的求法求解即可. 【详解】函数的定义域为， 所以，所以， 所以由，且， 解得， 故答案为： 题型二 判断两个函数是否相等 1．（23-24高一上·四川成都·期中）（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）（多选题）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】逐项判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【详解】对于A，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 3．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BC 【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，函数中，，解得或，即的定义域为， 函数中，，解得，的定义域为，A不是； 对于B，，且与的定义域都为，B是； 对于C，当时，；当时，；又当时，， 因此，函数与的定义域相同，对应法则相同，C是； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，D不是. 故选：BC 题型三 函数的值域 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 3．求下列函数的值域． (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法，再根据二次函数相关性质即可求得结果； （2）先求得函数定义域，再求出二次函数最值即可求得其值域. 【详解】（1）令，所以， 即， 当时，， 即函数的值域为. （2）由题意得：，即， 所以函数定义域为， ， 由二次函数性质可得， 所以的值域为． 4．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 题型四 求函数的解析式 1．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式 (1)已知函数是一次函数，满足，求； (2)已知是二次函数，且，，，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设，代入后利用恒等可求参数的值，从而得到解析式； （2）设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】（1）设，则 ， 所以，解得或， 所以或. （2）设， 根据题意得，解得 所以． 2．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得； （2）利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； （3）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【详解】（1）令，则， 于是有， 所以. （2）函数，又的值域为， . （3）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用代入法求解析式即可； （2）解法一利用配凑法，解法二利用换元法求解析式； （3）利用方程组法求解即可. 【详解】（1）用代入法，因为， 所以； （2）解法一（配凑法）： 因为，且， 所以函数的解析式为； 解法二（换元法）： 令，则，且， 所以， 故函数的解析式为； （3）利用方程组法：①， 用代换①式中的，得②， 由①②联立消去，得， 故函数的解析式为． 题型五 分段函数的图像、求值、不等式、参数问题 1．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B 2．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对成立，可知函数在定义域内单调递减，结合分段函数单调性可列不等式，即可求解. 【详解】∵对任意的实数，都有成立，不妨设， ∴，，∴函数在上单调递减. 当时，单调递减，∴，解得； 当时，单调递减，∴，即； 又函数在上单调递减，∴，解得， 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 3．函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】由分段函数的性质结合二次函数的性质可得. 【详解】， 由二次函数的性质可得当时，单调递增区间是； 当时，单调递增区间是， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知函数且，则 ． 【答案】2或 【分析】已知函数为分段函数，根据函数性质结合，分和两种情况讨论得出对应的值，并验证是否符合题意. 【详解】当时，，解得， 因为，故. 当时，，解得， 因为，故. 验证：当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 故答案为：2或. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 题型六 定义法判断函数的单调性 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， . ， ，，. ，即. 函数在上是增函数. 对于任意的，且，有. ， ，，. ，即. 函数在上是减函数. 3．（2025高一·全国·专题练习）判断函数的单调性并证明． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为，证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，分别在和上证明即可求解. 【详解】对任意，． 因为，所以，． 对任意，有， 从而，即； 对任意，有， 从而，即． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 题型七 利用函数的单调性比较大小、解不等式 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性，结合和的符号的可能性即可得解. 【详解】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 2．设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可. 【详解】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以. 故选：A 3．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 6．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 7．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 8．（24-25高一上·山东·月考）函数是上的增函数，且的图象经过点和，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数的单调性和经过点和得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为的图象经过点和，所以， 又，所以，即. 因为函数是上的增函数，所以，解得. 故答案为：. 题型八 函数的最值（值域）及参数问题 1．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（2025高一·全国·专题练习）函数的最值为（    ）． A．最大值为8，最小值为0 B．不存在最小值，最大值为8 C．最小值为0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值 【答案】B 【分析】先根据二次函数求出的最小值，无最大值，再根据反比例函数的单调性求解函数的最值，即可得解. 【详解】令，则． 又,故在上单调递减，当，即时，函数有最大值8，无最小值. 故选：B． 3．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性求解. 【详解】由得，所以的定义域为． 因为与在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以，即函数的值域为. 故选：A. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选： 5．（24-25高一上·四川巴中·期中）（多选题）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将不等式转化为,求的最大值即可. 【详解】将不等式转化为, 令， 则在取最小值，在单调递减，所以在时，单调递减， 即单调递增，所以最大值为，所以. 故选：ABC 6．（24-25高一上·江西南昌·月考）关于实数的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为在上的最大值，由二次函数的性质求解即可. 【详解】由得， 则问题等价于小于在上的最大值， 又因为，所以当时，取得最大值2， 所以，解得或，所以的取值范围为 故答案为： 7．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】按函数图象对称轴与区间关系分类求出函数最小值，进而建立不等式求解. 【详解】函数图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 8．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 9．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据函数的增函数定义进行证明即可. （2）结合（1）中证明的递增函数性质直接求出最大值和最小值. 【详解】（1）证明：设是区间上的任意两个实数，且， 则， ，，，， ，即. 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数， 则在上的最大值是，最小值是. 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性进而求最值即可. 【详解】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 题型九 判断函数的奇偶性及求值问题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知偶函数的定义域为，且当时，，则 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质可知，再利用时，的解析式求出即可． 【详解】∵为偶函数， ∴， ∵当时，， ∴， 故． 故答案为：2． 2．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】易知，即为奇函数， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知函数且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据函数解析式可得出为奇函数，再利用奇函数性质计算可得结果. 【详解】易知满足，即为奇函数， 所以，可得， 即可得，所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【详解】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【答案】(1)不是奇函数也不是偶函数 (2)偶函数 (3)奇函数 【分析】根据奇偶性的定义逐一判断即可 【详解】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 题型十 奇偶性中的参数问题 1．（25-26高一上·山东·开学考试）已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 2．（2025·河南·模拟预测）已知为偶函数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据恒成立求参数的值. 【详解】易得函数的定义域为，由是偶函数，得恒成立， 可得，故. 故选：C 3．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，带入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 5．已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，不妨设，列出方程，即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. 题型十一 类奇偶性求最值问题 1．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解. 【详解】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：6. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 3．（2024高一·全国·专题练习）已知的最大值，最小值为，求的值 【答案】 【分析】设，可判断为奇函数，得，又，可得. 【详解】设，， ， 所以为奇函数，则， 所以，所以，， 所以. 所以. 题型十二 利用奇偶性求解析式 1．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据偶函数特点即可得到答案. 【详解】当时，，则. 故答案为：. 2．已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】当时，，根据奇函数的定义求对称区间上的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 3．（24-25高一上·上海奉贤·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 【答案】 【分析】由奇函数的性质求解即可； 【详解】当时，则， 由奇函数性质知， 所以. 故答案为：. 4．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【分析】根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解. 【详解】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 5．（24-25高一上·上海·月考）设为实数，函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据定义在上的奇函数的性质可得，进而结合奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意，函数在上为奇函数，， 所以，即， 则时，， 所以时，，则，即， 即. 故答案为：. 题型十三 奇偶性结合单调性比较大小 1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数性质得，，再利用其单调性即可比较出大小. 【详解】因为偶函数，则，， 又因为其在区间上单调递减，则， 即. 故选：A. 2．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 3．（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减， 因为， 所以，即， 故选：C. 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是偶函数，在上是单调减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对称性、以及函数单调性比较函数值大小即可. 【详解】已知函数是偶函数，所以的图象关于直线对称， 因为在上是单调减函数，所以在上是单调递增函数， 所以. 故选：D. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）（多选题）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的奇偶性判断、的区间单调性及函数值的大小，结合单调性比较函数值的大小关系. 【详解】由是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则在上单调递增，，故在R上单调递增， 所以，则，A对； 由是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 则在上单调递减，则， 综上，、，B错，C对； 若时，大小不定，D错. 故选：AC 题型十四 奇偶性结合单调性解不等式 1．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 2．（2025·广东湛江·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数、函数的单调性以及函数的零点转化待求不等式，求解即得. 【详解】因为， 所以在上单调递增，且． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且． 由，可得或，解得或． 即的解集为. 故选：B. 3．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在单调递减，又函数为偶函数，且 所以不等式等价于,即，解之即可. 【详解】因为的定义域为，且对于任意均有， 所以在单调递减， 又函数为偶函数，且 由，得，等价于， 所以， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是：， 故选：B. 4．（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在单调递增，又结合为奇函数得出上递增，再由等价于或，即可求解集. 【详解】对任意的，，且，都有成立，所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数，所以在单调递增， 由， 当时，，即； 当时，，即； 由可得. 故选：D. 5．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到为偶函数，且在上单调递减，，分和两种情况，变形，结合的单调性得到不等式，，满足不等式，从而求出答案. 【详解】是定义域为的奇函数，故， 定义域为， ， 故是偶函数， 又在上单调递增，故在上单调递减， 是定义域为的奇函数，，故， 故， 当时，， 而在上单调递增，故； 其中， 当时，， 而在上单调递减，故； 当时，，满足不等式． 综上，． 故选：D． 6．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知是上的偶函数，且在上是单调减函数，则满足不等式的所有整数的值为 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为，求解即可. 【详解】已知是R上的偶函数，且在上是单调减函数， 所以在上是单调增函数， 由，得，即， 解得，则符合题意的整数有. 故答案为： 7．（24-25高一下·广东·期中）已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先判断为奇函数，再分析其单调性，发现为增函数，故可利用单调性得到自变量的大小，由此可得到解集. 【详解】因为，且函数的定义域为，所以为奇函数， 又因为和在上均为增函数，所以为增函数， 由，得， 故，解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是 【答案】 【分析】根据条件分析函数的性质，结合函数简图分类讨论可解不等式. 【详解】由题意得，，，函数在上单调递增， 函数的图象大致如下： ∵，∴或， 当时，或，解得， 当时，或，解得， 综上得，满足的x的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的性质画出简图，根据函数图象分析讨论可解不等式. 9．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知，若对任意的xR，恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】先分析函数的奇偶性与单调性，将转化为，利用单调性解不等式转化为恒成立，求解参数的取值范围即可. 【详解】由于，所以是上的奇函数， 当时，单调递增，由奇函数可知，在上单调递增， ， 由，所以， 所以恒成立，即， 当时，显然不满足题意； 所以，解得. 故实数的取值范围是. 题型十五 幂函数的概念与简单性质 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ） A．2 B． C．1 D．1或 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及性质即可得到判断. 【详解】由题意幂函数可得，解得， 当时，在上单调递减，不合题意，故舍去； 当时，在上单调递增，满足题意，故； 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）有下列函数： ①；②； ③；④； ⑤；⑥. 其中是幂函数的有 （只填序号）. 【答案】④⑤ 【分析】直接根据幂函数的定义即可逐一判断. 【详解】①中，的系数为，故不是幂函数； ②中，不是的形式，故不是幂函数； ③中，，系数是，故不是幂函数； ④中，，是幂函数； ⑤中， ，是幂函数； ⑥中，是指数函数，故不是幂函数. 故答案为：④⑤ 4．（24-25高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】/ 【分析】先根据幂函数的概念求的值，再根据求的值，可得的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以. 又，所以. 故. 故答案为： 5．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知幂函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数定义可得，然后可得答案. 【详解】由幂函数定义可得，则， 则. 故答案为： 6．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 7．（24-25高一下·云南楚雄·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义即可求，再根据的图像关于轴对称即可求解. 【详解】由题意有，即，解得或， 又的图象关于轴对称，所以，即. 故答案为：. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）若幂函数的图象经过，，这三个点中的两个点，则 . 【答案】16 【分析】根据幂函数的概念及性质，先确定幂函数的解析式，再求的值. 【详解】因为点为第四象限的点，所以幂函数的图象不过点. 设幂函数，其图象经过点和， 所以，解得，所以. 所以. 故答案为：16. 题型十六 幂函数的图像及其应用（含过定点问题） 1．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 2．（23-24高一上·陕西西安·月考）如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的单调性可判断选项. 【详解】由幂函数的单调性可知曲线相应的应为. 故选：A 3．函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 4．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C 5．（多选题）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义域，定点，图象等分别判断各个选项即可. 【详解】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 6．已知函数在上单调递增，其图像不过坐标原点，则 ． 【答案】－2 【分析】根据幂函数的图象特点和单调性等性质进行求解即可. 【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则， 当的定义域为，不合题意； 当在区间上单调递减，不合题意； 当，因为在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，符合题意； 综上所述：． 故答案为：－2． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】(1,2) 【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点． 【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有， 所以，即的图象经过定点(1,2)， 故答案为：． 8．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 题型十七 利用幂函数的性质比较大小 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 2．（24-25高一上·安徽安庆·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以，即， 又因为，又且在上单调递增， 所以，，所以. 故选：A. 3．（24-25高一上·甘肃白银·月考）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，换算成幂函数的形式，然后根据函数的单调性求解. 【详解】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且， 所以． 故选：C. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对每个数变形，再利用幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，， 所以，又因为， 且幂函数在上单调递增.所以. 故选：B 5．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)，和. 【答案】(1) (2) (3) (4). 【分析】根据幂函数的单调性比较大小. 【详解】（1）∵函数在上单调递减，又，∴. （2），函数在上单调递增， 又，∴，∴，即. （3），. 函数在上单调递减，又， ∴，即. （4）∵，，，∴. 题型十八 利用幂函数的性质解不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性求解. 【详解】因为，所以函数在上为增函数，由可得，解得． 故选：B. 2．已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由单调性求解. 【详解】因为在单调递减， 所以由可得，解得， 故选：C. 3．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性即可求解不等式. 【详解】由于函数的定义域为， 且，所以是偶函数， 又因为，由当时，在上是减函数， 所以在上是减函数， 则由，可得， 平方得：，解得， 故选：D. 4．（24-25高一上·湖北·月考）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 5．（24-25高一上·江苏南京·月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 6．已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由题意可知，的定义域为， 所以， 所以函数是奇函数， 由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得， 所以关于的表达式的解集为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数且关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性与单调性去函数符号解含参一元二次不等式即可. 【详解】易知，即为奇函数， 由幂函数的单调性知在R上是增函数， 所以， 则得在R上恒成立， 若时，显然不成立， 若时，显然恒成立成立， 若时，则当且仅当时成立， 综上：实数k的取值范围为． 故答案为： 题型十九 幂函数综合问题 1．已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可判断出；根据函数的奇偶性及，互质可判断出为偶数，为奇数. 【详解】因为函数的定义域为，且在上单调递减， 所以0， 因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又p、q互质，所以q为奇数， 所以选项D正确， 故选：D. 2．（24-25高一上·云南昭通·月考）幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（    ） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念及性质求得，然后根据函数的单调性及奇函数性质转化求解即可. 【详解】由，解得或. 当时，；当时，. 因为函数的图象与坐标轴有交点，故. 又，所以， 因为为在R上单调递增的奇函数， 所以，即. 故选：D 3．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当时，越小，越大 【答案】AD 【分析】结合幂函数的定义和性质，对选项进行逐一分析. 【详解】选项A:对任意，，恒成立，故A对； 选项B:时，无意义，故B错； 选项C：两个幂函数和的交点满足，解得（仅当指数非负时）、、.实数范围内最多有3个交点，且当函数为奇函数时交点关于原点对称.故C错. 选项D:当时，的值随的减小而增大，如，故D对. 故选:AD. 4．（多选题）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可. 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 5．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）令，求出函数在区间上的值域即可； （3）令，可得，不等式转化为，由参变量分离法可得，其中，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 故. （2）当时，可得， 令，因为，所以，即可得， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，，当时，. 所以函数在区间上的值域为. （3）令，因为，所以， 因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. 题型二十 几个常见函数模型的实际应用 1．（23-24高一上·江苏无锡·月考）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 2．某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时元；固定部分成本为每小时元． (1)设该轮船航行速度为（），试将其每小时的运输成本表示为的函数； (2)当该轮船的航行速度为多少（单位：）时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？ 【答案】(1)，其中 (2)，元 【分析】（1）设每小时的可变成本为，根据可变部分成本与航行速度的立方成正比可求，从而可求每小时的运输成本； （2）该轮船每千米的运输成本，利用导数求其单调性即可. 【详解】（1）设该轮船航行速度为时，其每小时的可变成本为（单位：元）， 则，其中． 由题意，得，解得，故． 所以每小时的运输成本，其中． （2）该轮船每千米的运输成本，其中， 求导，得， 令，解得． 由，解得；故在区间上单调递增； 由，解得；故在区间上单调递减． 所以当时，取得最小值． 故当该轮船的航行速度为时，其每千米的运输成本最低，且为元． 3．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 4．（25-26高一上·全国·期中）2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 题型二十一 抽象函数 1．定义在上的函数满足． (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明. 【答案】(1)； (2)是偶函数；证明见解析. 【分析】（1）分别令和，即可得结果； （2）令结合偶函数的定义即可得结果. 【详解】（1）令，则． 再令，可得， ∴． （2）是偶函数； 证明：令可得， ∴是偶函数． 2．若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)最大值为2，最小值为 【分析】（1）赋值法得到，再由得到，得到函数为奇函数； （2）赋值法求出，利用（1）中的函数奇偶性求出，再用赋值法求出； （3）先证明出函数的单调性，结合（2）中结论得到答案. 【详解】（1）定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； （2）因为，故令得，即， 又是奇函数，所以， 令得， 令得 故； （3）不妨设， 中，令得， ， 因为，又时，， 所以，即， 所以在R上单调递减， 故． 3．（23-24高一上·湖北·月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 4．已知定义域为的函数满足对任意都有． (1)求证：是奇函数； (2)设，且当x＞1时，，求不等式的解． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意赋值结合奇函数定义证明；（2）根据题意整理可得，赋值结合单调性定义可证在上单调递减，并根据偶函数的定义证明是偶函数，根据奇偶性、单调性解不等式. 【详解】（1）令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 故是奇函数. （2）∵，则，即， 则，即， 令，则，， ∴，即， 故在上单调递减， 又∵，则是偶函数， ∴，即， 则，解得或， 故不等式的解集为. 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可. 【详解】由题可得且，则且， 故函数的定义域为. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数的定义即可判断. 【详解】由幂函数的定义：形如,其中为常数，所以可得是幂函数． 故选：C. 3．（24-25高一上·天津·月考）已知偶函数在区间上是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、单调性可得答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 因为在区间上是增函数， 且，所以， 即. 故选：D. 4．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的单调性列绝对值不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 5．（24-25高一上·山西晋城·期末）已知幂函数则（    ） A．1 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】由幂函数定义得到参数的值，求出幂函数，进一步求函数值. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得，所以， 所以. 故选：C 6．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 7．已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 8．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）定义在上的偶函数，对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对任意的都有可得，再结合偶函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意的都有， 所以，即，，即， 所以， 又因为是定义在上的偶函数，， 所以， 故选：A 9．（24-25高一上·河南开封·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且，则， 由函数在上单调递增，且，则， 所以，即. 故选：A. 10．已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得． 故选：B. 11．（24-25高一上·重庆·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式性质比较相关自变量大小，根据幂函数的单调性比较函数值大小 【详解】由，则，又在上单调递增， 所以. 故选：A 12．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 13．（24-25高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合一次函数和二次函数的单调性即可求得. 【详解】由题意可知，在上单调递增，则，即， 在上单调递增，则， 又是R上的单调递增函数，则，即， 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：C 14．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可. 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 15．（24-25高一上·广西南宁·期末）已知定义在R上的奇函数在单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的性质可得出，分析函数的单调性，分、、三种情况解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以，， 因为函数在上单调递增，则该函数在上也为增函数， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 16．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选题）下列各项中，与表示同一函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案. 【详解】对于A，因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不同，故两函数不相等，故A错误； 对于B，由得，故的定义域为， 由得，故的定义域为， 又两者对应法则相同，故两函数相等，故B正确； 对于C, 因为，的定义域均为R，且对应关系相同，故两函数相等，故C正确； 对于D，，， 两个函数的定义域均为，对应关系相同，所以两函数相等，故D正确. 故选：BCD. 17．（24-25高一上·河北·月考）（多选题）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意求得函数解析式，再逐项判断即可. 【详解】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 18．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】利用幂函数过点计算求参，再计算求出函数值. 【详解】幂函数的图象过点， ，解得， ，则 故答案为： 19．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 【答案】 【分析】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 20．已知定义在上的奇函数，当时，， 【答案】 【分析】利用函数性质得，再代入，即可求解. 【详解】因为定义在上的奇函数，则， 又当时，，则，所以， 故答案为：. 21．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）已知函数，若，则实数的值等于 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而得，分、分别求解即可. 【详解】解：因为， 又因为， 所以， 当时，则有，解得； 当时，则有，解得； 综上或. 故答案为： 22．（24-25高一下·河南·开学考试）已知函数是幂函数，且是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由幂函数由求参数值，再由幂函数为奇函数确定参数m即可. 【详解】由题设，可得，则或， 当，则为奇函数，满足题设； 当，则为偶函数，不满足题设. 所以. 故答案为： 23．（23-24高一上·江西赣州·月考）若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解. 【详解】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 24．（24-25高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，时，，则函数在上的解析式为 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性分别求出和时的解析式即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 设，则， 则， 所以， 所以， 故答案为：. 25．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】设，证明该函数为奇函数，由求出，由奇函数得，从而求得. 【详解】设，则， 由，可得为奇函数， 因解得，故， 于是. 故答案为：. 26．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】5 【分析】应用函数奇偶性，建立方程组求出，的解析式，再求即可. 【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即， 解之得，所以. 故答案为：5 27．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知定义在上的奇函数在上单调递减，若，则实数的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合函数性质可得函数在上单调递减，结合函数的单调性及定义域化简不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域为，函数为奇函数，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为， 所以， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 28．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性以及奇偶性可求解，即可根据的单调性求解. 【详解】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 故答案为： 29．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先根据幂函数过点求出函数，再结合函数的单调性列出不等式计算求解. 【详解】设幂函数，由题意得，解得，故， 所以，则，即为. 令，解得. 根据在上为单调递增函数， 则有，解得或，故所求解集为， 故答案为:. 30．（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化 为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 31．（24-25高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求的值； (3)画出平面直角坐标系，作出函数的图象. 【答案】(1)0； (2)或或 (3)图像见解析 【分析】（1）由函数解析式即可求解； （2）由解析式分类讨论求解即可； （3）由解析式即可直接作图； 【详解】（1）， （2）， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上的值为：或或 （3） 32．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 33．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】分别利用直接法，分离常数法，基本不等式法，换元法求解函数的值域. 【详解】（1）∵，∴, ∴的值域为. （2），显然,所以, 故函数的值域为. （3）由,知. 则, 当且仅当,即时,上式取“”． ∴（）的最小值为8. 故函数（）的值域为. （4）设,则,且, 所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为.    34．（2025高一·全国·专题练习）（1），求的解析式； （2）已知，求； （3）已知为二次函数，且，求； （4）已知且，求． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）将代入即可求解； （2）解法1令，利用换元法即可求解；解法2配凑法由进而求解； （3）设，利用待定系数法即可求解； （4）利用方程组法即可求解. 【详解】（1）． （2）解法1 换元法．令，则， 所以，所以． 解法2配凑法， 所以． （3）设， 则， 所以，解得， 所以． （4）由题意可得，解方程组，可得． 35．（24-25高一下·湖北·月考）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)50；2200 【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润； （2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 当时，， 当时，， 所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时，，开口向下， 所以当时，； 当时， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 因为， 所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200. 36．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 37．（2025高一·全国·专题练习）定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明： (1)； (2)对任意的恒有； (3)是增函数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证； （2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证； （3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明. 【详解】（1）令，则，又，故； （2）令，则，即， 由题意，当时，则，有， 所以，又， 所以； （3）法一：，且，令， 则，则， 因为，所以，， 所以，是增函数； 法二：，且， 所以， 由，得，又， 所以，即， 所以是增函数. 能力提升进阶练 1．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 【答案】C 【分析】由函数为幂函数可得或，再结合函数的性质确定，结合单调性的性质可得结论. 【详解】因为函数为幂函数， 所以， 解得或； 因为对任意且，都有， 可知函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减，矛盾， 当时，，函数在上单调递增，满足条件， 所以，， 函数为奇函数，函数在上单调递增， 由，可得，所以，即， 所以. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性和奇偶性的定义列不等式组求解即可. 【详解】由当时得在单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以在上也单调递增，故在上单调递增， 由得， 所以，解得， 故原不等式的解集为， 故选：A 3．（24-25高一上·全国·周测）已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的性质，把函数不等式转化为与的代数不等式，进一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围. 【详解】由已知可得，函数为偶函数， 又对于，当时，恒成立， 即，若，都有成立， 则在上单调递减， 又函数为偶函数，则在上单调递增， 又对任意的恒成立 ，则可得． 当时，不等式为显然成立； 当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A． 4．（2025·云南·模拟预测）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，设函数，则在上递增，判断也是是定义在R上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可. 【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设， 则，所以， 令，则在上递增， 因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数， 所以在上递增， 不等式化为， 因为，所以，即，所以， 则，即：，所以， 或，即：，所以， 所以不等式的解集为， 故选：A． 5．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知函数，当时，恒成立，若的最小值为0，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】首先将不等式变形成为，且存在使得，换元后讨论对称轴和定义域的关系，列式求解即可. 【详解】由题意可知，当时，恒成立，且存在使得， 则，整理可得， 即， 因为，所以，当且仅当时，等号成立； 当时，即时，设； 则，不合题意； 当时，即时，由，解得； 综上可得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将四次不等式通过变形利用基本不等式结合换元法，将问题转化为求解二次函数最值的问题，得出表达式求解即可. 6．（24-25高一上·广东汕头·期中）（多选题）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（   ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 【答案】ABD 【分析】依题意，结合偶函数特征和单调性逐选项判断即可. 【详解】因为定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，， 所以区间上单调递增，， 对于A，区间上单调递减，，所以，故A正确； 对于B，若，则或，解得或，故B正确； 对于C，若，当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 当，，当，， 所以若，则，故C错误； 对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，， 故D正确； 故选：ABD. 7．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示：    由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 8．（2025高一·全国·专题练习）设为非零实数，函数若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可构造出是单调递减函数，然后根据分段函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】不妨设，则对任意，， 都有，即成立， 从而函数在上是减函数， 故实数应满足解得， 故答案为：． 9．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数存在最小值，则m的最大值为 ． 【答案】4 【分析】首先得出函数单调性，画出函数图象，进一步根据题意列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以在R上的最小值为0． 因为函数，图象开口向上且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在R上的最小值为． 综上，对于，当时，在上单调递减，在，上单调递增，且， 则的大致图象如图所示． 由图可知，若存在最小值，则，解得，故m的最大值为4． 故答案为：4. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用函数的单调性定义判断函数在区间上的单调性，求得的值域，再将问题转化为在上的最大值小于等于在上的最小值的问题，解不等式可得结论． 【详解】设，则， 因为，所以， 则，即，故在区间上单调递增，故当时，， 则问题转化为当时，，即恒成立， 又函数在上单调递减，所以 所以，解得． 故答案为： 11．（24-25高一上·山西太原·月考）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知，，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为， 当且时，则，这与矛盾， 不合乎题意，所以，， 因为二次函数的对称轴为直线， 当时，即当时，则函数在上为增函数， 根据题意，则有，此时，； 当时，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时，不存在. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 12．（25-26高一上·全国·单元测试）定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 3 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 13．已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立． (1)求的值； (2)求证：当时，； (3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3)在上为减函数，理由见解析. 【分析】（1）令并代入关系式，即可得； （2）利用关系式并结合（1）的结论，即可证； （3）应用单调性定义，设，则，即可得结论. 【详解】（1）令，则，故； （2）； （3）在上为减函数，理由如下： 设，则， 又，故， 所以，即在上为减函数. 14．（24-25高一下·湖北·月考）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)50；2200 【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润； （2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 当时，， 当时，， 所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为. （2）当时，，开口向下， 所以当时，； 当时， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 因为， 所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200. 15．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. (1)证明：为奇函数. (2)证明：在上是减函数. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【详解】（1）令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； （2）设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； （3）因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因为在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围； (3)设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）由幂函数的定义及单调性得出的值； （2）根据的单调性解不等式即可； （3）利用基本不等式求解. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得或． 当时，，当时，，不符合题意； 当时，，当时，，符合题意． ∴． （2），即， ∵函数在R上单调递增， ∴，解得． ∴a的取值范围为． （3），则，， ∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最大值为2． 17．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 18．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案、证明见解析； (2). 【分析】（1）由题设、列方程求参数值，并验证是否满足题设，再应用函数单调性定义及奇函数的对称性判断证明函数的单调性； （2）令，结合对勾函数、二次函数的性质求在上的最值，再将问题化为求参数范围. 【详解】（1）由函数为奇函数，且，可得， 则，解得，可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 19．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①对任意,都有； ②对任意且，都有. 请解答下列问题： (1)求的值； (2)判断的奇偶性及在定义域内的单调性并证明； (3)证明：对任意正整数，. 提示：①.；②.. 【答案】(1) (2)奇函数，在上单调递减，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据赋值法令，可求得； （2）通过赋值令，可得是奇函数，可得，再结合条件即可证明单调性； （3）根据题目中提示将化简为，再消项求和，根据单调性判断，得证. 【详解】（1）令得：； （2）令得：， 是奇函数，在上单调递减. 下面证明：任取且， ，，且，则 而，则， 在上单调递减； （3） 由、知在单调递减，， 当时，，，则 得证. 【点睛】利用定义证明抽象函数的单调性时，注意根据题目条件适当转发去判断： ①与的大小； ②与的大小关系（恒成立或恒成立）. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$