第13章 三角形角度问题（倒角模型）讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统构建了三角形角度问题的知识体系，梳理了三角形内角和定理及推论、多边形内外角和公式，重点呈现8字、A字、飞镖、鹰爪、角平分线五大倒角模型，清晰揭示各知识点的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于题型演练的分层设计，如8字模型例题结合三角板放置情境，引导学生运用模型意识解决角度计算问题，培养几何直观与推理能力。每个题型配有基础练习、变式拓展及巩固练习，满足不同层次学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

目录 第1讲：三角形角度问题 1 【知识梳理】 1 知识点1：三角形内角和定理及推论 1 知识点2：倒角模型 1 （1）8字模型 1 （2）A字模型 1 （3）飞镖模型 2 （4）鹰爪模型 2 （5）角平分线 2 【题型演练】 3 【题型一：三角形内角和与多边形内角和】 3 【题型二：三角形外角问题】 8 【题型三：8字模型】 12 【题型四：A字模型】 15 【题型五：飞镖模型】 17 【题型六：鹰爪模型】 20 【题型七：角平分线模型】 22 【巩固练习】 27 第1讲：三角形角度问题 【知识梳理】 知识点1：三角形内角和定理及推论 定理：三角形内角和等于180° 推论：三角形的三个外角和等于360° 【拓展】 多边形内角和公式：n边形的内角和=（n-2）*180° 多边形外角和度数：360° 知识点2：倒角模型 （1）8字模型 ①如图1， ②如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则2∠P=∠B+∠D 图1 图2 （2）A字模型 如图3，4；在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 则：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 图3 图4 （3）飞镖模型 如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C） 如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 图1 图2 （4）鹰爪模型 如图，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2 （5）角平分线 两内角平分线的夹角模型：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 一个内角一个外角平分线的夹角模型：如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 两外角平分线的夹角模型：如图3，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 图1 图2 图3 【题型演练】 【题型一：三角形内角和与多边形内角和】 【例题1】如图，在三角形中，，是上一点，且，，，则的度数为_________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键．本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量代换得到，然后即可求解 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【练习1-1】如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理的应用，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据三线合一得出，根据等边对等角得出，从而可得，由此可求得，根据等边对等角得出，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【练习1-2】如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义；根据三角形内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求出的度数，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ． 故选：D． 【变式拓展】如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角．根据折叠的性质可得，再由三角形内角和定理以及外角的性质，即可求解． 【详解】解：结论：，理由如下： 如图，补全折叠前的图形， ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∴； 故选B． 【例题2】正五边形和正方形按如图所示摆放，连接，则_____． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】根据正多边形的性质和正方形的性质得出，，最后再由等边对等角并结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴． 【练习2-1】如图，在正六边形中，连接对角线，则________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题 【详解】解：正边形内角和， 正六边形内角和为， 正六边形六个内角都相等，六条边都相等， ，， ． 【练习2-2】如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、正多边形的内角问题、正多边形的外角问题 【分析】求出正五边形和正六边形的一个内角的度数和一个外角的度数，根据三角形的内角和定理以及周角的定义，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴. 【题型二：三角形外角问题】 【例题3】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”就能三等分角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再利用三角形外角性质求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【练习3-1】如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理及其外角性质．根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ，，， ， 将沿对折，使点落在△外的点处， ， ， ， 故选：A． 【练习3-2】如图，将沿（点在边上）所在直线翻折，翻折后的对应边交于点，又将沿所在直线翻折，翻折后点的对应点恰好落在上，若，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．根据折叠得出，，，，根据三角形外角性质得出，设，则，，根据三角形内角和定理得出，解方程即可． 【详解】解：根据折叠可知：，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 【变式拓展1】如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【详解】解：如图，， ∵， ∴. 【变式拓展2】如图，是一个六角星，其中，与交于点O，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】设交于点L，交于点H，由，，得，同理得，所以，因为，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查三角形外角的性质，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 【详解】解：设交于点L，交于点H， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 【题型三：8字模型】 【例题4】将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．设交于点H，由，且，，，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵，且， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【练习4-1】在可调躺椅示意图中，与的交点为，若，，，，为舒适需要调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为_____． 【答案】/38度 【知识点】求一个角的补角、对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，对顶角相等，补角定义， 延长交于点G，先根据补角定义求出，再根据三角形内角和定理及对顶角相等得，即可求出，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点G， ∵， ∴． ∵，且， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【练习4-2】如图，在中，平分，为延长线上一点，于点．已知，求和的度数． 【答案】， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，利用三角形内角和定理求的度数即可；利用角平分线的定义得的度数，利用外角的性质得的度数． 【详解】解：由三角形内角和定理得：， ∵平分， ∴， ∵于E， ∴， ∵， 又， ∴． 【题型四：A字模型】 【例题5】在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是_______ 【答案】/230度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【练习5-1】如图，若，则的度数为___________． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【练习5-2】如图，在三角形纸片中剪去一个三角形得到四边形，且．纸片中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】先在四边形中，运用四边形内角和为，求出，再在中，根据三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】解：∵在四边形中， ， 又∵， ∴， ∵在中， ， ∴． 【题型五：飞镖模型】 【例题6】如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查外角的性质，解决此题的关键是正确的作出辅助线；运用两次外角即可得到答案； 【详解】解：如图，连接延长至点， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【练习6-1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果，那么_____．    【答案】70 【分析】延长、，交于点G，连接，根据三角形内角和定理和四边形的内角和为即可求解． 【详解】解：延长、，交于点G，连接，如图，    ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：70． 【练习6-2】如图，是锐角的高，且相交于点P．若，求的度数． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形高的定义，根据三角形内角和定理可得的结果，由三角形高的定义和直角三角形两锐角互余可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴； ∵是锐角的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【练习6-3】如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 【答案】. 【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出 【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得， ① ② 是的平分线，是的平分线 ，． ①-②得，． 【题型六：鹰爪模型】 【例题7】如图，在三角形纸片中，D，E分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】根据折叠对应角相等，结合条件得出、的度数，再利用三角形内角和求出的度数． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【练习7-1】如图，取一张三角形纸片，记为，在边上各任取一点，将纸片沿折叠，使点落在的另一侧，落点为，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由三角形内角和定理先求出，再求出，由折叠得到，则由即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 【练习7-2】如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由可得，结合角平分线的定义可推出，进而得到，由折叠可得，推出，最后根据即可求解． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ， 由折叠可得， ， 故选：C． 【题型七：角平分线模型】 【例题8-1】如图，在中，是和的平分线的交点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查角平分线的定义及三角形的内角和，熟练掌握角平分线的定义及三角形的内角和是解题的关键．根据题意易得，，然后根据三角形内角和可求解． 【详解】解：是和的平分线的交点， ，， ， ， ，， ， ， 故选：D． 【例题8-2】如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，涉及了三角形的外角的定义及性质，由题意得：，求出，推，进而得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【练习8-1】如图，的两个外角平分线和相交于点，连接，若，则_____． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的角平分线的性质，三角形的外角的性质，根据题意得出，，进而根据三角形的外角的性质得出，即可求解．． 【详解】解：∵的两个外角平分线和相交于点， ∴， ∴ 故答案为：． 【练习8-2】如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则_______． 【答案】/80度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的判定定理 【分析】本题考查的知识点是角平分线的判定定理和定义，三角形的内角和定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 先由点在内部，且到三边的距离相等得出点是的内心，再由三角形的内角和定理可得和的度数和，再三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：点在内部且到三边的距离相等， 点是的内心， 即、分别是和的角平分线， 设，，则，， 在中，， ， ， 在中，， 即， ． 故答案为：． 【练习8-3】如图，点B，C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，若，的大小为（   ） A． B． C． D．随点B、C的移动而变化 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，设，则，由角平分线的定义推出，，再由三角形内角和定理推出，则可得到，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式拓展】如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则（   ）度．    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图：    ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图：    同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故选：A． 【巩固练习】 1. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 2. 如图，从家用双面人字梯抽象出四边形，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】作射线，根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，作射线， ∵，，而， ∴ ． 3．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（    ） A．70°． B．60° C．55° D．40° 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理；由可得，再由折叠的性质可得，然后根据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，大正六边形是由一个小正六边形，六个正三角形，六个等腰三角形镶嵌而成．的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、正多边形的内角问题 【分析】根据正六边形的性质可知其内角为且邻边相等，在中利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解： 多边形是正六边形 ， 在中， 是等腰三角形 故选：A． 5. 如图，在中，、分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点E，若，则_______． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质得出，然后再利用三角形的外角定理进行求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，中，，则、满足的数量关系是_____． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，结合，即可证出，根据全等三角形的性质可得出，再根据三角形内角和定理及平角等于，即可得出，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，中，为的角平分线，为的高，，，求的度数 ． 【答案】 【知识点】对顶角相等、与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据，得，根据为的角平分线得，根据为的高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是边上的高线， ∴． ∴． 9．如图，在中，，垂足为，是的角平分线．若，．求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的定义，利用三角形外角性质和角平分线定义推导角度关系是解题的关键． 先通过直角三角形求出，进而得到，再由三角形内角和算，结合角平分线定义得到，最后利用三角形外角性质求出． 【详解】解：∵，垂足为， ∴ ，     又∵， ∴ ， ∴ ， ∴，      又∵是的角平分线， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $目录 第1讲：三角形角度问题， 1 【知识梳理】1 知识点1：三角形内角和定理及推论， 1 知识点2：倒角模型.1 (1)8字模型 ..1 (2)A字模型… 1 (3)飞镖模型 2 (4)鹰爪模型… 2 (5)角平分线… .2 【题型演练】 .3 【题型一：三角形内角和与多边形内角和】 .3 【题型二：三角形外角问题】 .4 【题型三：8字模型】… .6 【题型四：A字模型】 … .6 【题型五：飞镖模型】 …………………7 【题型六：鹰爪模型】。 .8 【题型七：角平分线模型】 .9 【巩固练习】… 11 第1讲：三角形角度问题 【知识梳理】 知识点1：三角形内角和定理及推论 定理：三角形内角和等于180° 推论：三角形的三个外角和等于360° 【拓展】 多边形内角和公式：n边形的内角和=(n-2)180° 多边形外角和度数：360 知识点2：倒角模型 （1)8字模型 ①如图1，∠A+∠B=∠C+∠D ②如图2，线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD,则2∠P=∠B+∠D y B 图1 图2 (2)A字模型 如图3,4；在△4BC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角： 则：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4∠D+∠E B 图3 图4 (3)飞镖棋型 如图1，BO平分∠ABC,OD平分∠ADC;结论：∠O=2(∠A+∠C) 如图2，AO平分∠DAB,CO平分∠BCD:结论：∠O=2(∠D-∠B)。 0 图1 图2 (4)鹰爪模型 如图，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论： 2∠C-=∠1+∠2 (5)角平分线 两内角平分线的夹角模型：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于 ∠P=90°+ 点P;结论： 一个内角一个外角平分线的夹角模型：如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分 ∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P: 结论：P 两外角平分线的夹角模型：如图3，在△ABC中，BO,CO是△ABC的外角平分线；结 ∠D=©O。一二4 图1 图2 图3 【题型演练】 【题型一：三角形内角和与多边形内角和】 【例题1】如图，在三角形ABC中，∠B=∠C,D是BC上一点，且FD⊥BC,DE⊥AB ,∠AFD=140°，则∠EDF的度数为 D 【练习1-1】如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，且BD=BE,若 ∠ADE=20°，则∠C的度数为() D A.35° B.50° C.40° D.45° 【练习1-2】如图，在△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是 ∠BAC的平分线，则∠DAE的度数是() 3 B DE A.20° B.250 C.35° D.10° 【变式拓展】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A 与∠I和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是 () B E A.∠A=∠1-∠2 B.2∠A=∠1-∠2 C.3∠A=2∠1-∠2 D. 3∠A=2(∠1-∠2) 【例题2】正五边形ABCDE和正方形CDFG按如图所示摆放，连接BG,则∠CBG= B G E 【练习2-1】如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AE,则∠FEA= C 4 【练习2-2】如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线1上，且0为它们的公 共顶点，则∠AOB的度数为() B A.72° B.80° C.84° D.94° 【题型二：三角形外角问题】 【例题3】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的 “三等分角仪”就能三等分角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OAOB组成，两根棒在 O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动，若 ∠CDE=8O°，则∠BDE的度数是()· E -B D A.60° B.65 C.75° D.80° 【练习3-1】如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将∠C沿DE对折，使点 C落在△ABC外的点C处，若∠1=30°，则∠2的度数为() )2 A.110° B.120° C.125° D.130° 【练习3-2】如图，将△ABC沿BE(点E在边AC上)所在直线翻折，翻折后AB的对应边 AB交AC于点D,又将△BCD沿BA所在直线翻折，翻折后点C的对应点C'恰好落在BE 上，若∠C=79°，∠C"DE=32°，则原三角形中∠A的度数为() A E D C A.16° B.18 C.20° D.22° 【变式拓展1】如图，在五角星ABCDE中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=() A.120° B.150° C.180° D.360° 【变式拓展2】如图，是一个六角星ABCDEF,其中∠AOE=80°，AD与BE交于点O, 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是() A.240° B.160 C.100° D.80° 【题型三：8字模型】 【例题4】将一副三角板按如图所示的方式放置.∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°， ∠D=30°，F为DE与BC的交点.若∠DAB=30°，则∠DFB=一. 【练习4-1】在可调躺椅示意图中，AE与BD的交点为C,若∠CAB=60°，∠CBA=68 ,∠CDF=20°，∠CEF=30°，为舒适需要调整∠D的大小，使∠EFD=120°，且∠CBA 、∠CAB、∠E保持不变，则LD应调整为 6 y B 【练习4-2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为AD延长线上一点，PE⊥BC于点 .已知 ∠C=80,∠B=240,求∠CD和P的度数. ,求 【题型四：A字模型】 【例题5】在如图所示的三角形纸片ABC中剪去△CDE得到四边形ABDE,若∠C=50°， 则∠1+∠2的度数是 E D 【练习51】如图，若∠1+∠2+∠3+∠4=260°，则∠A的度数为 0 1 2 【练习5-2】如图，在三角形纸片ABC中剪去一个三角形得到四边形ABDE,且 ∠1+∠2=230°.纸片中∠C的度数为() > A.50° B.60° C.70° D.80° 【题型五：飞镖模型】 【例题6】如图，∠B=30,∠D=40,∠B4D=140°，则∠C的度数为() A B A.80° B.70 C.60° D.50° 【练习6-1】在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果 ∠A=52°∠B=25°，C=0°，D=35°，E=22°，那么∠F=°. 【练习6-2】如图，CD,BE是锐角△ABC的高，且CD,BE相交于点P.若∠A=52°，求 ∠PBC+LPCB的度数. D 8 【练习6-3】如图，BG是∠ABD的平分线，CH是∠ACD的平分线，BG与CH交于点O ,若∠BDC=150°，∠B0C=110°，求∠A的度数. 【题型六：鹰爪模型】 【例题7】如图，在三角形纸片ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，将三角形纸片 沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC,∠BDF=70°，则∠A的度数为 () A.70° B.65° C.80 D.75° 【练习7-1】如图，取一张三角形纸片，记为△ABC,在边AB,AC上各任取一点E,F,将 纸片沿F折叠，使点4落在BF的另一侧，落点为，若B=60∠C=70 ,则 ∠AEB+∠AFC= B E 7A1 F A.50° B.60° C.70° D.100° 【练习7-2】如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，且A'B平分∠ABC, 'C平分∠ACB,若∠BA'C=115°，则∠I+∠2的度数为() B A C A.80° B.90° C.100° D.110° 【题型七：角平分线模型】 【例题8-1】如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点.若∠P=2∠A,则 ∠A=() P B A.30° B.40° C.50° D.60° 【例题8-2】如图，△ABC的两外角∠BCD,∠CBE的平分线交于点P,∠A=60°.则 ∠CPB= D B E A.60° B.65° C.50° D.55 【练习8-1】如图，△ABC的两个外角平分线AP和CP相交于点P,连接BP,若 ∠BAC=80°，则∠BPC= D B 【练习8-2】如图，在△ABC中，∠ADC=130°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相 10 等，则∠B= 【练习8-3】如图，点B,C是射线AM,AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线 所在直线相交于点D,若∠BAC=120°，∠BDC的大小为() M N A.40° B.50° C.60° D.随点B、C的移动而变化 【变式拓展】如图，在△MBC中，A.B B6分别是内角∠CMB、外角∠CBD的三等分线， 且∠EMD-写<CMB,∠EBD-兮∠CBD,在AMBE中，A6,B5,分别是内角∠BB, 外角∠EBD的三等分线.且∠B,AD=写BAB,∠E,BD=了∠EBD,,以此规律作下 去.若C=m.则人 D 1 3 1 A. B. 3m-Tm C. 30m D. 11 【巩固练习】 1.如图，在△ABC中，AC=BC,D,E,F分别是AB,AC,BC上的点，且 AE=BD,AD=BF,若∠EDF=42°，则∠C的度数是() E A.44° B.66° C.96° D.92 2.如图，从家用双面人字梯抽象出四边形ABCD,∠ADC=∠DAB=∠DCB=3S°，则 ∠ABC的大小为() D 抽缘， A.709 B.90° C.105° D.140° 3.如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠I+∠2=I10,则∠A的度数 等于() A.70°」 B.60 C.55 D.40° 4.如图，大正六边形ABCDEF是由一个小正六边形，六个正三角形，六个等腰三角形镶 嵌而成.∠ABF的度数为() 12 A.30° B.45o C.60° D.75o 5.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC,∠ACB,交于O,CE为外角∠ACD的 平分线，BO的延长线交CE于点E,若LBOC=110°，则∠2=」 A 1 E 0 B C 6.如图，△ABC中，AB=AC,BD=CF,BE=CD,∠A=a,∠EDF=B,则a、P满足的数 量关系是 A E F D 7.如图，△MBC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°， ∠ABC=48°，求∠3的度数· E 3 B 13 8.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是∠ACB的平分线，若∠B=42°， ∠AEC=75°，求∠CAD的度数. E B D 9.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,BE是△ABC的角平分线.若∠BAD=4O°， ∠C=80°.求∠AEB的度数. E B 14