3.1.2函数的表示法(二)同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 函数的表示法(二)同步练分基础全面练（10题）和综合应用练（5题），梯度从概念理解到综合应用，强化分段函数与实际问题建模，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础全面练|函数图象、分段函数求值、定义域值域、简单实际应用|选择（含多选）、填空、解答题结合，注重概念辨析与基本运算，如绝对值函数图象识别、水费计费模型| |综合应用练|符号函数、新定义运算、分段函数综合求解、利润最大化问题|引入符号函数与自定义运算，强化分类讨论与数学建模，如旅行社利润问题提升应用意识|

　函数的表示法(二) (时间:45分钟　分值:90分) 【基础全面练】 1.(5分)函数f(x)=|x-1|的图象是 (　　) 2.(5分)(2026·资阳高一检测)已知函数f(x)=,则f[f(-2)]= (　　) A.　 B.-1　 C.　 D.1 3.(5分)某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水量为 (　　) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 4.(5分)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f(f())= (　　) A.-　 B.　 C.-　 D. 5.(5分)(多选)设函数f(x)=,若f(a)=4,则实数a的值可以为 (　　) A.-4 B.2 C.4 D.-2 6.(5分)(多选)(2026·淮安高一检测)函数f(x)=称为狄利克雷函数,关于f(x)的下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R C.∀x∈R,f(f(x))=1 D.任意的x∈R,则有f(x+π)=f(x)恒成立 7.(5分)函数f(x)=的定义域为　　,值域为　　.  8.(5分)函数f(x)=.若f(x0)=8,则x0=　　.  9.(5分)某商品的单价为5 000元,若一次性购买超过5件,但不超过10件时,每件优惠500元;若一次性购买超过10件,则每件优惠1 000元.某单位购买x件(x∈N*,x≤15),设总购买费用是f(x)元,则f(x)的解析式是　　.  10.(10分)(2026·东莞高一检测)已知函数f(x)的解析式为f(x)=. (1)画出这个函数的图象,并写出f(x)的最大值; (2)解不等式f(x)<2. 【综合应用练】 11.(5分)设x∈R,定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x的图象大致是 (　　) 12.(5分)已知f(x)=,则f(f(3))= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 13.(5分)若定义运算a☉b=,则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是　　.  14.(10分)(2025·遂宁高一检测)已知函数f(x)=. (1)求f(-),f(f(-))的值; (2)若f(a)=3,求实数a的值; (3)若f(m)>m,求实数m的取值范围. 15.(10分)五一劳动节期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 　答案解析 【基础全面练】 1.(5分)函数f(x)=|x-1|的图象是 (　　) 【解析】选B.由题得f(x)=,B正确. 2.(5分)(2026·资阳高一检测)已知函数f(x)=,则f[f(-2)]= (　　) A.　 B.-1　 C.　 D.1 【解析】选A.因为函数f(x)=,则f[f(-2)]=f[(-2)2+1]=f(5)=. 3.(5分)某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水量为 (　　) A.13立方米 B.14立方米 C.18立方米 D.26立方米 【解析】选A.该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y=,由y=16m,可知x>10.令2mx-10m=16m,解得x=13. 4.(5分)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则f(f())= (　　) A.-　 B.　 C.-　 D. 【解析】选B.由题图可知,函数f(x)的解析式为f(x)= 所以f()=-1=-,所以f(f())=f(-)=-+1=. 5.(5分)(多选)设函数f(x)=,若f(a)=4,则实数a的值可以为 (　　) A.-4 B.2 C.4 D.-2 【解析】选AB.由或,得a=-4或a=2. 6.(5分)(多选)(2026·淮安高一检测)函数f(x)=称为狄利克雷函数,关于f(x)的下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的值域为[0,1] B.f(x)的定义域为R C.∀x∈R,f(f(x))=1 D.任意的x∈R,则有f(x+π)=f(x)恒成立 【解析】选BC.因为函数f(x)=, 所以f(x)只有两个函数值,所以f(x)的值域为,选项A错误; 函数f(x)的定义域为两段的并集, 即全体有理数集并上全体无理数集为全体实数,所以f(x)的定义域为R,选项B正确; ∀x∈R,f(x)的值为0或1都是有理数,所以f(f(x))=1,选项C正确; 任意x∈Q,则x+π是无理数,所以f(x)=1,f(x+π)=0,此时f(x+π)≠f(x),选项D错误. 7.(5分)函数f(x)=的定义域为　(-1,1)　,值域为　(-1,1)　.  【解析】定义域为各段定义域的并集,即(0,1)∪{0}∪(-1,0)=(-1,1).值域为各段值域的并集,即(0,1)∪{0}∪(-1,0)=(-1,1). 8.(5分)函数f(x)=.若f(x0)=8,则x0=　-或10　.  【解析】当x0≤2时,f(x0)=+2=8,即=6,所以x0=-或x0=(舍去). 当x0>2时,f(x0)=x0=8,所以x0=10. 综上,x0=-或x0=10. 9.(5分)某商品的单价为5 000元,若一次性购买超过5件,但不超过10件时,每件优惠500元;若一次性购买超过10件,则每件优惠1 000元.某单位购买x件(x∈N*,x≤15),设总购买费用是f(x)元,则f(x)的解析式是　f(x)=　.  【解析】当x≤5,x∈N*时,f(x)=5 000x; 当5<x≤10,x∈N*时,f(x)=(5 000-500)x=4 500x; 当10<x≤15,x∈N*时,f(x)=(5 000-1 000)x=4 000x. 10.(10分)(2026·东莞高一检测)已知函数f(x)的解析式为f(x)=. (1)画出这个函数的图象,并写出f(x)的最大值; 【解析】(1)根据分段函数f(x)=的解析式,画出函数的图象如图: 由图可得,当x=2时,f(x)取得最大值4. (2)解不等式f(x)<2. 【解析】(2)当x≤-1时,x+2≤1,所以f(x)<2恒成立; 当-1<x≤2时,x2<2⇔-<x<,所以-1<x<; 当x>2时,-x+6<2⇒x>4,所以x>4. 综上可知,x<或x>4, 所以不等式的解集为. 【综合应用练】 11.(5分)设x∈R,定义符号函数sgn x=则函数f(x)=|x|sgn x的图象大致是 (　　) 【解析】选C.由题意知f(x)=则f(x)的图象为C中图象所示. 12.(5分)已知f(x)=,则f(f(3))= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选A.由题意,函数f(x)=,可得f(3)=f(5)=f(7)=7-5=2, 所以f(f(3))=f(2)=f(4)=f(6)=6-5=1. 13.(5分)若定义运算a☉b=,则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是　(-∞,1]　.  【解析】根据题意可知,当x≥2-x,即x≥1时,f(x)=2-x;当x<1时,f(x)=x; 即可得f(x)=. 画出函数f(x)的图象如图所示, 由图象得函数的值域是(-∞,1]. 14.(10分)(2025·遂宁高一检测)已知函数f(x)=. (1)求f(-),f(f(-))的值; 【解析】(1)依题意,f(-)=(-)2+2×(-)=3-2,而f(-)=-+1=-, 所以f(f(-))=f(-)=(-)2+2×(-)=-3=-. (2)若f(a)=3,求实数a的值; 【解析】(2)当a≤-2时,f(a)=a+1=3,解得a=2,不符合题意; 当-2<a<2时,f(a)=a2+2a=3,即a2+2a-3=0,而-2<a<2,则a=1; 当a≥2时,f(a)=2a-2=3,解得a=,符合题意, 所以当f(a)=3时,a=1或a=. (3)若f(m)>m,求实数m的取值范围. 【解析】(3)由f(m)>m,得或或, 解得m≤-2或-2<m<-1或0<m<2或m>2, 所以实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(0,2)∪(2,+∞). 15.(10分)五一劳动节期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数; 【解析】(1)设每团人数为x, 由题意得0<x≤75(x∈N*),飞机票价格为y元,则y=, 即y=. (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 【解析】(2)设旅行社获利S元,则S=, 即S=. 因为S=900x-15 000在区间(0,30]上越来越大,故当x=30时,S取得最大值,最大值为12 000. 又S=-10(x-60)2+21 000,x∈(30,75], 所以当x=60时,S取得最大值,最大值为21 000. 综上,当每团人数为60时,旅行社可获得最大利润. 学科网（北京）股份有限公司 $