21.2.2.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象和性质，通过跳绳运动员绳子圆弧曲线的情境导入，回顾顶点式\(y=a(x+h)^2+k\)的性质，再经配方推导一般式的对称轴、顶点坐标，构建从具体到抽象的知识支架。 其亮点在于以现实情境激发探究欲，通过梯度练习（选择、填空、解答）和典型例题，培养学生的抽象能力、运算能力与推理意识。课堂小结系统归纳配方、图象、性质等要点，帮助学生形成知识体系，教师可借此提升教学效率，学生能深化对二次函数的理解与应用。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 二次函数与反比例函数 21.2.2.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 2026年8月6日 沪科版九年级上册21.2.2.3二次函数y=a(x+h)²+k的图象和性质同步练习题 本次练习聚焦二次函数顶点式\(y=a(x+h)^2+k\)的全部核心考点，综合考查抛物线上下、左右平移规律、图象开口方向、对称轴、顶点坐标、函数增减性与最值，整合前两节平移知识，是二次函数图象性质的综合提升内容。题型梯度合理、重难点突出，贴合课本教学要求，适用于课后同步巩固、单元基础检测与知识点复盘。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 二次函数\(y=2(x-1)^2+3\)的图象顶点坐标是（ ） A. \((1,3)\) B. \((-1,3)\) C. \((1,-3)\) D. \((-1,-3)\) 2. 抛物线\(y=-3(x+2)^2-1\)是由抛物线\(y=-3x^2\)经过怎样的平移得到的（ ） A. 左移2个单位、上移1个单位 B. 左移2个单位、下移1个单位 C. 右移2个单位、上移1个单位 D. 右移2个单位、下移1个单位 3. 关于二次函数\(y=4(x-3)^2+2\)，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线\(x=-3\) B. 开口向下 C. 最小值为2 D. 最大值为2 4. 已知抛物线\(y=(m-1)(x+2)^2+5\)开口向下，则\(m\)的取值范围是（ ） A. \(m>1\) B. \(m<1\) C. \(m\geq1\) D. \(m\leq1\) 5. 对于抛物线\(y=-(x-4)^2+5\)，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是直线\(x=4\) B. 最高点坐标为\((4,5)\) C. 当\(x>4\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小 D. 最小值为5 6. 已知点\(A(2,y_1)\)、\(B(5,y_2)\)在抛物线\(y=2(x-3)^2+1\)上，则\(y_1\)、\(y_2\)的大小关系是（ ） A. \(y_1>y_2\) B. \(y_1<y_2\) C. \(y_1=y_2\) D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 二次函数顶点式\(y=a(x+h)^2+k\)的对称轴为__________，顶点坐标为__________。 8. 抛物线\(y=5(x-3)^2+2\)可由抛物线\(y=5x^2\)向____平移3个单位，再向____平移2个单位得到。 9. 二次函数\(y=-2(x+1)^2+4\)，开口__________，函数最__________值为__________。 10. 已知抛物线\(y=a(x-2)^2+1\)经过点\((3,5)\)，则\(a=\)__________。 11. 对于二次函数\(y=\frac{1}{2}(x+4)^2-3\)，当\(x\)__________时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。 12. 若抛物线\(y=(m+4)(x-1)^2-2\)开口向上，则\(m\)的取值范围是__________。 三、解答题（共52分） 13.（16分）已知二次函数\(y=-3(x+1)^2+4\)，解答下列问题：（1）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）分析函数的增减性；（3）求出函数的最值；（4）说明该抛物线与\(y=-3x^2\)的平移关系。 14.（18分）已知抛物线\(y=a(x+h)^2+k\)经过点\((0,3)\)、\((1,2)\)，且顶点为\((-1,1)\)。（1）求该抛物线的函数解析式；（2）判断点\((-2,2)\)是否在该抛物线上；（3）简述函数的图象性质与变化规律。 15.（18分）已知二次函数\(y=(m^2-9)(x+2)^2+5\)，其图象开口向上。（1）求\(m\)的取值范围；（2）写出函数的对称轴、顶点坐标和最值；（3）结合自变量取值分析函数增减性。 参考答案及解析 一、选择题 1.A 解析：顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)的顶点坐标为\((h,k)\)，该函数顶点为\((1,3)\)。 2.B 解析：遵循“左加右减、上加下减”，\(x+2\)左移2个单位，常数\(-1\)下移1个单位。 3.C 解析：\(a=4>0\)开口向上，对称轴\(x=3\)，顶点处取得最小值2，无最大值。 4.B 解析：开口向下则二次项系数小于0，\(m-1<0\)，解得\(m<1\)。 5.D 解析：\(a<0\)开口向下，抛物线有最高点，函数最大值为5，无最小值。 6.C 解析：抛物线对称轴为\(x=3\)，A、B两点关于对称轴对称，函数值相等，即\(y_1=y_2\)。 二、填空题 7. 直线\(x=-h\)；\((-h,k)\) 8. 右；上 解析：\(x-3\)右移3个单位，常数\(+2\)上移2个单位。 9. 向下；大；4 解析：\(a=-2<0\)，开口向下，顶点处取得最大值4。 10. 4 解析：将\((3,5)\)代入解析式，\(a\times(3-2)^2+1=5\)，解得\(a=4\)。 11. \( <-4 \) 解析：\(a>0\)开口向上，对称轴左侧\(y\)随\(x\)增大而减小。 12. \(m>-4\) 解析：开口向上则\(m+4>0\)，解得\(m>-4\)。 三、解答题 13. 解：（1）开口向下，对称轴为直线\(x=-1\)，顶点坐标\((-1,4)\)；（2）当\(x<-1\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；当\(x>-1\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；（3）函数最大值为4，无最小值；（4）由\(y=-3x^2\)向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到。 14. 解：（1）由顶点\((-1,1)\)得\(y=a(x+1)^2+1\)，代入\((0,3)\)得\(a=2\)，解析式为\(y=2(x+1)^2+1\)；（2）\(x=-2\)时\(y=3 eq2\)，点不在抛物线上；（3）开口向上，对称轴\(x=-1\)，顶点\((-1,1)\)，最小值1，左减右增。 15. 解：（1）开口向上则\(m^2-9>0\)，解得\(m>3\)或\(m<-3\)；（2）对称轴为直线\(x=-2\)，顶点\((-2,5)\)，最小值为5；（3）\(x<-2\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；\(x>-2\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。 （字数：1212） 你目前学会了哪种函数的图象的画法呢？ 你能准确画出这条抛物线吗？ 跳绳运动员在起跳时，绳子呈圆弧状，如图所示，经研究，该圆弧状曲线可以用方程 表示， 情境导入 回顾思考 关于函数y=a(x+h)2+k的性质，你能回忆一下吗？ 提取二次项系数a 对含x的项进行配方 我们已经熟悉了二次函数y=a(x+h)2+k的图象特点，你认为怎样画函数y= –2x2–8x–7的图象较简便？ 先将这个 函数的表达式进 行配方 y= –2x2–8x–7 = –2 ( x2+4x ) –7 = –2 (x2+4x+4) –7+8 = –2(x2+2)2+1 可见，函数y= –2x2–8x–7的图象是一条开口向下的抛物线，顶点坐标是(–2，1)，对称轴是直线x= –2. 4 提取二次项系数a 对含x的项进行配方 思考 我们已经熟悉了二次函数y=a(x+h)2+k的图象特点，你认为怎样画函数y= –2x2–8x–7的图象较简便？ 先将这个 函数的表达式进 行配方 y= –2x2–8x–7 = –2 ( x2+4x ) –7 = –2 (x2+4x+4) –7+8 = –2(x+2)2+1 的图象即为所求 如何得到函数y= –2(x2+2)2+1的图象呢？你会几种方法呢？ 5 思考 通过平移y= –2x2的图象得到y=–2(x+2)2+1的图象. 抛物线二次项系数相等则图象形状相同，改变顶点位置即可 左移2个单位长度 上移1个单位长度 左移2个单位长度 上移1个单位长度 x y – 1 – 2 – 3 – 4 –5 –2 –3 3 1 O –1 2 2 1 5 4 –4 –5 – 6 – 7 –8 6 归纳 (1)二次函数的二次项系数相同时，图象可通过平移相互得到； 抛物线 相同 抛物线 上移 ， 左移 下移 ，右移 (2)平移前后，图象的大小和形状都不改变，只有位置改变. 7 思考 除了平移法，你还有别的画图方法吗？ … … … … –2 –7 –1 –1 –7 一般式 配方 　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　 顶点式 顶点坐标、对称轴 得到 列表、描点、连线 利用轴 对称性 ① 思路 ② 操作 –4 –3 –1 0 1 怎样画函数y= –2x2–8x–7的图象较简便？ x y – 1 – 2 – 3 – 4 –5 –2 –3 3 1 O –1 2 2 1 5 4 –4 –5 – 6 – 7 –8 对称选点 8 函数y= –2x2–8x–7的图象特点是怎样的？函数有哪些性质？ 图象特征 函数性质 顶点 开口方向 当x= 时， 最 值 对称轴 曲 线 趋 势 当 时， y随x的增大而增大； 当 时， y随x的增大而减小． 增 减 性 向下 在对称轴的左侧，图象从左到右 ； 在对称轴的右侧，图象从左到右 ． –2 下降 上升 y= –2x2–8x–7 一般式：y= –2x2–8x–7 顶点式： 归纳 9 思考 函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质又是怎样的呢？ 先配方， 再分类讨论 的对称轴是 ，顶点　　　　　　 10 归纳 当 时，随的增大而增大 　　 ②当 时，随的增大而减小 　　 ①开口向上，抛物线有最低点 当 时，取得最小值 　　 当 时，随的增大而减小 　　 ②当 时，随的增大而增大　　 ①开口向下，抛物线有最高点 当 时，取得最大值 　　 11 1.【知识初练】把二次函数y＝x2－8x－7化成y＝a(x－h)2＋k的形式是_______________，其对应的图象开口向_____，对称轴为直线_______，顶点坐标为______________； 当x＝______时，y取最______值，为________． 1星题 基础练 y＝(x－4)2－23 上 x＝4 (4，－23) 4 小 －23 举一反三 2．[合肥期中]二次函数y＝x2＋2x－1的图象大致是(　　) B 举一反三 3．[合肥月考]关于抛物线y＝－x2＋4x－5，下列说法错误的是(　　) A．开口向下 B．对称轴是直线x＝－2 C．顶点坐标为(2，－1) D．在对称轴左侧，y随x的增大而增大 B 举一反三 典型例题 例1 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，并说说如何得到图象？ (1) ，所以抛物线开口向上； 顶点坐标： . 对称轴： ； (1) (2) 解： 注意事项： ①函数中各项系数包含前面的符号，切不可漏掉； ②没有常数项，即c=0. 15 典型例题 ，所以抛物线开口向下； 对称轴： ； 顶点坐标： . (2) 解： 因为 ，所以开口向下； ∴对称轴：x= –1； 顶点坐标(–1，1). 技巧总结： 求函数的对称轴和顶点坐标，当容易配方时，可使用配方法求解. 例1 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，并说说如何得到图象？ (1) (2) 16 4. 【思维可视化】已知A(2，a)、B(m，b)是抛物线y＝－x2－2x＋c上不同的两点．当m＝－2时，如何比较a与b的大小？ 【思维过程】(1)分析问题：比较函数值a与b的大小→可尝试求a，b，或分析点A，B的位置关系． (2)分析条件：根据y＝－x2－2x＋c的特征，适合选用什么方法？ (3)比较大小：a________b(填“>”“<”或“＝”)． < 举一反三 【拓展设问】当a＝b时，m＝________． 【元认知·归纳】抛物线开口向上(下)，则与对称轴距离越近的点，函数值越________(　　)；距离相等的点，函数值________． －4 小 大 相等 举一反三 典型例题 例2 函数 的图象如下图，下列错误的是( ) A. B. C. D. 解析： 因为抛物线与y轴的交点在负半轴上， 所以c＜0 因为抛物线的对称轴是x=1,所以 ； 即 因为当x=3时，函数值为0，所以 D 因为a＞0，且 ， 所以b＜0 19 (1) y=2x2+8x+5 解： =2(x2+4x)+5 =2(x2+4x+4)+5–8 =2(x+2)2–3 抛物线开口向上； 对称轴：直线x= –2； 顶点坐标：(–2， –3). 1. 用配方法把下列函数的表达式化成y=a(x+h)2+k的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，然后再用描点法画出函数图象. (1) y=2x2+8x+5；(2)y= (2–x)(2x+1). … … … … –2 5 –1 –1 5 –4 –3 –1 0 –3 x y 3 2 1 4 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 6 5 5 4 –4 –5 – 2 – 3 –4 核心必知 y＝ax2＋bx＋c a>0开口向上 a<0开口向下 抛物线对称轴 直线x＝________ 抛物线顶点坐标 (________，________) 举一反三 函数增减情况 在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______ 在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而_________ 函数最大 值或最小值 最小值 最大值 当x＝______时，y取最值，为______ 减小 增大 增大 减小 举一反三 5．抛物线y＝－2x2＋8x－6. (1)用配方法求抛物线的顶点坐标及对称轴； (2)当x________时，y随x的增大而减小； (3)当2≤x≤4时，y的取值范围为____________． 解：因为y＝－2x2＋8x－6＝－2(x－2)2＋2，所以抛物线的顶点坐标为(2，2)，对称轴为直线x＝2. >2 －6≤y≤2 举一反三 6.【教材改编题】将函数y＝ x2＋x－2化成y＝a(x－h)2＋k的形式是______________，所以抛物线y＝ x2＋x－2可由抛物线y＝ x2先沿x轴向______(填“左”或“右”)平移______个单位长度，再沿y轴向______(填“上”或“下”)平移______个单位长度得到． 左 1 下 举一反三 7．将抛物线y＝3x2－6x＋7向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为______． (3，5) 举一反三 8. 【新考法】如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D都在格点上，过点P(－3，2)的抛物线y＝mx2＋2mx＋n(m<0)可能经过的点是(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D D 2星题 中档练 举一反三 9．已知点A(4，y1)，B(1，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝ax2－4ax＋2(a<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________(用“<”号连接)． y3<y1<y2 举一反三 10．[广州模拟]改编已知二次函数y＝x2－mx－3的图象的对称轴为直线x＝1. (1)m的值是________； (2)平移抛物线y＝x2－mx－3，使其顶点始终在直线y＝x－1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值是__________． 2 举一反三 性质：最值、增减性 配方：确定对称轴、顶点坐标 分a＞0、a＜0两种情况处理 图象： 对称轴： ，顶点：　　　　　　 平移法：左加右减、上加下减 描点法：与对称轴等距的x，对应的y值相等 　　　　 配方 一般式 化归 顶点式 最简式 二 次 函 数 y= ax2+bx+c的 图 象 和 性 质 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS － － － y＝(x＋1)2－ － $