21.2.2.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，课堂导入先回顾y=a(x-h)²+k的图象画法，通过“如何画y=-2x²-8x-7的图象”引导学生将一般式配方为顶点式，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接前后知识。 资料特色在于以问题引领探究，通过配方法和公式法结合几何画板直观分析，培养运算能力、推理意识与几何直观（数学思维与眼光），如探究增减性时让学生观察图象归纳规律。当堂训练含矩形窗框面积最大等实际应用，提升模型意识（数学语言），助力学生掌握数形结合，方便教师实施分层教学。

第4课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课题 第4课时　二次函数y=ax2+bx+ c的图象和性质 授课人 教 学 目 标 1.能熟练地用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象. 2.理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的有关性质. 3.通过作图、观察、比较、归纳的学习过程,使学生掌握类比、化归等数学思想方法. 4.经历二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的探究过程,体会数形结合和从特殊到一般的数学思想以及研究函数的一般思路. 5.在教学中渗透数形结合的思想,让学生在数学活动中学会与人相处,感受探索发现的喜悦. 教学 重点 　　用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标. 教学 难点 　　理解二次函数y=ax2+bx+c的性质以及它的对称轴和顶点坐标公式. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　1.一位同学在练习中用描点法画二次函数y=(x-2)2+1的图象时,画出如图21-2-28所示情形的图象,你能帮他分析一下原因吗? 图21-2-28 师生活动:出示问题情境,让学生自主思考. 2.请同学们画出二次函数y=(x-2)2+1的图象的草图. 师生活动:学生独立完成,教师强调先确定对称轴和顶点坐标,再按图象对称性进行取值,并对学生作业进行展示评价. 　　在学生解决两个问题的基础上进一步体验知识之间的联系,确定对称轴和顶点坐标对画二次函数的图象极为重要,有利于学生在最近发展区得到提升,为后面的学习做好铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:如何画二次函数y=-2x2-8x-7的图象? 教师提示: (1)形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函数,大家会画它的图象吗? (2)形式上有什么特点? (3)你能把函数y=-2x2-8x-7化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式吗? (4)描点法画出二次函数y=-2(x+2)2+1的图象,并指出它是由抛物线y=-2x2通过怎样的平移得到的. 我们可以先将这个函数的表达式配方,得y=-2x2-8x-7=-2(x2+4x+4)-7+8=-2(x+2)2+1. 可见,函数y=-2x2-8x-7的图象是一条开口向下的抛物线,顶点坐标是(-2,1),对称轴是直线x=-2. 根据图象的对称性列表: x … -2 - -1 - 0 … y=-2(x+2)2+1 … 1 -1 - -7 … 　　思考:列表时,自变量x为什么只取大于或等于-2的值? 描点、连线:根据上表数值描点,并由函数图象的对称性画出它们关于直线x=-2的对称点,用平滑曲线自左向右顺次连接各点,即得函数y=-2x2-8x-7的图象,如图21-2-29. 　　教学过程由浅入深,循序渐进,先让学生自主尝试,再由师生分析整理配方过程,既内化知识,又突出重点,体现了学生学习的探究性和学生的主体地位. 图21-2-29 　　师生活动:给予学生充分的时间和空间,让学生尝试配方,教师强调配方法的同时进行板书过程. 活动 二: 探究 与 应用 1.二次函数y=-2x2-8x-7的图象特点总结 学生根据表达式说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,教师利用几何画板来引导,由学生交流、讨论,归纳出二次函数的增减性. 总结:抛物线的开口向下,对称轴是直线x=-2,顶点坐标是(-2,1).当x<-2时,y随x的增大而增大;当x>-2时,y随x的增大而减小. 练习:结合图象,说出抛物线y=2(x+3)2-1的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性. 师生活动:学生口答,教师点评. 2.概括新知、加深理解 求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标. y=ax2+bx+c=ax2+x+c=ax+2+. 师生活动:教师利用多媒体展示详细求解过程,学生解析过程步骤及做法,得到公式. 教师板书: 函数y=ax2+bx+c a>0 a<0 函数图象 图象 特点 抛物线开口方向 抛物线的开口向　  抛物线的开口向　  抛物线顶点坐标 顶点坐标是(　　,　　)  顶点坐标是(　　,　　)  抛物线对称轴 对称轴是直线x=　　　  对称轴是直线x=　　　  函 数 性 质 函数增减情况 当x>-时,y随x的增大而　　　　;  当x<-时,y随x的增大而　　　　  当x>-时,y随x的增大而　　　　;  当x<-时,y随x的增大而　　　　  函数最大值或最小值 当x=-时,y取得最小值,y最小值=　　　  当x=-时,y取得最大值,y最大值=　 　  　　1.体现教师主导、学生主体的合作学习关系,利用函数图象的直观性说出函数的性质,体现数形结合的思想. 2.设计小练习让学生在对比中学习,加深对二次函数性质的理解. 3.教师为节省时间总结二次函数的对称轴和顶点公式,体现了从特殊到一般的研究思路. 【应用举例】 例1　在平面直角坐标系中,画出二次函数y=x2-4x+3的图象. x … 　  　  　  　  　  … y … 　  　  　  　  　  … 图21-2-30 [答案:略] 例2　求下列抛物线的对称轴和顶点坐标: (1)y=-3x2+12x-3;(2)y=2x2-3x-5. [答案:(1)对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,9)　(2)对称轴为直线x=,顶点坐标为(,-)] 让学生独立完成,互相评价,学生可以用配方法或公式法来解决问题,教师做好练习的检查和展示,并进行鼓励性评价. 　　让学生加深对配方法和公式法的理解和运用及与其他知识相联系的综合应用,培养学生思维的灵活性、开放性,并让学生感受到解决问题的多样化. 【拓展提升】 例3　(1)已知二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),求b和c的值. [答案:b=-4,c=0] (2)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是 (C) 图21-2-31 给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,对学习有困难的学生适当引导、点拨. 　　对抛物线的顶点坐标、二次函数与一次函数图象综合的提升练习,加强学生对函数表达式中的字母系数与图象关系的认识,进一步体会数形结合思想. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.若二次函数y=ax2-4x-6的图象的顶点的横坐标是-2,则a=　-1　.  2.抛物线y=x2+3x+是由抛物线y=x2先向　左　平移　3　个单位长度,再向　下　平移　2　个单位长度得到的.  3.已知二次函数y=x2+6x+10,用配方法把它写成y=a(x-h)2+k的形式,说出其图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,画出草图说明增减性. [答案:y=(x+6)2-8,其图象的开口方向向上,对称轴为直线x=-6,顶点坐标为(-6,-8),画草图略,当x<-6时,y随x的增大而减小,当x>-6时,y随x的增大而增大] 4.已知抛物线y=x2-4x+h的顶点A在直线y=-4x+1上,求抛物线的顶点坐标. [答案:(2,-7)] 图21-2-32 5.用6 m长的铝合金型材料做一个形状如图21-2-32所示的矩形窗框,做成高、宽各为多少米时,才能使做出的矩形窗框的透光面积最大? 解:设做成的窗框的宽为x m, 则高为 m, 得矩形窗框的透光面积S=x·=-x2+3x=-(x-1)2+(0<x<2), 故当x=1 m时,透光面积最大为 m2, 所以矩形窗框的高、宽分别为 m,1 m时,窗框的透光面积最大. 学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【课堂总结】 谈一谈你在本节课中有哪些收获,有哪些进步,还有哪些困惑. 教师鼓励学生自己列出表格,指导学生比较5个函数图象之间的区别和联系. 　　课堂总结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在教学过程中,主要采用问题引领、小组学习的教学模式,关注每一位学生,鼓励学生自主学习、合作交流,锻炼各方面的能力. ②[讲授效果反思] 引导学生注意以下几点:(1)一般式化为顶点式的步骤及方法;(2)熟记一般式的对称轴和顶点坐标公式. ③[师生互动反思] 从教学过程来看,教师与学生一起学习新知,有张有弛地进行课堂调控,及时鼓励学生,增强学生的自信心和学习兴趣. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $