21.2.2.1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 课件 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+k\)的图象和性质，课堂导入先回顾\(y=ax^2\)的性质，通过列表、描点、连线绘制\(y=2x^2\)等函数图象，观察比较建立新旧知识联系，形成学习支架。 其亮点在于通过观察图象培养几何直观（数学眼光），对比平移规律发展推理意识（数学思维），用表格归纳性质提升模型意识（数学语言）。题型梯度分明，典型例题与举一反三结合，帮助学生巩固基础，教师可利用完整流程提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学九年级上册教学课件 第21章 二次函数与反比例函数 21.2.2.1 二次函数y=ax²+k的图象和性质 2026年8月6日 沪科版九年级上册21.2.2.1二次函数y=ax²+k的图象和性质同步练习题 本次练习聚焦二次函数\(y=ax^2+k\)的核心考点，重点考查抛物线平移规律、图象开口方向、顶点坐标、对称轴、函数增减性与最值，同时对比\(y=ax^2\)与\(y=ax^2+k\)的图象关联，题型梯度分明，贴合教材重难点，适用于课后巩固、基础检测与知识点强化复盘。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 二次函数\(y=2x^2+3\)的图象顶点坐标是（ ） A. \((0,3)\) B. \((3,0)\) C. \((0,2)\) D. \((2,3)\) 3. 关于二次函数\(y=3x^2-2\)，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线\(x=3\) C. 当\(x=0\)时，函数有最小值\(-2\) D. 当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小 4. 已知抛物线\(y=(a-3)x^2+1\)开口向上，则\(a\)的取值 A. \(a>3\) B. \(a<3\) C. \(a\geq3\) D. \(a\leq3\) 5. 对于抛物线\(y=-x^2+4\)，下列说法错误的是（ ） A. 对称轴是\(y\)轴 B. 最高点坐标为\((0,4)\) C. 当\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大 D. 图象经过原点 6. 已知点\(A(-1,y_1)\)、\(B(2,y_2)\)在抛物线\(y=2x^2-5\)上，则\(y_1\)、\(y_2\)的大小关系是（ ） A. \(y_1>y_2\) B. \(y_1<y_2\) C. \(y_1=y_2\) D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共24分） 7. 二次函数\(y=ax^2+k\)的图象对称轴为__________，顶点坐标为__________。 8. 抛物线\(y=4x^2-6\)可由抛物线\(y=4x^2\)向__________平移__________个单位得到。 9. 二次函数\(y=-3x^2+2\)，开口__________，函数有最__________值，该值为__________。 10. 已知抛物线\(y=ax^2-3\)经过点\((2,5)\)，则\(a=\)__________。 11. 对于二次函数\(y=\frac{1}{2}x^2+1\)，当\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而__________。 12. 若抛物线\(y=(m+1)x^2+4\)开口向下，则\(m\)的取值范围是__________。 三、解答题（共52分） 13.（16分）已知二次函数\(y=-2x^2+5\)，解答下列问题：（1）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）分析函数的增减性；（3）求出函数的最值；（4）说明该抛物线与\(y=-2x^2\)的图象关系。 14.（18分）已知抛物线\(y=ax^2+k\)经过点\((1,3)\)和\((0,2)\)。（1）求该抛物线的函数解析式；（2）判断点\((-2,-6)\)是否在该抛物线上；（3）简述函数的图象性质。 15.（18分）已知二次函数\(y=(m^2-1)x^2-2\)，其图象开口向上。（1）求\(m\)的取值范围；（2）写出函数的对称轴、顶点坐标和最值；（3）分析自变量取值与函数值的变化规律。 参考答案及解析 一、选择题 1.A 解析：\(y=ax^2+k\)顶点坐标为\((0,k)\)，故此函数顶点为\((0,3)\)。 2.B 解析：\(y=ax^2+k\)中，\(k<0\)，图象由\(y=ax^2\)向下平移\(|k|\)个单位。 3.C 解析：\(a=3>0\)，开口向上，对称轴为\(y\)轴，\(x=0\)时取最小值\(-2\)，\(x>0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大。 4.A 解析：开口向上则二次项系数\(a-3>0\)，解得\(a>3\)。 5.D 解析：\(x=0\)时\(y=4\)，图象过\((0,4)\)，不过原点，其余选项均正确。 6.B 解析：代入计算，\(y_1=2\times1-5=-3\)，\(y_2=2\times4-5=3\)，故\(y_1<y_2\)。 二、填空题 7. \(y\)轴（直线\(x=0\)）；\((0,k)\) 8. 下；6 解析：依据上加下减平移规律，\(k=-6\)，向下平移6个单位。 9. 向下；大；2 解析：\(a=-3<0\)，开口向下，顶点处取最大值2。 10. 2 解析：将\((2,5)\)代入解析式，\(4a-3=5\)，解得\(a=2\)。 11. 减小 解析：\(a>0\)，对称轴左侧\(y\)随\(x\)增大而减小。 12. \(m<-1\) 解析：开口向下则\(m+1<0\)，解得\(m<-1\)。 三、解答题 13. 解：（1）开口向下，对称轴为\(y\)轴，顶点坐标\((0,5)\)；（2）当\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大；当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；（3）函数最大值为5，无最小值；（4）由抛物线\(y=-2x^2\)向上平移5个单位得到。 14. 解：（1）将\((0,2)\)代入得\(k=2\)，再代入\((1,3)\)得\(a+2=3\)，\(a=1\)，解析式为\(y=x^2+2\)；（2）\(x=-2\)时\(y=6 eq-6\)，故此点不在抛物线上；（3）开口向上，对称轴为\(y\)轴，顶点\((0,2)\)，最小值为2，左减右增。 15. 解：（1）开口向上则\(m^2-1>0\)，解得\(m>1\)或\(m<-1\)；（2）对称轴为\(y\)轴，顶点\((0,-2)\)，最小值为\(-2\)，无最大值；（3）\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小；\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)增大而增大。 （字数：1212） 这个函数的图象是如何画出来的？ x y O 回顾思考 二次函数y=ax²(a≠0)的图象和性质： 形如y＝ax2＋k的图象和性质又会怎样呢？ 思考 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=2x2、y=2x2+1和y =2x2–1的函数图象？ (1)列表； (2)描点； (3)连线. x … –2 – –1 – 0 1 2 … y=2x² … 8 2 0 2 8 … y=2x²+1 … 9 3 1 3 9 … y=2x²–1 … 7 1 – –1 – 1 7 … 解：列表. 对称选点 4 在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=2x2、y=2x2+1和y =2x2–1的函数图象？ 解：列表. 描点、连线，即得这两个函数的图象. x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 y=2x² y=2x²+1 y=2x²–1 连线的时候一定用平滑的曲线 5 观察 观察y=2x2、y=2x2+1和y =2x2–1三个函数的图象，回答下列问题： x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 y=2x² y=2x²+1 y=2x²–1 (1)这三个函数图象的开口方向如何？顶点坐标、对称轴分别是什么？ 都开口向上 对称轴都是y轴 y=2x2的顶点坐标(0，0) 开口方向 对称轴 y=2x2+1的顶点坐标(0，1) y=2x2–1的顶点坐标(0，–1) 6 观察y=2x2、y=2x2+1和y =2x2–1三个函数的图象，回答下列问题： (2)对于同一个x，这三个函数对应的y之间有什么关系？ x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 y=2x² y=2x²+1 y=2x²–1 x … –2 – –1 – 0 1 2 … y=2x² … 8 2 0 2 8 … y=2x²+1 … 9 3 1 3 9 … y=2x²–1 … 7 1 – –1 – 1 7 … +1 –1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 横坐标相等，纵坐标“+1”或“–1”，根据图形在坐标系中的平移规律可知，对应的图象应该是向上平移一个单位或向下平移一个单位. 这三个函数的图象在位置上有什么关系？ 上移1个 单位长度 下移1个 单位长度 7 观察y=2x2、y=2x2+1和y =2x2–1三个函数的图象，回答下列问题： (3)当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？ x y 4 3 2 1 –1 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 7 6 5 9 8 y=2x² y=2x²+1 y=2x²–1 求最小值也就是先找到图象上的最低点 y=2x2的最低点坐标是(0，0)，所以最小值函数是0. y=2x2+1的最低点坐标是(0，1)，所以最小函数值是1. y=2x2–1的最低点坐标是(0，–1)，所以最小函数值是–1. 试着画出y=–2x2、 y=–2x2+1和y=–2x2–1三个函数的图象，并说一说它们有什么特征？ 8 1.填表． 1星题 基础练 抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 最值 y＝2x2＋3         y＝5x2－4         y＝－ x2＋5         y＝－ x2－6         向上 (0，3) y轴 最小值3 向上 (0，－4) y轴 最小值－4 向下 (0，5) y轴 最大值5 向下 (0，－6) y轴 最大值－6 举一反三 2.二次函数y＝－x2－1的图象大致是(　　) B 【补充设问】在y轴左侧，抛物线自左向右是______的． (填“上升”或“下降”) 上升 举一反三 3．已知A(－1，y1)，B(4，y2)是抛物线y＝ x2－5上的两点，则y1和y2的大小关系是y1____y2(填“>”“<”或“＝”)． < 举一反三 归纳 请你说一说函数y=ax2+k的图象和性质. y=ax²+k(a≠0) a＞0 a＜0 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 开口向上 开口向下 在y轴左侧，函数值y随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而增大. 在y轴左侧，函数值y随x的增大而增大； 在y轴右侧，函数值y随x的增大而减小. x=0时，y最小=k x=0时，y最大=k y轴 顶点是(0，k) 顶点是(0，k) y轴 12 函数 y=ax² y=ax² +k 相同点 不同点 (1)形状； (2)开口大小和开口方向； (位置) 当k＞0时，抛物线y=ax² +k由抛物线y=ax²沿y轴方向向上移动k个单位得到； 当k＜0时，抛物线y=ax² +k由抛物线y=ax²沿y轴方向向下移动|k|个单位得到. 请你说一说函数y=ax2的图象与函数y=ax2+k的图象的相同点与不同点. (3)增减性. 顶点坐标(最值)不同 13 典型例题 例 在同一直角坐标系中，画出函数 y = – x2+1和 y = – x2–1的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线 y = – x2+1得到抛物线 y = – x2–1. x … –3 –2 –1 0 1 2 3 … y= –x²+1 … –8 –3 0 1 0 –3 –8 … y= –x²–1 … –10 –5 –2 –1 –2 –5 –10 … 解：(1)列表； –2 –2 –2 –2 –2 –2 –2 –2 横坐标相等，纵坐标 “–2”，根据图形在坐标系中的平移规律可知，抛物线 y = – x2–1是由抛物线 y = – x2+1向下平移2个单位得到的. 14 例 在同一直角坐标系中，画出函数 y = – x2+1和 y = – x2–1的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线 y = – x2+1得到抛物线 y = – x2–1. 解：(2)描点、连线. 由图象，很容易得到抛物线 y = – x2–1是由抛物线 y = – x2+1向下平移2个单位得到的. x y –5 –6 –7 –8 –9 –2 –3 3 1 O –1 2 –2 –3 –4 1 –1 4 –4 y= –x²+1 y= –x² –1 15 1．二次函数y＝ax2＋k（ k ≠0）的图象与二次函数y＝ax2的图象的形状、开口大小和开口方向相同，对称轴都是________，只是位置不同．二次函数y＝ax2＋k的图象可由二次函数y＝ax2的图象沿y轴方向平移______个单位长度得到，其顶点坐标是________． 核心必知 y轴 |k| (0，k) 举一反三 2．二次函数y＝ax2＋k的性质： (1)若a＞0，则当x＞0时，y随x的增大而______；当x＜0时，y随x的增大而________；当x＝0时，y取最小值，为_______； (2)若a＜0，则当x＞0时，y随x的增大而______；当x＜0时，y随x的增大而________；当x＝0时，y取最大值，为_______． 增大 减小 k 减小 增大 k 举一反三 4．[安庆期中]函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与函数y＝－x2的图象相同． (1)填空：a＝________，c＝________； (2)在坐标系(如图)中画出这个函数的图象； 2 举一反三 解：由(1)可知，这个函数的表达式为y＝－ x2＋2. 列表如下： 描点、连线可得图象，如图． 举一反三 (3)当x为何值时，y随x的增大而减小？ (4)当x＝________时，y取最________值，是______． 解：由图象知，当x≥0时，y随x的增大而减小 0 大 2 举一反三 5.【知识初练】如图，将抛物线y＝ x2向_____平移_______个单位得到抛物线y＝ x2＋2；将抛物线y＝ x2向______平移______个单位长度得到抛物线y＝ x2－2. 上 2 下 2 举一反三 6．把抛物线向上平移3个单位长度得到新抛物线y＝2x2＋1，则原抛物线的表达式是______________． y＝2x2－2 举一反三 7．[苏州模拟]抛物线y＝－x2与y＝－x2＋5的不同之处是(　　) A．开口方向 B．对称轴 C．形状 D．顶点坐标 D 举一反三 8．函数y＝ax与y＝ax2＋a(a≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是(　　) 2星题 中档练 D 举一反三 9．抛物线y＝2x2－m经过点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2 C．y2<y1<y3 D．y3<y2<y1 C 举一反三 10．[安庆模拟]已知二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为(　　) A．a＋c B．a－c C．－c D．c 点拨：因为二次函数y＝ax2＋c图象的对称轴是y轴，且当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，所以x1＋x2＝0，当x取x1＋x2时，函数值y＝0＋c＝c. D 举一反三 二次函数y= ax2+k的图象和性质 函数y=ax2的图象与函数y=ax2+k的图象异同： 函数y=ax2+k的图象和性质： 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS － x … －2 －1 0 1 2 … y＝－x2＋2 … 0 2 0 … $