21.2.2.1 二次函数y=ax2+k的图象和性质 教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过复习y=ax²的开口方向、顶点坐标等旧知，提出y=ax²+1与y=ax²-1的图象关系问题，搭建从y=ax²到y=ax²+k的学习支架，衔接前后知识脉络。 此资料特色在于引导学生动手列表描点画图，对比y=ax²与y=ax²+k的图象，培养几何直观与空间观念，探究平移规律时鼓励自主归纳，发展推理意识，含函数图象对比图及知识网络框架图，应用举例结合一次函数综合题，提升用数学语言表达的能力，助力学生深化数形结合理解，为教师提供清晰教学流程与分层练习设计。

第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质 课题 第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质 授课人 教 学 目 标 1.会作二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象,并能比较它们的异同. 2.理解a,k对二次函数图象的影响,能正确说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 3.了解二次函数y=ax2的图象上下平移的规律. 4.利用二次函数y=ax2的图象研究二次函数y=ax2+k的图象,体会类比的思想和平移的规律. 5.经历探索二次函数y=ax2+k图象的画法和性质的过程,增强对二次函数图象的理解,体会数形结合的思想和方法. 6.进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验,体会知识的转化、图象的平移,感受到数学中数与形之间转化的魅力. 教学 重点 　　作二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象,比较它们之间的异同,了解它们的性质. 教学 难点 　　对二次函数y=ax2+k的图象与性质的理解,掌握抛物线上下平移的规律. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　1.二次函数y=2x2的图象是一条　抛物线　,它的开口方向　向上　,顶点坐标是　(0,0)　,对称轴是　y轴　,在对称轴左侧,y随x的增大而　减小　,在对称轴右侧,y随x的增大而　增大　,当x=　0　时,函数有最　小　值,其最　小　值为　0　.  二次函数y=-2x2呢? 2.二次函数y=2x2+1和y=2x2-1的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 学生自主解答第1题,教师根据学生回答做好总结,同时提问第2题,从而引入新课. 　　通过复习二次函数y=ax2的图象和性质,进一步巩固旧知,同时又为学习新知打好基础,做好铺垫. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 问题:在同一平面直角坐标系中,怎样画出函数y=2x2,y=2x2+1和y=2x2-1的图象? 师生活动:先让学生回顾画二次函数图象的步骤:列表、描点、连线,再画出二次函数y=2x2,y=2x2+1和y=2x2-1的图象. 1.列表:教师给出表格,学生填表. x … -2 - -1 - 0 1 2 … y=2x2 … 8 8 … y=2x2+1 … 9 9 … y=2x2-1 … 7 7 … 　　2.描点:用表格中的各组对应值作为点的坐标,进行描点. 3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到二次函数y=2x2,y=2x2+1和y=2x2-1的图象. 　　利用画函数图象的步骤依次画出各个二次函数的图象,主要培养学生的画图能力、对比能力和严谨的学习态度. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.展示问题: (1)抛物线y=2x2,y=2x2+1和y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么? (2)说一说这三个函数图象在对称轴两侧部分,y随x的增大而变化的情况; (3)当x分别取何值时,这三个函数取得最值?最值分别是多少? 教师指导学生观察函数图象,学生自主进行回答,达成共识: (1)开口方向都向上,对称轴都是y轴,顶点坐标分别是(0,0),(0,1),(0,-1). (2)当x<0时,y随x的增大而减小; 当x>0时,y随x的增大而增大. (3)函数y=2x2,当x=0时,y取得最小值,最小值为0;函数y=2x2+1,当x=0时,y取得最小值,最小值为1;函数y=2x2-1,当x=0时,y取得最小值,最小值为-1. 　　1.在探究过程中,引导学生认真观察思考,积极回答,让学生充分感受到解决问题带来的喜悦. 2.展示问题: 做一做: 在同一平面直角坐标系内画出下列二次函数的图象:y=-x2,y=-x2-2,y=-x2+2. (1)上面三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么? (2)说一说这三个函数图象在对称轴两侧部分,y随x的增大而变化的情况; (3)当x分别取何值时,这三个函数取得最值?最值分别是多少? 教师指导学生观察函数图象,学生自主进行回答,达成共识: (1)开口方向都向下,对称轴都是y轴,顶点坐标分别是(0,0),(0,-2),(0,2). (2)当x<0时,y随x的增大而增大; 当x>0时,y随x的增大而减小. (3)函数y=-x2,当x=0时,y取得最大值,最大值是0;函数y=-x2-2,当x=0时,y取得最大值,最大值是-2;函数y=-x2+2,当x=0时,y取得最大值,最大值是2. 教师指导各个小组发表见解,最后师生共同总结: y=ax2+k a>0 a<0 图象 k>0 k<0 k>0 k<0 开口 开口向上 开口向下 a的绝对值越大,开口越小 对称轴 y轴 顶点 (0,k) 顶点是最低点 顶点是最高点 增减性 在对称轴左侧(x<0)递减, 在对称轴右侧(x>0)递增 在对称轴左侧(x<0)递增, 在对称轴右侧(x>0)递减 　　【探究2】 抛物线y=ax2与y=ax2+k之间的平移规律 问题1:观察二次函数y=2x2,y=2x2+1和y=2x2-1的图象,探究二次函数y=2x2,y=2x2+1和y=2x2-1的图象之间的关系. (1)先让学生观察函数的图象,研究横坐标相同的三个二次函数图象上点的位置有何关系; (2)二次函数y=2x2,y=2x2+1和y=2x2-1的图象之间有什么关系? 学生自主归纳:1.二次函数y=2x2+1的图象可以看成是将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度得到的; 2.二次函数y=2x2-1的图象可以看成是将二次函数y=2x2的图象向下平移1个单位长度得到的; 　　2.通过观察、对比得到二次函数的性质和图象之间的关系,易于培养学生的分析能力和总结能力. 3.二次函数y=2x2+1的图象可以看成是将二次函数y=2x2-1的图象向上平移2个单位长度得到的. 问题2:抛物线y=ax2+k和y=ax2有什么关系? 师生活动:学生分组交流、讨论,做好总结归纳,教师指导各个小组发表见解,最后师生共同总结:当k>0时,抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2向上平移k个单位长度得到的;当k<0时,抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2向下平移|k|个单位长度得到的. 【应用举例】 例1　下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 (B) A.y=-2x　　B.y=x2-1　　C.y=-x+1　　D.y=-7x2 例2　(1)请说明抛物线y=x2-5是由抛物线y=x2如何平移得到的; (2)指出抛物线y=x2-5的顶点坐标、对称轴以及y随x的变化情况; (3)求二次函数y=x2-5的最值. [答案:(1)向下平移5个单位长度　(2)顶点坐标为(0,-5)　对称轴为y轴　在y轴左侧,y随x的增大而减小,在y轴右侧,y随x的增大而增大 (3)-5] 例3　分别求符合下列条件的抛物线y=ax2-1所对应的函数表达式: (1)经过点(-3,2); (2)与抛物线y=-0.5x2的开口大小相同,方向相反. [答案:(1)y=x2-1　(2)y=0.5x2-1] 学生自主进行解答问题后,分组展开讨论,待学生充分交流后,教师组织学生展示自己的答案,共同得到正确的结论. 　　学生在掌握基础知识和基本技能的基础上,怀着浓厚的兴趣去进行深层次的合作探究和体验解决问题的过程,提高了思维能力. 【拓展提升】 例4　一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象在同一平面直角坐标系中的图象可能为 (C) 图21-2-14 例5　若抛物线y=ax2+c与y=-2x2+5关于x轴对称,求a,c的值. 给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,并对学习有困难的学生适当引导、点拨. 　　对二次函数与一次函数图象的综合、二次函数对称性的提升练习,加强学生对函数表达式中的字母系数与图象关系的认识. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　框架图式结构,更容易形成知识网络. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.二次函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是 (C) A.开口方向　　　　　　　B.对称轴 C.顶点坐标 D.形状 2.抛物线y=-3x2+2的开口方向　向下　,对称轴是　y轴　,顶点坐标是　(0,2)　,函数有最　大　值为　2　.  3.抛物线y=4x2-3是由抛物线y=4x2向　下　平移　3　个单位长度得到的.  学生进行当堂训练,完成后,教师进行批阅、点评、讲解. 　　通过设置当堂训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,做到“堂堂清”. 【课堂总结】 (1)本节课主要学习了哪些知识?学习了哪些数学思想和方法? (2)本节课还有哪些疑惑?说一说! 教师总结:二次函数y=ax2+k的图象及性质、平移规律. 　　课堂总结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生的学习能力. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究新知环节中,学生动手操作,大胆质疑,教师能够适时评价,对学生思维起到极好的助推作用,多媒体的辅助为二次函数图象之间的平移变化规律增添了色彩,方便学生理解并掌握知识. ②[讲授效果反思] 教师强调难点:抛物线平移的规律——上加下减(在k的位置上). ③[师生互动反思] 课堂教学过程中,学生能够积极表现,教师做好点拨、适时评价. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $