2.1 认识实数 暑假预习练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦实数概念与运算，通过基础巩固、中档应用、综合提升三层设计，培养抽象能力、几何直观与推理意识，适配暑假分层复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|实数分类、大小比较、概念辨析|单选题（3-6、10）直接考查定义，填空题（13、17）强化基础判断| |中档层|数轴表示、无理数估算、距离计算|结合图形（题1、12）实现数形转化，解答题（18-19）训练比较方法| |提升层|综合作图、逻辑证明、分类应用|解答题（21-23）融合勾股定理与反证法，培养推理能力与创新意识|

2.1认识实数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1的点处，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 2．在、、、中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 3．下列各数为负数的是（    ） A． B．0 C．3 D． 4．四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（　　） A．﹣ B．1 C．2 D． 5．实数，，，中，最小的数是（　　） A． B． C． D． 6．在实数、、、、中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 8．在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 9．估计的值在（    ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 10．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 11．+3整数部分是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 12．如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合．将圆沿数轴滚动周，点到达点的位置，则点表示的数是（   ）    A． B． C． D．或 二、填空题 13．实数、在数轴上对应点的位置如图所示，则______．(填“”“”或“”) 14．已知实数求距离已知距离求实数点，在数轴上相距个单位长度，且线段的中点在数轴上表示的数是2，则点表示的数是________． 15．写出一个比大的负有理数是_____；比大的负无理数是_____． 16．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点______． 17．比较大小：_____3（填写“”或“”）． 三、解答题 18．比较大小： (1) 与4； (2)与． 19．比较大小：和． 20．（1）在图中的数轴上作出对应的点； （2）在（1）的条件下继续作出对应的点． 21．如图，在数轴上画一个边长为1的正方形，然后以原点O为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点D． (1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）； (2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示； (3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示的点M，说出你的画法． 22．找出下列各数中的无理数，并在数轴上用点将它们表示出来： 23．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得______________ ∴含有因数5，设，∴____________ ∴______________，∴含有因数5，∴____________ 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号） ①；②；③含有因数5；④ 24．把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 整数：{                        } 负分数：{                    } 无理数：{                    } 《2.1认识实数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A C B C A C D 题号 11 12 答案 C D 1．D 【分析】本题主要考查正方形的面积，实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键．根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为7 ∴正方形的边长为，即 根据题意， ∴ ∵点A是数轴上表示1的点 ∴点E所表示的数为 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解题的关键．先将，转换为小数，再根据实数的大小比较法则比较数的大小即可解答． 【详解】解：，， ， 最大的数是． 故选：A ． 3．A 【分析】根据负数的定义即可求解． 【详解】解：是负数． 故选A． 【点睛】本题考查了负数的意义，掌握负数的定义是解题的关键，正数前添加一个负号，即为负数． 4．A 【分析】利用零大于一切负数来比较即可． 【详解】解：根据负数都小于零可得，﹣＜0，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数＞零＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 5．C 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴所给的实数中，最小的数是-3； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 6．B 【分析】本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，掌握无理数的概念是解本题的关键． 根据无理数的定义逐个进行分析即可解答． 【详解】由无理数的定义可知，这一组中无理数有：、、，共3个 有理数有：、，共2个． 故选：B． 7．C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是， 故选：A． 9．C 【分析】先估计出在4到5之间，从而得的所在范围； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，掌握无理数大小的估算方法是解题的关键． 10．D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A. 正实数、零和负实数统称实数，原说法错误； B. 正有理数、0和负有理数统称有理数，原说法错误； C. 正有理数、零和负有理数统称有理数，原说法错误； D. 无理数和有理数统称实数，说法正确； 故选：D． 11．C 【分析】先估算的大小，进而估算的大小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， +3整数部分是7． 故选C． 【点睛】本题考查了无理数大小的估算，正确的估算出的大小是解题的关键． 12．D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出圆的周长是解题关键． 【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度， ∴圆的周长， ∵该圆可向右滚动一周，也可向左滚动一周， ∴点表示的数是或 故选：D 13． 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查了实数的运算，设点表示的数是，先根据题意得线段的中点到点的距离为，进而可得，解绝对值方程即可． 【详解】解：设点表示的数是， ∵实数点，在数轴上相距个单位长度， ∴线段的中点到点的距离为， ∵线段的中点在数轴上表示的数是2， ∴， 解得或， 即点表示的数是或， 故答案为：或． 15． （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查实数的大小比较，有理数的大小比较，解题的关键是掌握：正数大于负数，正数大于零，零大于负数；数轴上的点所对应的实数，越往右越大．据此解即可． 【详解】解：根据数轴的特点找出在右边的负有理数及负无理数， 例如：比大的负有理数可以是，比大的负无理数可以是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 16．D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据无理数的估算方法确定的取值范围，再观察数轴即可求解． 【详解】解：， 观察数轴可得，实数对应的可能是点， 故答案为：． 17． 【详解】解：∵， ∴． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法即可得解． （1）通过比较两个数的平方大小来比较这两个数即可 （2）根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解； 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为，， ， ∴． 19． 【分析】本题考查了二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解题的关键； 运用作差法，判断两数之差的结果是否大于0． 【详解】解：． ，，且， ， ， ． 20．（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数： （1）过表示2的点作数轴的垂线，截取，连接，以为圆心，为半径，画弧，交数轴的正半轴于点，则点即为所求； （2）过点作数轴的垂线，截取，连接，以为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点，点即为所求． 【详解】解：（1）如图，点即为所求； 由作图可知：； （2）如图，点即为所求； 由作图可知：； 21．(1)，无理数 (2)能 (3)详见解析 【分析】本题考查了勾股定理，用数轴上的数表示无理数，尺规作图． （1）根据及勾股定理求出，根据无理数的定义作答即可； （2）根据（1）即可得到结论； （3）根据画出表示的点，进而可画出表示的点M． 【详解】（1）由图可知，是无理数 ∴点D表示的数是，这个数是无理数 故答案为：，无理数 （2）由（1）可知，无理数能用数轴上的点表示 故答案为：能 （3）因为， 所以画法如下： ①在数轴上画长方形，使在数轴上且点在原点右侧，点在数轴的上方； ②以原点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点； ③以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是，如答图所示． 证明：∵ ∴ ∴ ∴ 22．无理数有． 【分析】先根据无理数的定义判断出给定数中的无理数，然后再将这些无理数在数轴上表示出来． 【详解】判断无理数： ，2是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是有限小数，属于有理数； ，是无限不循环小数，所以属于无理数； ，因为是无限不循环小数，所以属于无理数； ∴无理数有． 在数轴上表示无理数： ∵，，， ∴这些无理数在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查了无理数的定义以及无理数在数轴上的表示，掌握“无理数是无限不循环的小数，并且能根据无理数的近似值在数轴上找到对应的点”是解题的关键． 23．④②①③ 【分析】本题考查了无理数的证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，等式两边平方得到，由此可得可得含有因数5，可设，则，即可证明q也有因数5，这与假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得 ∴含有因数5，设，∴ ∴，∴含有因数5，∴含有因数5 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 故答案为：④②①③． 24．③④⑤；②⑦⑧；①⑥ 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限不循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． 【详解】解：整数：{0，， } 负分数：{，，} 无理数：{ ，} 故答案为：③④⑤；②⑦⑧；①⑥． 学科网（北京）股份有限公司 $