2.1 认识实数-暑假预习专练--2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2.1 认识实数-北师大版数学八年级上册 一、选择题 1．（2024八上·灌云月考）下列各数中， ，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数，因此，由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个。 故答案为：B。 【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②的倍数的数，③像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义即可一一判断得出答案。 2．（2023八上·顺德月考）下列说法正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数包括正无理数、0、负无理数 C．带根号的数都是无理数 D．实数与数轴上的点是一一对应的 【答案】D 【知识点】实数的概念与分类；无理数在数轴上表示；无理数的概念 【解析】【解答】解：无限循环小数都是有理数，故A不符合题意； 无理数包括正无理数、负无理数，故B不符合题意； 带根号的数不一定都是无理数，如，故C不符合题意； 实数与数轴上的点是一 一对应的，表述正确，故D符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据无理数的含义与分类逐项判断即可． 3．（2024八上·贵阳期末）如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理 【解析】【解答】解：， ， ， ， 点表示的数是 故答案为：A ． 【分析】利用勾股定理求出长解题即可. 4．（2023八上·济南开学考）下列说法正确的个数为（　　） ①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】有理数及其分类；无理数的概念 【解析】【解答】解：①有理数与 无理数的差都是无理数，不符合题意； ②无限不循环小数都是无理数，不符合题意； ③无理数都是无限小数，符合题意； ④两个无理数的和不一定是无理数，符合题意； ⑤无理数分为正无理数、负无理数，零是有理数，不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据有理数、无理数的定义即可判断。 5．（2024八上·丹东期中）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】C 【知识点】实数的相反数 【解析】【解答】解：A. 与 不是一组相反数，故本选项错误； B. = ，所以 与 不是一组相反数，故本选项错误； C. =2， =-2，所以 与 是一组相反数，故本选项正确； D. =-2， =-2，所以 与 不是一组相反数，故本选项错误， 故答案为：C 【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，再对各选项逐一判断。 6．（2023八上·栾城期中）若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的相反数；立方根的性质 【解析】【解答】解：由题意可得： 则 等号两边同时立方可得：a=-b ∴a+b=0 故答案为：C 【分析】根据相反数的定义可得，等号两边同时立方可得：a=-b，则a+b=0，即可求出答案. 7．（2024八上·滕州月考）若 与 互为相反数，则 的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的相反数 【解析】【解答】解：∵ 与 是相反数， ∴ = = ∴3x－1=2y－1， 整理得：3x=2y，即 ， 故答案为：A． 【分析】根据相反数的定义可以得到 = = ，所以3x－1=2y－1，求解并代入即可。 8．（2024八上·高邑期末）数轴上表示，的对应点分别为，，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数在数轴上表示；轴对称的性质；数轴上两点之间的距离 【解析】【解答】解：由题意可得： 设点C表示的数为x 则AB=AC 即，解得： 故答案为：C 【分析】设点C表示的数为x，根据对称点的性质及数轴上两点间的距离即可求出答案. 二、填空题 9．（2024八上·长春月考） ， ， ， ，3，1416， 无理数的个数是　 　个． 【答案】3 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解： ， 在 ， ， ， ，3，1416， 中，无理数有 ， ， 这3个数， 故答案为：3． 【分析】根据无理数的定义判断得出答案。 10．（2024八上·陇西期中） -2的相反数是　 　，绝对值是　 　 【答案】2- ；2- 【知识点】实数的相反数；实数的绝对值 【解析】【解答】解： -2的相反数是：-( -2)=2- ； ∵ ＜2， ∴ -2＜0， ∴| -2|=-( -2)=2- . 故答案为：2- ；2- . 【分析】求一个数的相反数，只需要在这个数整体前面加上相反数符号，再去括号即可；首先判断出 -2＜0，再根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可直接得出答案. 11．若无理数a满足：﹣4＜a＜﹣1，请写出两个你熟悉的无理数：　 　 【答案】 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：无理数有：﹣，﹣π．（答案不唯一）． 故答案是：﹣，﹣π． 【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可作出解答． 12．（2024八上·嘉祥月考）已知a，b，c是三角形的三边长，化简： 　 　． 【答案】 【知识点】三角形三边关系；实数的绝对值 【解析】【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长 ∴a+c>b，b+c>a ∴a-b+c>0，a-b-c<0 ∴ 故答案为： 【分析】根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边即可判断绝对值中的正负，再去掉绝对值，然后合并同类项即可。 13．（2024八上·天元期末）点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数为，则A、B之间表示的整数点有　 　个. 【答案】6 【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值 【解析】【解答】解：，， ，， ∴A、B之间表示的整数有-3，-2，-1，0，1，2，共6个， 故答案为：6 【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而结合有理数在数轴上的表示即可求解。 14．（2023八上·连平期中）如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是　 　． 【答案】 【知识点】无理数在数轴上表示 【解析】【解答】解：由勾股定理得：长方形对角线的长：=，∴OA=， ∵点A在原点左侧， ∴A点表示的数是：， 故答案为：． 【分析】根据勾股定理得长方形对角线的长，即可得出点A的坐标． 三、解答题 15．（2024八上·东莞期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ﹣5，﹣2.626 626 662…，0，π，﹣ ，0.12，|﹣6|． （1）正数集合：{ …}； （2）负数集合：{ …}； （3）有理数集合：{ …}； （4）无理数集合：{ …}． 【答案】解：（1）正数集合： （2）负数集合： （3）有理数集合： （4）无理数集合： 【知识点】正数和负数的认识及应用；有理数及其分类；无理数的概念 【解析】【分析】根据实数分类的概念，进行判断即可。（1）大于0的数均为正数；（2）小于0的数均为负数；（3）能够表示成两个整数之比的数叫做有理数；（4）不能写作两个整数之比，写成分数后可化为无限不循环小数。 16．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数． 可以这样证明： 设，a与b 是互质的两个整数，且b≠0． 则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数． 【答案】解：设=与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2=5b2， 因为b是整数且不为0， 所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数）， 所以b2=5n2， 所以b也为5的倍数， 与a，b是互质的正整数矛盾． 所以是无理数． 【知识点】无理数的概念 【解析】【分析】先设=，再由已知条件得出，a2=5b2，又知道b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，再设a=5n，（n是整数）， 则b2=5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾，从而证明了答案． 17．（2023八上·砀山月考）已知a，b，c是的三边长. （1）化简：； （2）若，求的周长. 【答案】（1）解：a，b，c是的三边长， ，，， ，，， . （2）解：， 解得 ， 的周长为18. 【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；实数的绝对值 【解析】【分析】（1）根据题意依据三角形的两边之和大于第三边进行判断三边，得出，，，然后去掉绝对值即可得出答案。 （2）根据题意可得出，则求出a，b，c的值，然后根据三角形周长公式进行计算即可得出答案。 18．（2023八上·成都期中）如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积； （3）如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与﹣1重合，那么点B表示的数为a，请计算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值． 【答案】（1）解：这个魔方的棱长为：＝4 （2）解：每个小正方体的棱长为：4÷2＝2； 阴影部分的边长为：CD＝＝2， 阴影部分的面积为：CD2＝（2）2＝8 （3）解：根据图可知a＝2﹣1， （a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a| ＝（2﹣1﹣1）×（2﹣1+1）﹣|2﹣（2﹣1）| ＝（2﹣2）×2﹣|3﹣2| ＝8﹣4﹣3+2 ＝5﹣2． 【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【分析】（1）正方体体积已知，正方体体积公式为V正方体=棱长3，所以棱长为4； （2）第一问已知大正方体边长，继而可求小正方体边长，则阴影部分正方形的边长和面积也能求出来。 （3）根据第二问AB边长，可得B的值，然后带入原式进行化简即可。 四、阅读理解题 19．（初中数学北师大版八年级上册2.1认识无理数练习题）无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把 和 化为分数 请用以上方法解决下列问题 （1）把 化为分数 （2）把 化为分数． 【答案】（1）解：∵ ×100=17. ∴ ×100﹣ = ﹣ ×（100﹣1）=17， = ， （2）解：∵ ×10= ① ×1000= ② ∴由 ②﹣①得 ×1000﹣ ×10= ﹣ （1000﹣10）=310， = 【知识点】无理数的概念 【解析】【分析】（1）、（2）根据所给例题的解题方法进行解答即可． 20．阅读下列材料：“为什么不是有理数”． 假是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得=，于是有2m2=n2． ∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数． 设n=2t（t是正整数），则n2=2m，∴m也是偶数 ∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾． ∴假设错误 ∵不是有理数 有类似的方法，请证明不是有理数． 【答案】解：假设是有理数， 则存在两个互质的正整数m，n，使得=， 于是有3m2=n2， ∵3m2是3的倍数， ∴n2也是3的倍数， ∴n是3的倍数， 设n=3t（t是正整数），则n2=9t2，即9t2=3m2， ∴3t2=m2， ∴m也是3的倍数， ∴m，n都是3的倍数，不互质，与假设矛盾， ∴假设错误， ∴不是有理数． 【知识点】实数的概念与分类 【解析】【分析】根据题意利用反证法假设是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确． 五、实践探究题 21．（2024八上·衡山期末） 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景在数轴上画出表示无理数的点． 如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是　 　． （2）应用场景解决实际问题． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1） （2）解：设秋千绳索的长度为， 由题意可得， 四边形为矩形，，，，， ，， 在中，， 即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长为． 【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图所示： 根据题意可得：OA=3，AB=2，∠BAO=90°， ∴OB=， ∵以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点 ， ∴OC=OB=， ∵点O表示的数是0， ∴点C表示的数是， 故答案为：. 【分析】（1）先利用勾股定理求出OB的长，再利用作图方法可得OC=OB=，再求出点C表示的数即可； （2）设秋千绳索的长度为，则，，再利用勾股定理可得，即， 再求出x的值即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 认识实数-北师大版数学八年级上册 一、选择题 1．（2024八上·灌云月考）下列各数中， ，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023八上·顺德月考）下列说法正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数包括正无理数、0、负无理数 C．带根号的数都是无理数 D．实数与数轴上的点是一一对应的 3．（2024八上·贵阳期末）如图，数轴上的点表示的数是，于点，且，连接，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数是（　　） A． B． C． D． 4．（2023八上·济南开学考）下列说法正确的个数为（　　） ①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2024八上·丹东期中）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 6．（2023八上·栾城期中）若实数的立方根与的立方根互为相反数，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 7．（2024八上·滕州月考）若 与 互为相反数，则 的值为（　　）． A． B． C． D． 8．（2024八上·高邑期末）数轴上表示，的对应点分别为，，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024八上·长春月考） ， ， ， ，3，1416， 无理数的个数是　 　个． 10．（2024八上·陇西期中） -2的相反数是　 　，绝对值是　 　 11．若无理数a满足：﹣4＜a＜﹣1，请写出两个你熟悉的无理数：　 　 12．（2024八上·嘉祥月考）已知a，b，c是三角形的三边长，化简： 　 　． 13．（2024八上·天元期末）点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数为，则A、B之间表示的整数点有　 　个. 14．（2023八上·连平期中）如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是　 　． 三、解答题 15．（2024八上·东莞期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ﹣5，﹣2.626 626 662…，0，π，﹣ ，0.12，|﹣6|． （1）正数集合：{ …}； （2）负数集合：{ …}； （3）有理数集合：{ …}； （4）无理数集合：{ …}． 16．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数． 可以这样证明： 设，a与b 是互质的两个整数，且b≠0． 则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数． 17．（2023八上·砀山月考）已知a，b，c是的三边长. （1）化简：； （2）若，求的周长. 18．（2023八上·成都期中）如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积； （3）如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与﹣1重合，那么点B表示的数为a，请计算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值． 四、阅读理解题 19．（初中数学北师大版八年级上册2.1认识无理数练习题）无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把 和 化为分数 请用以上方法解决下列问题 （1）把 化为分数 （2）把 化为分数． 20．阅读下列材料：“为什么不是有理数”． 假是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得=，于是有2m2=n2． ∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数． 设n=2t（t是正整数），则n2=2m，∴m也是偶数 ∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾． ∴假设错误 ∵不是有理数 有类似的方法，请证明不是有理数． 五、实践探究题 21．（2024八上·衡山期末） 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）应用场景在数轴上画出表示无理数的点． 如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是　 　． （2）应用场景解决实际问题． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数，因此，由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个。 故答案为：B。 【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②的倍数的数，③像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义即可一一判断得出答案。 2．【答案】D 【知识点】实数的概念与分类；无理数在数轴上表示；无理数的概念 【解析】【解答】解：无限循环小数都是有理数，故A不符合题意； 无理数包括正无理数、负无理数，故B不符合题意； 带根号的数不一定都是无理数，如，故C不符合题意； 实数与数轴上的点是一 一对应的，表述正确，故D符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据无理数的含义与分类逐项判断即可． 3．【答案】A 【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理 【解析】【解答】解：， ， ， ， 点表示的数是 故答案为：A ． 【分析】利用勾股定理求出长解题即可. 4．【答案】A 【知识点】有理数及其分类；无理数的概念 【解析】【解答】解：①有理数与 无理数的差都是无理数，不符合题意； ②无限不循环小数都是无理数，不符合题意； ③无理数都是无限小数，符合题意； ④两个无理数的和不一定是无理数，符合题意； ⑤无理数分为正无理数、负无理数，零是有理数，不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据有理数、无理数的定义即可判断。 5．【答案】C 【知识点】实数的相反数 【解析】【解答】解：A. 与 不是一组相反数，故本选项错误； B. = ，所以 与 不是一组相反数，故本选项错误； C. =2， =-2，所以 与 是一组相反数，故本选项正确； D. =-2， =-2，所以 与 不是一组相反数，故本选项错误， 故答案为：C 【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，再对各选项逐一判断。 6．【答案】C 【知识点】实数的相反数；立方根的性质 【解析】【解答】解：由题意可得： 则 等号两边同时立方可得：a=-b ∴a+b=0 故答案为：C 【分析】根据相反数的定义可得，等号两边同时立方可得：a=-b，则a+b=0，即可求出答案. 7．【答案】A 【知识点】实数的相反数 【解析】【解答】解：∵ 与 是相反数， ∴ = = ∴3x－1=2y－1， 整理得：3x=2y，即 ， 故答案为：A． 【分析】根据相反数的定义可以得到 = = ，所以3x－1=2y－1，求解并代入即可。 8．【答案】C 【知识点】无理数在数轴上表示；轴对称的性质；数轴上两点之间的距离 【解析】【解答】解：由题意可得： 设点C表示的数为x 则AB=AC 即，解得： 故答案为：C 【分析】设点C表示的数为x，根据对称点的性质及数轴上两点间的距离即可求出答案. 9．【答案】3 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解： ， 在 ， ， ， ，3，1416， 中，无理数有 ， ， 这3个数， 故答案为：3． 【分析】根据无理数的定义判断得出答案。 10．【答案】2- ；2- 【知识点】实数的相反数；实数的绝对值 【解析】【解答】解： -2的相反数是：-( -2)=2- ； ∵ ＜2， ∴ -2＜0， ∴| -2|=-( -2)=2- . 故答案为：2- ；2- . 【分析】求一个数的相反数，只需要在这个数整体前面加上相反数符号，再去括号即可；首先判断出 -2＜0，再根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可直接得出答案. 11．【答案】 【知识点】无理数的概念 【解析】【解答】解：无理数有：﹣，﹣π．（答案不唯一）． 故答案是：﹣，﹣π． 【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可作出解答． 12．【答案】 【知识点】三角形三边关系；实数的绝对值 【解析】【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边长 ∴a+c>b，b+c>a ∴a-b+c>0，a-b-c<0 ∴ 故答案为： 【分析】根据三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边即可判断绝对值中的正负，再去掉绝对值，然后合并同类项即可。 13．【答案】6 【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值 【解析】【解答】解：，， ，， ∴A、B之间表示的整数有-3，-2，-1，0，1，2，共6个， 故答案为：6 【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而结合有理数在数轴上的表示即可求解。 14．【答案】 【知识点】无理数在数轴上表示 【解析】【解答】解：由勾股定理得：长方形对角线的长：=，∴OA=， ∵点A在原点左侧， ∴A点表示的数是：， 故答案为：． 【分析】根据勾股定理得长方形对角线的长，即可得出点A的坐标． 15．【答案】解：（1）正数集合： （2）负数集合： （3）有理数集合： （4）无理数集合： 【知识点】正数和负数的认识及应用；有理数及其分类；无理数的概念 【解析】【分析】根据实数分类的概念，进行判断即可。（1）大于0的数均为正数；（2）小于0的数均为负数；（3）能够表示成两个整数之比的数叫做有理数；（4）不能写作两个整数之比，写成分数后可化为无限不循环小数。 16．【答案】解：设=与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2=5b2， 因为b是整数且不为0， 所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数）， 所以b2=5n2， 所以b也为5的倍数， 与a，b是互质的正整数矛盾． 所以是无理数． 【知识点】无理数的概念 【解析】【分析】先设=，再由已知条件得出，a2=5b2，又知道b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，再设a=5n，（n是整数）， 则b2=5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾，从而证明了答案． 17．【答案】（1）解：a，b，c是的三边长， ，，， ，，， . （2）解：， 解得 ， 的周长为18. 【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；实数的绝对值 【解析】【分析】（1）根据题意依据三角形的两边之和大于第三边进行判断三边，得出，，，然后去掉绝对值即可得出答案。 （2）根据题意可得出，则求出a，b，c的值，然后根据三角形周长公式进行计算即可得出答案。 18．【答案】（1）解：这个魔方的棱长为：＝4 （2）解：每个小正方体的棱长为：4÷2＝2； 阴影部分的边长为：CD＝＝2， 阴影部分的面积为：CD2＝（2）2＝8 （3）解：根据图可知a＝2﹣1， （a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a| ＝（2﹣1﹣1）×（2﹣1+1）﹣|2﹣（2﹣1）| ＝（2﹣2）×2﹣|3﹣2| ＝8﹣4﹣3+2 ＝5﹣2． 【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【分析】（1）正方体体积已知，正方体体积公式为V正方体=棱长3，所以棱长为4； （2）第一问已知大正方体边长，继而可求小正方体边长，则阴影部分正方形的边长和面积也能求出来。 （3）根据第二问AB边长，可得B的值，然后带入原式进行化简即可。 19．【答案】（1）解：∵ ×100=17. ∴ ×100﹣ = ﹣ ×（100﹣1）=17， = ， （2）解：∵ ×10= ① ×1000= ② ∴由 ②﹣①得 ×1000﹣ ×10= ﹣ （1000﹣10）=310， = 【知识点】无理数的概念 【解析】【分析】（1）、（2）根据所给例题的解题方法进行解答即可． 20．【答案】解：假设是有理数， 则存在两个互质的正整数m，n，使得=， 于是有3m2=n2， ∵3m2是3的倍数， ∴n2也是3的倍数， ∴n是3的倍数， 设n=3t（t是正整数），则n2=9t2，即9t2=3m2， ∴3t2=m2， ∴m也是3的倍数， ∴m，n都是3的倍数，不互质，与假设矛盾， ∴假设错误， ∴不是有理数． 【知识点】实数的概念与分类 【解析】【分析】根据题意利用反证法假设是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确． 21．【答案】（1） （2）解：设秋千绳索的长度为， 由题意可得， 四边形为矩形，，，，， ，， 在中，， 即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长为． 【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图所示： 根据题意可得：OA=3，AB=2，∠BAO=90°， ∴OB=， ∵以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点 ， ∴OC=OB=， ∵点O表示的数是0， ∴点C表示的数是， 故答案为：. 【分析】（1）先利用勾股定理求出OB的长，再利用作图方法可得OC=OB=，再求出点C表示的数即可； （2）设秋千绳索的长度为，则，，再利用勾股定理可得，即， 再求出x的值即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$