5.1《认识二元一次方程组》暑假预习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以基础巩固-能力提升-拓展应用为梯度，覆盖二元一次方程（组）的概念、解及应用，通过定义辨析、参数计算、规律探究培养抽象能力、推理意识和模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二元一次方程（组）定义、解的概念|单选题1、4通过辨析整式性与次数考查抽象能力，填空题6强化二元一次方程条件认知| |能力提升|解的应用、参数计算|填空题8利用解求代数式值，解答题12代入解求参数，培养推理意识与运算能力| |拓展应用|规律探究、跨学科应用|解答题14结合矩阵概念，15通过方程组规律猜想，发展创新意识与模型观念|

5.1《认识二元一次方程组》暑假预习 一、单选题 1．下列方程中：①；②；③；④；⑤；二元一次方程有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．已知是方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．老师给小芳以下几个方程组： ①②③④⑤下列方程组是二元一次方程组的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．若关于，的方程是二元一次方程，则的值是_______ 7．如果是方程的一组解，那么代数式_____. 8．已知是关于x，y的方程组的解，则_____． 9．“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，如从左到右列出的算筹数依次表示方程中未知数x，y的系数和相应的常数项，即表示方程，则表示的方程是____________． 10．已知方程组的解是，则方程组的解为______． 三、解答题 11．苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元． (1)小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示__________，表示____________； (2)小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值． 12．已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值 13．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 14．在现代高等代数领域中，可以将关于，的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； 15．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 参考答案 一、单选题 1．A 解：根据二元一次方程的定义逐个判断： ①，只含有1个未知数，不是二元一次方程； ②，满足二元一次方程的定义，是二元一次方程； ③，分母含有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程； ④，的次数为2，不满足一次的要求，不是二元一次方程； ⑤，满足二元一次方程的定义，是二元一次方程； 综上，共有2个二元一次方程． 2．A 解：选项A：， ∴左边右边， 该组是方程的解，故本选项符合题意； 选项B： 左边 右边 该组不是方程的解，故本选项不符合题意； 选项C：， ∴左边右边， 该组不是方程的解，故本选项不符合题意； 选项D：， ∴左边右边， 该组不是方程的解，故本选项不符合题意． 3．B 解：是方程的一个解， ， 解得， 故选：B． 4．C 解：∵二元一次方程组需同时满足：方程组共含两个未知数，所有方程均为整式方程，所有未知数的最高次数为1， ① 符合所有条件，是二元一次方程组； ② 方程中的次数为2，不符合要求，不是二元一次方程组； ③ 方程组含三个未知数，不符合要求，不是二元一次方程组； ④ 符合所有条件，是二元一次方程组； ⑤ 符合所有条件，是二元一次方程组； ∴符合条件的二元一次方程组共3个. 5．B 解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 二、填空题 6． 解：∵关于，的方程是二元一次方程， ∴且， 解得． 7． 解：是方程的一组解， ， ． 8．2 解：∵是关于x，y的方程组的解， ∴， ∴， ∴. 9． 解：从左到右，第一列1根竖筹表示x的系数为1， 第二列4根竖筹表示y的系数为4，第三列2根横筹和3根竖筹表示常数项为23，所以表示的方程是． 10． 解：把代入已知方程组， 得 ， ∵题目中方程组为， ∴其解为． 三、解答题 11．（1）解：表示苹果的价格，表示梨的价格． （2）解：设苹果的单价为元，梨的单价为元， 根据题意可得， 解得． 12．解：把代入，得， 解得， ∴. 13．（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，且，， 解得，； （2）解：由（1）可得原方程为， 把代入得， 解得：． 14．（1）解： 根据题目给出的矩阵定义，二元一次方程组写成矩阵形式为； （2）解：矩阵对应的二元一次方程组为， 将代入方程组得： ， 解得： ． 15．解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 学科网（北京）股份有限公司 $