2.3 二次根式 暑假预习练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 练习以二次根式为核心，分层设计从概念理解到综合应用，覆盖运算能力、推理意识与应用意识，适配暑假知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|概念与基本运算|单选3考查二次根式定义，填空13直接化简，夯实基础认知| |中档|性质应用与综合运算|解答19混合运算，单选8结合黄金矩形计算周长，提升运算熟练度| |提升|跨情境与创新应用|22题婴儿车安全标准几何应用，21题新定义运算推理，培养应用意识与创新思维|

2.3二次根式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．设，，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照上述规律，计算：（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．计算：（   ） A． B． C． D． 7．估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 8．已知四边形是黄金矩形（宽与长的比是的长方形），若长方形的长等于8，则该长方形的周长为（    ） A． B． C．16 D． 9．如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这条边上的高是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 10．计算：（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 11．对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 12．若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 二、填空题 13．计算：的结果为______． 14．比较大小：______． 15．计算：_____；______ 16．已知，则＝________． 17．最简二次根式和是同类二次根式，的值是_____ 三、解答题 18．计算： （1）；     （2）． 19．计算： (1)． (2)． 20．已知，，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点，，并画出； (2)画出关于轴对称的； (3)点在轴上，并且使得的值最小，请标出点位置并写出最小值． 21．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，   ． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：，并作出了如下的证明： 设，则，即． 所以，即， 所以． 试解决下列问题： ①计算； ②若令，试探索与的大小关系． 22．如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 23．已知：，求证： 24．已知x＝，y＝，求下列各式的值． （1）x2﹣y2； （2）x2﹣2xy+y2． 《2.3二次根式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A B A B D A C 题号 11 12 答案 B A 1．B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 2．D 【分析】本题考查分母有理化，代数式之间大小关系的比较．根据题意先计算出，再利用作差法即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．B 【分析】根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】A、，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式； B、，含有二次根号，且被开方数，一定是二次根式； C、，含有三次根号，不是二次根式； D、含有二次根号，但当时，，不是二次根式． 【点睛】本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 4．A 【分析】首先根据题意，可得，，，⋯⋯，再相加即可得解． 【详解】解：第个等式：，     第个等式：， 第个等式：，     第个等式：， …… 第n个等式：， ∴ =，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案． 5．B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、含字母的根式化简，掌握相关知识是解题的关键．根据二次根式的性质化简，将被开方数分解为平方数与非平方数的乘积，再结合已知条件转化即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质直接化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 7．B 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算及无理数的估算，先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴在1和2之间， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据黄金矩形的定义，宽与长的比为，已知长，可求宽，再列式计算周长，即可作答． 【详解】解：依题意，宽与长的比是，且， ∴， ∴ 周长 ∴ 该长方形的周长为， 故选：D 9．A 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，熟练掌握运算法则是解答关键． 利用三角形面积公式列出方程求解． 【详解】解：设这条边上的高为， 一个三角形的面积为，一边长为， ， 解得． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 11．B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 12．A 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，根据正方形面积公式，面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根，计算并化简即可． 【详解】解：设边长为a， ∴，而， ∴， 故选：A． 13． 【分析】先根据二次根式的性质化简根号，再根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 14． 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较、二次根式的混合运算等知识点，掌握分子有理化是解题的关键． 先对和分子有理化，然后比较分母即可解答． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了二次根式的化简和二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．利用二次根式的性质进行化简和二次根式加减混合运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：， 16．/ 【分析】根据非负性先分别求出，，再将a，b的值代入化简二次根式即可得出答案 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值非负性，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17． 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，若两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个最简二次根式叫做同类二次根式，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（1）；（2）． 【分析】（1）先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式即可； （2）先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，涉及最简二次根式、分母有理化、合并同类二次根式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 19．(1)1 (2) 【详解】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的乘法，除法，正确处理运算顺序和根式的约分是解题的关键． （1）首先将带分数转换为假分数，然后利用根式的乘除法则进行化简； （2）先化简各根式，再按运算顺序逐步计算即可． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 20．(1)即为所求: (2)即为所求： (3)点即为所求；的值最小为 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，轴对称图形以及最短路径问题，根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”找出最短路径是解题关键． （1）根据题目给出的坐标描点连线； （2）根据“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数”的坐标变换规则，找出点、、，然后依次连线； （3）利用“轴对称的性质”，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为，根据两点之间线段最短，即为的最小值，利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】（1）解：已知，，， 如图，依次连接、、，得到． （2）解：根据轴对称的性质可知，关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数，可得： 的对应点为， 的对应点为， 的对应点为． 如图，依次连接、、，得到． （3）解：如图，作点关于轴的对称点． 连接，与轴交点即为点， 由两点之间线段最短，可知的最小值为， 根据勾股定理，可得． 答：的值最小为． 21．（1）2，0，；（2）①0；② 【分析】（1）根据题目的条件判断即可； （2）①根据条件转换即可计算； ②由已知可知，3a=2，3b=5，3c=10，根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【详解】（1）∵， ∴（3，9）=2； ， ∴， ∵， ； 故答案为：2；0；． （2）① ； ②∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 从而 ∴， 即． 【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． 22．(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 23．见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 24．（1）2﹣2；（2）3﹣2 【分析】（1）将x、y的值代入到原式＝（x+y）（x﹣y）计算即可； （2）将x、y的值代入到原式＝（x﹣y）2计算即可． 【详解】解：（1）当x＝，y＝时， 原式＝（x+y）（x﹣y） ＝（+）×（﹣） ＝2×（1﹣） ＝2﹣2； （2）当x＝，y＝时， 原式＝（x﹣y）2 ＝（﹣）2 ＝（1﹣）2 ＝1﹣2+2 ＝3﹣2． 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式与平方差公式的运用． 学科网（北京）股份有限公司 $