2.3.2二次根式的加减法 暑假预习专练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2.3.2二次根式的加减法-北师大版数学八年级上册 一、选择题 1．（2025八上·福田期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八上·昌图期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025八上·沙坪坝期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025八上·高邑期中）已知 的整数部分为 ， 的小数部分为b，则a+b的值为（　　） A．10 B． C． D． 5．（2024八上·兰州新期末）若式子是最简二次根式，则x的值可能为（　　） A．0 B． C．2 D．4 6．（2024八上·上海市月考）在下列式子中等号能成立的式子共有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2025八上·新田期末）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 8．（2025八上·松江期中）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025八上·黄浦期中）化简： ＝　 　． 10．（2024八上·河北期末）　 　． 11．（2025八上·上海月考）已知最简二次根式 与 可以合并，则 的值为　 　. 12．（2025八上·普陀期中）化简： 　 　． 13．（2024八上·上海市月考）计算：　 　． 14．（2024八上·通道期末）观察：，，， 计算：=　 　． 三、计算题 15．（2025八上·龙岗期末）计算： （1）； （2）； （3）。 16．（2024八上·坪山期末）化简： （1） （2） 17．（2024八上·深圳期中）计算 （1）； （2） （3）； （4）． 18．（2024八上·宝安期中）计算： （1） （2） 四、解答题 19．（2025八上·承德期末）已知一块长为，宽为的长方形木板，如图． （1）与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______； （2）采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由． 20．（2024八上·天元期末）阅读下面的文字，解答问题. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答下列问题： （1）求出的整数部分和小数部分； （2）已知：，其中是整数，且，请你求出的相反数. 21．（2025八上·郴州期末）设，． （1）求，的值； （2）求的值． 22．（2024八上·四川期中）北师大教材第48页中提到：我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题： （1）化简：，； （2）化简：； （3）比较与大小，并说明理由． 五、实践探究题 23．（2024八上·遂川期末）阅读下列解题过程： ， ， 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出 　 　 ； （2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简： 24．（2024八上·河北期末）已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”． （1）与　 　是关于的“平衡数”，与　 　是关于的“平衡数”； （2）若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由． 25．（2024八上·吉安期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． （1）例如，∵， ∴______，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简； （3）利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：A、根据二次根式乘法法则，则，该选项正确． B、根据二次根式减法法则，，该选项错误． C、与不是同类二次根式，不能直接相加，即，该选项错误． D、，该选项错误． 故答案为：A． 【分析】利用二次根式的乘法，减法，加法，除法法则逐项判断解题． 2．【答案】A 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A： 是最简二次根式，符合题意； B： ，不符合题意； C： ，不符合题意； D： ，不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。 3．【答案】D 【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；积的乘方运算 【解析】【解答】解：A、，故不符合题意； B、 ， 故不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； D、 ， 正确，故符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的加减分别计算，再判断即可. 4．【答案】D 【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为a=8， 的整数部分为1， 的小数部分为b： ， ∴a+b= ， 故答案为：D． 【分析】首先得出 的取值范围，进而分别得出a，b的值进而得出答案． 5．【答案】C 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A、当时，，不是最简二次根式，∴A不符合题意； B、当时，，不是最简二次根式，∴B不符合题意； C、当时，，是最简二次根式，∴C符合题意； D、当时，，不是最简二次根式，∴D不符合题意； 故答案为：C． 【分析】将各选项分别代入，再利用最简二次根式的定义逐项分析判断即可. 6．【答案】A 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：①，不成立，故不符合题意； ②，不成立，故不符合题意； ③，不成立，故不符合题意； ④与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； ⑤是最简二次根式，不能化简，不成立，故不符合题意； ∴成立的个数为0， 故选：A． 【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减分别计算，再判断即可． 7．【答案】C 【知识点】二次根式的加减法 【解析】【解答】原式= ． 故答案为：C． 【分析】先利用二次根式化简，再进行相加。 8．【答案】B 【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法 【解析】【解答】A. 不能计算，故不符合题意； B. ，符合题意； C. ，故不符合题意 D. ，故不符合题意 故答案为：B． 【分析】利用二次根式的加减、二次根式的乘法、二次根式的性质及分母有理化逐项判断即可。 9．【答案】 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】 故答案为： ． 【分析】利用二次根式的乘法法则，把 化为最简的二次根式即可。 10．【答案】 【知识点】零指数幂；二次根式的加减法 【解析】【解答】解： 故答案为： . 【分析】运用零指数幂和二次根式的加减运算，即可解答。 11．【答案】2 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】由题意得： ， ；解得 ， ；所以 所以答案为2 【分析】两个最简二次根式能够合并，则说明二者是同类二次根式，所以其被开方数、根指数相同，依此建立方程组求解，再进一步代入求值即可 12．【答案】 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解： ， ∵ ， ∴ ； 故答案为 ． 【分析】根据二次根式的乘法法则化简求值即可。 13．【答案】1 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知：， ∴， 把代入得： 原式． 故答案为：1． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得，可求，再把代入中并计算即可． 14．【答案】 【知识点】分母有理化；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， ， ， ， 故答案为： 【分析】根据二次根式的加减运算结合题意进行运算即可求解。 15．【答案】（1）解： . （2）解： （3）解： 【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；化简含绝对值有理数 【解析】【分析】（1）先化简为最简二次根式，再合并即可求出答案. （2）根据绝对值的性质去绝对值，再化简合并即可求出答案. （3）结合平方差公式，二次根式的除法先化简，再合并即可求出答案. 16．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，分别化成最简二次根式，再计算加减即可求解； （2）先利用平方差公式将括号去掉，再计算除法，计算求解即可． 17．【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先将括号内各项化成最简二次根式，并合并同类二次根式，再计算除法运算即可； （3）先化简绝对值，求解零指数幂与负整数指数幂，再合并即可； （4）先计算平方差公式和完全平方根式作二次根式的乘法运算，作分母有理化，再合并即可． （1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； 18．【答案】（1）解：原式 （2）解：原式= 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先化简二次根式，进而根据二次根式的混合运算即可求解； （2）先化简，再根据二次根式的混合运算进行计算即可求解。 19．【答案】（1） （2）解：不能截出，理由： 若能截出，则两个正方形的边长分别为：和， ∵， ∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出． 【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；算术平方根的实际应用 【解析】【解答】（1）解：设正方形的边长为， ∴，而， ∴， ∴正方形的边长为； 【分析】（1）设正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案. （2）由两个正方形的边长分别为：和，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论． （1）解：设正方形的边长为， ∴，而， ∴， ∴正方形的边长为； （2）不能截出，理由： 若能截出，则两个正方形的边长分别为：和， ∵， ∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出． 20．【答案】（1）解： 的小数部分为，整数部分为3 （2）解：-（x-y）= 【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；实数的相反数 【解析】【解答】解：(1)∵1＜＜2， ∴3＜+2＜4， ∴+2的整数部分是1+2=3， +2的小数部分是﹣1； (2)∵2＜＜3， ∴12＜10+＜13， ∴10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12=﹣2， 即x=12，y=﹣2， ∴x﹣y=12﹣(﹣2) =12﹣+2 =14﹣， 则x﹣y的相反数是﹣14． 【分析】（1）先根据题意估算的大小，进而即可得到+2的大小，再结合题意即可求解； （2）先根据题意得到10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12=﹣2，进而即可得到x和y，再根据二次根式的减法结合题意即可求解。 21．【答案】（1）解：因为，， 所以， ． （2）解：因为，，可得， 则． 【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法 【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减运算法则，结合二次根式的加法运算和分母有理化的法则，准确计算，即可求解； （2）根据题意，先计算的值，结合完全平方公式进行计算，即可求解. （1）解：∵，， ∴， ． （2）∵，， ∴， ∴． 22．【答案】（1）解：①原式 ②原式 （2）解：原式 ​​​​​​​ （3）解： 【知识点】分母有理化；二次根式的加减法 【解析】【分析】（1）子分母有理化即可求解； （2）分母有理化，再就加减即可； （3）分母有理化后比较大小，即可求解． （1）解：①原式 ②原式 （2）解：原式 （3）解： 23．【答案】（1） （2）解：观察前面例子的过程和结果得： （3）解：反复运用得 = = ==-1+10=9． 【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律 【解析】【解答】（1）解：根据题意 故第一空填： 【分析】（1）仿照例子，分母进行有理化，分子分母同时乘以不为0的式子，由平方差公式可得分母为1，结果化到最简； （2）仿照例子和（1），把代数式有理化，即可得到变形规律； （n为正整数）； （3）把式子中的每一项都按照变形规律，都变成两项差的形式，可发现新的式子中，从第二项开始，前后两项可以抵消，即中间项的代数和都为0，最后可得第一项和最后-项相加，故简化后可得9. 24．【答案】（1）； （2）， 整理得：， 解得：， 则，不是关于的“平衡数” 【知识点】二次根式的加减法；定义新运算 【解析】【解答】解：(1) 2-4=-2，， 所以与-2是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数. 故答案为：；.【分析】掌握二次根式的加减运算，并理解题述“平衡数的概念” （1）利用“平衡数”的定义计算即可； （2）利用“平衡数”的定义计算即可。 25．【答案】（1） （2）∵∴． （3）∵∴ ∵ ∴ ∴把A式和B式的值代入A＋B中，得： 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的化简求值 【解析】【解答】（1）∵ ∴ 故答案为： 【分析】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式. （1）先进行变形可得：，利用完全平方公式进行变形可得：，再利用二次根式的性质：进行化简可求出答案． （2）先进行变形可得： ，利用完全平方公式进行变形可得：，再利用二次根式的性质：进行化简可求出答案． （3）先将A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质，把A式和B式的结果分别算出，再将A式和B式再代入A＋B可得：，再进行合并同类项可求出A＋B的值． （1）∵ ∴ 故答案为： （2）∵ ∴． （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴把A式和B式的值代入A＋B中，得： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3.2二次根式的加减法-北师大版(2025)数学八年级上册 一、选择题 1．（2025八上·福田期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：A、根据二次根式乘法法则，则，该选项正确． B、根据二次根式减法法则，，该选项错误． C、与不是同类二次根式，不能直接相加，即，该选项错误． D、，该选项错误． 故答案为：A． 【分析】利用二次根式的乘法，减法，加法，除法法则逐项判断解题． 2．（2025八上·昌图期末）下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A： 是最简二次根式，符合题意； B： ，不符合题意； C： ，不符合题意； D： ，不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。 3．（2025八上·沙坪坝期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；积的乘方运算 【解析】【解答】解：A、，故不符合题意； B、 ， 故不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； D、 ， 正确，故符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的加减分别计算，再判断即可. 4．（2025八上·高邑期中）已知 的整数部分为 ， 的小数部分为b，则a+b的值为（　　） A．10 B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为a=8， 的整数部分为1， 的小数部分为b： ， ∴a+b= ， 故答案为：D． 【分析】首先得出 的取值范围，进而分别得出a，b的值进而得出答案． 5．（2024八上·兰州新期末）若式子是最简二次根式，则x的值可能为（　　） A．0 B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解：A、当时，，不是最简二次根式，∴A不符合题意； B、当时，，不是最简二次根式，∴B不符合题意； C、当时，，是最简二次根式，∴C符合题意； D、当时，，不是最简二次根式，∴D不符合题意； 故答案为：C． 【分析】将各选项分别代入，再利用最简二次根式的定义逐项分析判断即可. 6．（2024八上·上海市月考）在下列式子中等号能成立的式子共有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：①，不成立，故不符合题意； ②，不成立，故不符合题意； ③，不成立，故不符合题意； ④与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； ⑤是最简二次根式，不能化简，不成立，故不符合题意； ∴成立的个数为0， 故选：A． 【分析】利用二次根式的性质，二次根式的加减分别计算，再判断即可． 7．（2025八上·新田期末）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的加减法 【解析】【解答】原式= ． 故答案为：C． 【分析】先利用二次根式化简，再进行相加。 8．（2025八上·松江期中）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法 【解析】【解答】A. 不能计算，故不符合题意； B. ，符合题意； C. ，故不符合题意 D. ，故不符合题意 故答案为：B． 【分析】利用二次根式的加减、二次根式的乘法、二次根式的性质及分母有理化逐项判断即可。 二、填空题 9．（2025八上·黄浦期中）化简： ＝　 　． 【答案】 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】 故答案为： ． 【分析】利用二次根式的乘法法则，把 化为最简的二次根式即可。 10．（2024八上·河北期末）　 　． 【答案】 【知识点】零指数幂；二次根式的加减法 【解析】【解答】解： 故答案为： . 【分析】运用零指数幂和二次根式的加减运算，即可解答。 11．（2025八上·上海月考）已知最简二次根式 与 可以合并，则 的值为　 　. 【答案】2 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】由题意得： ， ；解得 ， ；所以 所以答案为2 【分析】两个最简二次根式能够合并，则说明二者是同类二次根式，所以其被开方数、根指数相同，依此建立方程组求解，再进一步代入求值即可 12．（2025八上·普陀期中）化简： 　 　． 【答案】 【知识点】最简二次根式 【解析】【解答】解： ， ∵ ， ∴ ； 故答案为 ． 【分析】根据二次根式的乘法法则化简求值即可。 13．（2024八上·上海市月考）计算：　 　． 【答案】1 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知：， ∴， 把代入得： 原式． 故答案为：1． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得，可求，再把代入中并计算即可． 14．（2024八上·通道期末）观察：，，， 计算：=　 　． 【答案】 【知识点】分母有理化；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：∵，，， ∴， ， ， ， 故答案为： 【分析】根据二次根式的加减运算结合题意进行运算即可求解。 三、计算题 15．（2025八上·龙岗期末）计算： （1）； （2）； （3）。 【答案】（1）解： . （2）解： （3）解： 【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；化简含绝对值有理数 【解析】【分析】（1）先化简为最简二次根式，再合并即可求出答案. （2）根据绝对值的性质去绝对值，再化简合并即可求出答案. （3）结合平方差公式，二次根式的除法先化简，再合并即可求出答案. 16．（2024八上·坪山期末）化简： （1） （2） 【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质，分别化成最简二次根式，再计算加减即可求解； （2）先利用平方差公式将括号去掉，再计算除法，计算求解即可． 17．（2024八上·深圳期中）计算 （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先将括号内各项化成最简二次根式，并合并同类二次根式，再计算除法运算即可； （3）先化简绝对值，求解零指数幂与负整数指数幂，再合并即可； （4）先计算平方差公式和完全平方根式作二次根式的乘法运算，作分母有理化，再合并即可． （1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； 18．（2024八上·宝安期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）解：原式 （2）解：原式= 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算 【解析】【分析】（1）先化简二次根式，进而根据二次根式的混合运算即可求解； （2）先化简，再根据二次根式的混合运算进行计算即可求解。 四、解答题 19．（2025八上·承德期末）已知一块长为，宽为的长方形木板，如图． （1）与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______； （2）采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为和的正方形木板？试说明理由． 【答案】（1） （2）解：不能截出，理由： 若能截出，则两个正方形的边长分别为：和， ∵， ∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出． 【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；算术平方根的实际应用 【解析】【解答】（1）解：设正方形的边长为， ∴，而， ∴， ∴正方形的边长为； 【分析】（1）设正方形的边长为，可得，解方程即可求出答案. （2）由两个正方形的边长分别为：和，再用两个正方形的边长之和与7作比较即可得出结论． （1）解：设正方形的边长为， ∴，而， ∴， ∴正方形的边长为； （2）不能截出，理由： 若能截出，则两个正方形的边长分别为：和， ∵， ∴两个小正方形的边长之和大于木板的长，所以不能截出． 20．（2024八上·天元期末）阅读下面的文字，解答问题. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答下列问题： （1）求出的整数部分和小数部分； （2）已知：，其中是整数，且，请你求出的相反数. 【答案】（1）解： 的小数部分为，整数部分为3 （2）解：-（x-y）= 【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；实数的相反数 【解析】【解答】解：(1)∵1＜＜2， ∴3＜+2＜4， ∴+2的整数部分是1+2=3， +2的小数部分是﹣1； (2)∵2＜＜3， ∴12＜10+＜13， ∴10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12=﹣2， 即x=12，y=﹣2， ∴x﹣y=12﹣(﹣2) =12﹣+2 =14﹣， 则x﹣y的相反数是﹣14． 【分析】（1）先根据题意估算的大小，进而即可得到+2的大小，再结合题意即可求解； （2）先根据题意得到10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12=﹣2，进而即可得到x和y，再根据二次根式的减法结合题意即可求解。 21．（2025八上·郴州期末）设，． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）解：因为，， 所以， ． （2）解：因为，，可得， 则． 【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法 【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减运算法则，结合二次根式的加法运算和分母有理化的法则，准确计算，即可求解； （2）根据题意，先计算的值，结合完全平方公式进行计算，即可求解. （1）解：∵，， ∴， ． （2）∵，， ∴， ∴． 22．（2024八上·四川期中）北师大教材第48页中提到：我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题： （1）化简：，； （2）化简：； （3）比较与大小，并说明理由． 【答案】（1）解：①原式 ②原式 （2）解：原式 ​​​​​​​ （3）解： 【知识点】分母有理化；二次根式的加减法 【解析】【分析】（1）子分母有理化即可求解； （2）分母有理化，再就加减即可； （3）分母有理化后比较大小，即可求解． （1）解：①原式 ②原式 （2）解：原式 （3）解： 五、实践探究题 23．（2024八上·遂川期末）阅读下列解题过程： ， ， 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出 　 　 ； （2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的解法，请化简： 【答案】（1） （2）解：观察前面例子的过程和结果得： （3）解：反复运用得 = = ==-1+10=9． 【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；探索数与式的规律 【解析】【解答】（1）解：根据题意 故第一空填： 【分析】（1）仿照例子，分母进行有理化，分子分母同时乘以不为0的式子，由平方差公式可得分母为1，结果化到最简； （2）仿照例子和（1），把代数式有理化，即可得到变形规律； （n为正整数）； （3）把式子中的每一项都按照变形规律，都变成两项差的形式，可发现新的式子中，从第二项开始，前后两项可以抵消，即中间项的代数和都为0，最后可得第一项和最后-项相加，故简化后可得9. 24．（2024八上·河北期末）已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”． （1）与　 　是关于的“平衡数”，与　 　是关于的“平衡数”； （2）若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由． 【答案】（1）； （2）， 整理得：， 解得：， 则，不是关于的“平衡数” 【知识点】二次根式的加减法；定义新运算 【解析】【解答】解：(1) 2-4=-2，， 所以与-2是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数. 故答案为：；.【分析】掌握二次根式的加减运算，并理解题述“平衡数的概念” （1）利用“平衡数”的定义计算即可； （2）利用“平衡数”的定义计算即可。 25．（2024八上·吉安期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． （1）例如，∵， ∴______，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简； （3）利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 【答案】（1） （2）∵∴． （3）∵∴ ∵ ∴ ∴把A式和B式的值代入A＋B中，得： 【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的化简求值 【解析】【解答】（1）∵ ∴ 故答案为： 【分析】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式. （1）先进行变形可得：，利用完全平方公式进行变形可得：，再利用二次根式的性质：进行化简可求出答案． （2）先进行变形可得： ，利用完全平方公式进行变形可得：，再利用二次根式的性质：进行化简可求出答案． （3）先将A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质，把A式和B式的结果分别算出，再将A式和B式再代入A＋B可得：，再进行合并同类项可求出A＋B的值． （1）∵ ∴ 故答案为： （2）∵ ∴． （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴把A式和B式的值代入A＋B中，得： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$