3.2平面直角坐标系暑假预习练2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖平面直角坐标系核心概念与应用，梯度分明，适配暑假分层复习需求，培养抽象能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|象限判断、点到坐标轴距离|如单选题4、6及填空题14-16，直接考查基本概念，夯实基础| |提升层|坐标变换、距离公式应用|如单选题1、3及解答题18-19，需灵活运用概念解决对称、距离问题，培养推理意识| |拓展层|规律探究、实际情境应用|如单选题2、5及解答题23-24，结合动点规律、新定义“完美点”，发展创新意识与应用能力|

3.2平面直角坐标系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，是由的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（   ） A．横坐标和纵坐标都加2 B．横坐标和纵坐标都乘以2 C．横坐标和纵坐标都除以2 D．横坐标和纵坐标都减2 4．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 6．平面直角坐标系中，点位于第四象限，距离轴4个单位长度，距轴5个单位长度，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．若点在第一象限，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．方格纸上有A，B两点，若以B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以A为原点建立平面直角坐标系（横轴与纵轴的正方向与原平面直角坐标系一致），则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，棋盘上有若干个棋子，其中白棋和白棋的坐标分别为，，如果再放入一棋使之与白棋、白棋、黑棋构成一个轴对称图形，这个棋所放的位置可以是（    ） A． B． C． D． 10．若，则点在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 11．已知点，，若直线与轴平行，则a的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 12．如图，在平面直角坐标系中，过点且与轴垂直的直线上有、两点，若点的横坐标是，点到点的距离为，则点的坐标为（　　） A． B． C．或 D． 二、填空题 13．在一次寻宝游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志，点，，这两个标志点到“宝藏”点的距离都是2，则“宝藏”点的坐标是______． 14．在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为_______． 15．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是________． 16．点P在第一象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，则点P的坐标为________． 17．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．以点A为圆心，以长为半径画弧交x轴于点C，则点C的坐标为_____________． 三、解答题 18．（1）若点在第一、三象限的角平分线上，求a的值； （2）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 19．阅读下列一段文字，然后回答问题． 【阅读】 已知平面内两点，，则这两点间的距离可用下列公式计算： 例如：已知，，则这两点间的距离． 特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． 【解答】 （1）已知，，试求，两点间的距离； （2）已知，在平行于轴的同一条直线上，点的横坐标为5，点的横坐标为-1，试求，两点间的距离； （3）已知的顶点坐标分别为，，，你能判定的形状吗?请说明理由． 20．在平面直角坐标系中的位置如图，A，B，C三点在格点上，请作出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 21．位置与方向． (1)新华书店在公园的______ 偏______ ______ 方向______ 米处． (2)少年宫在公园南偏西方向米处，在图中画出少年宫的位置保留作图痕迹 (3)文化路与和平路平行，并且一端正对准新华书店，请你在图中画出文化路． 22．如图是某市区的部分简图，请建立适当的平面直角坐标系，并分别写出各地的坐标（每一个单位长度相当于100米）． 23．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． (1)点______（填“是”或“否”）“完美点”； (2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”； (3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”． 24．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：​（___，___），​（___，___），​（___，___）； (2)写出点的坐标 （是正整数）； (3)指出蚂蚁从点​到的移动方向． 《3.2平面直角坐标系》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A A A D C C B 题号 11 12 答案 C C 1．B 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题要掌握建立平面直角坐标系的方法．当坐标系原点改变时，点的坐标会相应改变．原题中，以为原点时的坐标为，说明在的左1单位、上2单位的位置．因此，以为原点时，的坐标应为原坐标的相反数． 【详解】以为原点时，的坐标为，表示在左侧1个单位、上方2个单位的位置． 当以为原点时，的位置相对于应向右移动1个单位，向下移动2个单位， 因此的坐标为． 故答案选：B． 2．D 【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为3和2，P、Q的速度和是5，求得每一次相遇的地点的坐标，找出规律即可解答． 【详解】解：∵点、、、， ∴，， ∴矩形的周长为， 由题意，经过1秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒， ∴第二次相遇点是的中点， 第三次相遇点是点， 第四次相遇点是点， 第五次相遇点是点， 第六次相遇点是点，……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2023次相遇点的坐标与第三次相遇点的坐标重合，即， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用、点的坐标规律探究，通过计算发现规律就可以解决问题． 3．B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据坐标系中点的位置可得，据此根据对应点坐标之间的关系可得答案． 【详解】解；由题意得，， ∴点A的横坐标和纵坐标都乘以2得到点的坐标，点B的横坐标和纵坐标都乘以2得到点的坐标， 故选；B． 4．A 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，利用平方的非负性判断横坐标的正负，再结合纵坐标的正负确定点所在象限． 【详解】解：∵任何实数的平方为非负数，即， ∴， 又∵， ∴点的横坐标为正，纵坐标为正，符合第一象限点的坐标特征， ∴点在第一象限． 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解． 【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则， ∴， 相加得：， ． ∵， ∴运动了1980秒时它到点；方向向左， 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故到2024秒，需由再向左运动秒， ， ∴2024秒时，这个粒子所处位置为 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了点的坐标，根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求出点A的横坐标与纵坐标，然后写出即可． 【详解】解：∵点A位于第四象限，距离x轴4个单位长度，距离y轴5个单位长度， ∴点A的横坐标为5，纵坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 7．D 【分析】直接利用点在第一象限得出ab＞0，a≠0，即可得出点B所在象限． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴＞0， ∴ab＞0，a≠0， ∴-a2＜0， 则点在第四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标的符号是解题关键． 8．C 【分析】本题考查坐标系原点变化时点的坐标变化规律．当原点由B变为A时，点B的新坐标是原坐标的相反数． 【详解】解：以B为原点时，A的坐标为， 则：A在B的右3个单位、下1个单位处． 当以A为原点时，B的位置相对于A应为左3个单位、上1个单位处， 故B的坐标为． 故选C． 9．C 【分析】本题考查了平面直角坐标系，轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 先建立平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，假设放入的棋为D时，当的坐标为时，此时构成的图形为以直线为对称轴的轴对称图形， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限；根据，得出，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ∴点在第三象限， 故选：B． 11．C 【分析】本题考查了当两个点的纵坐标相等时，它们的连线与x轴平行，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵直线与轴平行， ∴， ∴， 故选：C ． 12．C 【分析】本题考查了坐标与图形，解题关键是分类讨论，避免遗漏．根据题意分点在点的右侧时，点在点的左侧时，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：①当点在点的右侧时，点的坐标为； ②当点在点的左侧时，点的坐标为． 故选：C． 13． 【分析】根据点，，求得原点、坐标轴的位置，再根据两个标志点到“宝藏”点的距离都是2，即可求解． 【详解】解：根据点，，可得坐标原点、坐标轴的位置，如下图： 根据两个标志点到“宝藏”点的距离都是2，可以找到格点 使得两个标志点到“宝藏”点的距离都是2 故答案为：或 【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系的应用，熟练掌握平面直角坐标系的性质是解题的关键． 14．5 【分析】根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案． 【详解】解：点A（-5，3）到y轴的距离是：|-5|=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解决的关键． 15．4 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离为这点的纵坐标的绝对值是解题关键．根据点到轴的距离为这点的纵坐标的绝对值求解即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离是， 故答案为：4． 16． 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，以及象限内点的坐标特征，根据点到坐标轴的距离可知点P横坐标的绝对值是4，纵坐标的绝对值是1，因为点在第一象限，即可得到答案． 【详解】解：点P在第一象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为4， 点P的坐标为， 故答案为：． 17．或 【分析】本题考查了勾股定理，平面直角坐标系． 根据勾股定理求出，再结合A，C均在x轴作答即可． 【详解】因为点A，B的坐标分别为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以或． 故答案为：或 18．（1）；（2）P点坐标为或． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特殊位置特征（第一、三象限角平分线上点的坐标性质，点到两坐标轴距离相等的坐标性质），解题的关键是根据相应位置特征列出方程，求解未知量后得到答案． （1）利用第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等的性质，令，解方程求； （2）根据点到两坐标轴距离相等即横、纵坐标绝对值相等，分“横纵坐标相等”和“横纵坐标互为相反数”两种情况列方程，求解后代入点坐标公式，得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在第一、三象限的角平分线上，第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等， ∴． 移项得，即， 解得 （2）解：∵点到两坐标轴的距离相等，点到两坐标轴距离为横、纵坐标的绝对值， ∴，分两种情况： ①当时，移项得，即，解得． 此时，，点坐标为． ②当时，去括号得，移项得，即，解得． 此时，，点坐标为． ∴点的坐标为或． 19．（1）；（2）6；（3）是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据公式计算即可得出答案； （2）根据公式即可得出答案； （3）根据两点间的距离公式分别求出和的长度，再判断即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意可得：； （2）∵，在平行于轴的同一条直线上 ∴； （3） ∴ ∴为直角三角形.． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟悉并掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键. 20．见解析， 【分析】本题考查了画轴对称图形； 根据轴对称的性质找出点A，B，C关于y轴对称的，，的位置，顺次连接即可得到，然后根据所作图形可得点的坐标． 【详解】解：如图所示，点的坐标为． 21．(1)北 西 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，方向角，解决本题的关键是掌握方向角定义． （1）根据方向角定义即可解决问题； （2）根据方向角定义在图中画出少年宫的位置； （3）根据文化路与和平路平行，并且一端正对准新华书店，即可在图中画出文化路． 【详解】（1）解：如图，新华书店在公园的北偏西方向米处， 故答案为：北，西，，； （2）如图所示即为少年宫的位置； （3）如图所示文化路即为所求． 22．见解析． 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置． 以火车站为原点建立平面直角坐标系，写出各点坐标即可． 【详解】解：以火车站为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向建立平面直角坐标系， 火车站；体育场；市场；宾馆；文化宫； 医院；超市． 23．(1)是 (2)，点B是“完美点”； (3) 证明：∵， ∴点到原点的距离为， ∵为整数， ∴，均为整数， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，均为整数， ∴点C为“完美点”． 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据勾股定理求出的值，再根据新定义进行判断即可； （3）根据新定义进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为3，到轴的距离为4， ∴点到原点的距离为， ∴点分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数， ∴点是“完美点”； （2）解：由题意，， 解得， ∴，， ∴点到轴的距离为12，到轴的距离为5，到原点的距离为13，均为整数， ∴点B是“完美点”； （3）略 24．（1） ，， （2） （3） 移动方向为向上 【分析】（1） 在平面直角坐标系中可以直接找出答案； （2） 根据求出的各点坐标，得出规律； （3） 点中的正好是4的倍数，根据（2）题的答案可以分别得出点和的坐标，由此可以得到蚂蚁从点到的移动方向． 【详解】（1）解：求各点坐标 蚂蚁的移动规律是：向上→向右→向下→向右，每 步为一个循环， ​：从原点向上移动个单位，坐标为 ， ：从原点向右移动个单位，坐标为 ， ​：，完成个完整循环，横坐标为，纵坐标为，坐标为； （2）解：观察循环规律： 可得：，， 横坐标：，，，即横坐标为， 纵坐标始终为 ， 点​的坐标为 （ 是正整数）； （3）解：蚂蚁从​到的移动方向 ， 符合​的规律，坐标为， 下一个点​是新循环的第一步，移动方向为向上． 学科网（北京）股份有限公司 $