专题02 常用逻辑用语（专项训练）高一数学湘教版必修第一册

专题02 常用逻辑用语 常考题型·精准突破 题型1 充分条件与必要条件（高频） 题型2 全称量词与存在量词 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1充分条件与必要条件 1．已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 5．已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． ◆题型2 全称量词与存在量词 6．已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 7．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 8．已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 9．已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 2．现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 5．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 二、填空题 7．命题“”是命题“”的____________条件． 8．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 三、解答题 9．已知集合，，若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 10．已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 11．已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 12．已知，，或 (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 13．已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 14．设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 常考题型·精准突破 ◆题型1充分条件与必要条件 1.【答案】A 【解析】是奇数都是奇数，所以能推出，但推不出，所以是的充分非必要条件 2.【答案】B 【解析】由，解得，则当时，必有成立，所以必要性成立，当时，不等式不一定成立，所以充分性不成立，综上所述，“”是“”的必要不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件. 3.【答案】C 【解析】因为，所以，要使，则，所以.此时集合，， 要让，所以，解得.当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去；当时，，，满足.因此，若则且；反之，若且可得.即则“且”是“”的充要条件. 4.解：因为，则， 解得：，即 ， 则， 由题意，“”是“”的必要不充分条件， 即 ，且 ，则， 因此：， 解得：，所以 5.解：（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． ◆题型2 全称量词与存在量词 6.【答案】C 【解析】因为命题，所以是. 7.【答案】C 【解析】若命题：“，”为真命题，由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 8.【答案】C 【解析】对于命题，，，则，故命题为真命题； 对于命题，由可得，解得，命题为假命题，故命题为真命题. 9.解：（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题，所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； （2）由（1）可知：当命题为假命题时，，当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1.【答案】A 【解析】当时，且成立，即成立，则一定成立，充分性成立；反之，取，满足且成立，但不满足，即成立时，不一定成立，必要性不成立，所以命题是命题成立的充分不必要条件. 2.【答案】A 【解析】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入，根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 3.【答案】C 【解析】若，解得，即等价于.对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系，可知是的既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B：因为集合与集合相等，可知是的充要条件，故B错误；对于选项C：因为集合是集合的真子集，可知是的充分不必要条件，故C正确；对于选项D：因为集合是集合的真子集，可知是的必要不充分条件，故D错误. 4.【答案】B 【解析】由集合，，因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足；当时，由不等式，可得，即，要使得，则满足，即，解得；当时，由不等式，可得，即，要使得，则满足，即，解得，综上可得，实数的取值范围为. 5.【答案】BC 【解析】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件；由，得或，所以“”是“”的不必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件；由，得，所以“”是“”的必要条件；所以“”是“”的充要条件，故B正确；对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件；当时，有，但且，所以，且是的不必要条件；所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D，由，得或，所以是的不充分条件，由，得，所以是的必要条件；所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 6.【答案】AC 【解析】对于A选项，取，则，故A正确；对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”，若，不妨取，，此时，即“”“”，综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确；对于D选项，由全称量词命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故D错误. 二、填空题 7.【答案】必要不充分 【解析】设命题，命题，由推不出，如时，满足，但，所以充分性不满足；由能推出，因为，即，所以且，所以是的必要不充分条件.即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 8.【答案】 【解析】因为，且，若命题p：是真命题，则，即.命题q：为假命题，则，即，综合可得，所以实数a的取值范围是. 三、解答题 9.解：，使得是真命题，则， 则，即，则， ，，即， 故实数的取值范围为. 10.解：（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 11.解：（1）由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. （2）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 12.解：（1）由命题是真命题，则为假命题， 所以在上无解， 当时，则无解，满足题意， 当时，只需， 综上，； （2）由是的必要不充分条件，且为真命题时或， 所以是的真子集， 所以，得. 13.解：（1）由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. （2）若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 14.解：（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语 常考题型·精准突破 题型1 充分条件与必要条件（高频） 题型2 全称量词与存在量词 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1充分条件与必要条件 1．已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】是奇数都是奇数，所以能推出，但推不出，所以是的充分非必要条件 2．设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，解得，则当时，必有成立，所以必要性成立，当时，不等式不一定成立，所以充分性不成立，综上所述，“”是“”的必要不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件. 3．已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，所以，要使，则，所以.此时集合，， 要让，所以，解得.当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去；当时，，，满足.因此，若则且；反之，若且可得.即则“且”是“”的充要条件. 4．设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的值． 4.解：因为，则， 解得：，即 ， 则， 由题意，“”是“”的必要不充分条件， 即 ，且 ，则， 因此：， 解得：，所以 5．已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 5.解：（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． ◆题型2 全称量词与存在量词 6．已知命题，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为命题，所以是. 7．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若命题：“，”为真命题，由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 8．已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【解析】对于命题，，，则，故命题为真命题； 对于命题，由可得，解得，命题为假命题，故命题为真命题. 9．已知命题：，，命题：，. (1)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 9.解：（1）命题为真命题时，，当时，代数式， 要想，恒成立，只需即可； 命题为真命题时，有，或， 因为两个命题都是真命题，所以实数应同时满足上述条件，即， 因此实数的取值范围； （2）由（1）可知：当命题为假命题时，，当命题为假命题时，， 当命题为真命题时，命题为假命题时，有， 当命题为假命题时，命题为真命题时，有，或，解得， 综上所述：实数的取值范围，或. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】当时，且成立，即成立，则一定成立，充分性成立；反之，取，满足且成立，但不满足，即成立时，不一定成立，必要性不成立，所以命题是命题成立的充分不必要条件. 2．现有一个迷宫如图所示，小球从，，三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由迷宫图形可知， 若小球Ω从口滚动进入，根据通道走向，小球最终只能从口滚动出来， 所以“小球Ω从口滚动进入”能推出“小球Ω从口滚动出来”，充分性成立； 若小球Ω从口滚动出来，小球可能是从口滚动进入，也可能是从口滚动进入（由图可知从口进入最终也会从口出来）， 所以“小球Ω从口滚动出来”不能推出“小球Ω从口滚动进入”，必要性不成立． 综上所述，“小球Ω从口滚动进入”是“小球Ω从口滚动出来”的充分不必要条件． 3．“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，解得，即等价于.对于选项A：因为集合与集合之间不存在包含关系，可知是的既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B：因为集合与集合相等，可知是的充要条件，故B错误；对于选项C：因为集合是集合的真子集，可知是的充分不必要条件，故C正确；对于选项D：因为集合是集合的真子集，可知是的必要不充分条件，故D错误. 4．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合，，因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足；当时，由不等式，可得，即，要使得，则满足，即，解得；当时，由不等式，可得，即，要使得，则满足，即，解得，综上可得，实数的取值范围为. 5．（多选）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件；由，得或，所以“”是“”的不必要条件；所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件；由，得，所以“”是“”的必要条件；所以“”是“”的充要条件，故B正确；对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件；当时，有，但且，所以，且是的不必要条件；所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确；对于D，由，得或，所以是的不充分条件，由，得，所以是的必要条件；所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 6．（多选）下列说法正确的是（    ） A．， B．“”是“”的必要条件 C．若，，，则是的充分不必要条件 D．命题“，”的否定是“，” 【答案】AC 【解析】对于A选项，取，则，故A正确；对于B选项，若，不妨取，，此时，即“”“”，若，不妨取，，此时，即“”“”，综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C选项，因为，则为的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确；对于D选项，由全称量词命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故D错误. 二、填空题 7．命题“”是命题“”的____________条件． 【答案】必要不充分 【解析】设命题，命题，由推不出，如时，满足，但，所以充分性不满足；由能推出，因为，即，所以且，所以是的必要不充分条件.即命题“”是命题“”的必要不充分条件. 8．已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】因为，且，若命题p：是真命题，则，即.命题q：为假命题，则，即，综合可得，所以实数a的取值范围是. 三、解答题 9．已知集合，，若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 9.解：，使得是真命题，则， 则，即，则， ，，即， 故实数的取值范围为. 10．已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 10.解：（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． 11．已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 11.解：（1）由，. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以，解得， 当时，，符合题意， 故的取值范围是. （2）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，解得或. 所以当时，的取值范围是. 12．已知，，或 (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 12.解：（1）由命题是真命题，则为假命题， 所以在上无解， 当时，则无解，满足题意， 当时，只需， 综上，； （2）由是的必要不充分条件，且为真命题时或， 所以是的真子集， 所以，得. 13．已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 13.解：（1）由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. （2）若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 14．设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 14.解：（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $