专题01 集合（专项训练）高一数学湘教版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合核心概念与运算，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|约19题|三要素（元素个数/性质）、基本关系（子集/包含）、运算（交并集计算）|从概念（三要素）到关系（包含）再到运算（交并），形成完整逻辑链| |综合攻坚·知能拔高|15题|含实际情境（如参赛人数）、创新定义（笛卡尔积）及多问解答题|深化概念应用，结合数学建模与逻辑推理，体现知识迁移价值|

专题01 集合 常考题型·精准突破 考点一 集合的三要素与基本关系 题型1 集合的三要素（重） 题型2 集合的基本关系（高频） 考点二 集合的基本运算 题型1 交集（高频） 题型2 并集（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 集合的三要素与基本关系 ◆题型1集合的三要素 1．集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 【答案】B 【解析】，共5个元素． 2．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，，解得.∵，∴满足条件的组成的集合为． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，，，. 4．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，故A错误；对于B选项，令，解得，故，即B错误；对于C选项，当时，，故C正确；对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 5．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，且，当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去；若时，，符合题意.当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去.综上所述，. ◆题型2 集合的基本关系 6．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】至多一个解，当时，无解，故，当时，，解得，当时，，故所有的取值构成的集合为. 7．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【解析】由 ，则． 8．已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由全集，集合，根据集合补集的定义与运算，可得. 9．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和.设一元二次方程的两根为，则：，，所以，即，因此 10．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 10.解：（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 考点二 集合的基本运算 ◆题型1交集 11．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，又因为，所以，∴. 12．设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是小于8的自然数，所以，因为，所以，所以． 13．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对等式两边同时立方可得，移项整理得，因式分解为，解得或或，因此.又集合，. 14．已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 15．已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为，因为或，所以， 因为，所以. ◆题型2 并集 16．若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. 17．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，, 其中组成了所有整数， 则, 18．已知集合，或，若，且，求实数m的取值范围． 18.解：因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 19．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 19.解：（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解析】依题意，，由于，所以，解得，所以的最大值为. 2．已知集合，则的子集个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【解析】联立，得，解得，则的解为，，，集合，故，所以的子集个数是. 3．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】，则集合中元素都在集合中，若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去；若，方程无解；由题意知，则必有，此时，若，则，方程无实数根，，则或，当时，，此时；当时，，此时；综上可得，． 4．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为，则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 5．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，则，当只存在一个正数时，不妨设，则，则，当只存在一个负数时，不妨设，则，则，当时，，则，所以.∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 6．设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【解析】对于①，根据新定义，设，，根据定义且，则 ，而，显然，所以①错误．对于②，对于任意的，根据定义可知且，即或者．若，则； 若，则．所以，即 ．反之，对于任意的，则或者，若，则且，若，则且，所以且，即，所以．综上，，②正确．对于③，设，，，则，，，， 所以，所以③错误．对于④，已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法，从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确．综上，正确的命题有②④. 7．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【解析】由，得.①当时，可得，解得；②当时，可得，解得，综上，故选项AB正确. 8．（多选）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【解析】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根，设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且，因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、，所以或.当时，，则，所以，，；当时，，则， 所以，，.综上，则或，，中元素个数为，，故A错误，B正确，C错误，D正确. 二、填空题 9．已知集合．若，则实数________． 【答案】 【解析】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性，所以或， 解得，此时，符合题意，故 10．，，则______． 【答案】 【解析】解：因为，，得且.所以或或或.所以，故答案为： 11．设集合，则的元素个数为_____． 【答案】2 【解析】在的元素中，都不是平方数，小于2025，所以它们都不属于，而，所以的元素个数为2．故答案为：2. 12．设a，，若集合，则______． 【答案】0 【解析】因为右侧集合中有，分母不能为0，故，两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此，此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，，此时，符合条件.所以. 三、解答题 13．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 13.解：（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 14．设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 14.解：（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 15．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 15.解：（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 常考题型·精准突破 考点一 集合的三要素与基本关系 ◆题型1集合的三要素 1.【答案】B 【解析】，共5个元素． 2.【答案】D 【解析】，，，解得.∵，∴满足条件的组成的集合为． 3.【答案】A 【解析】因为，所以，，，. 4.【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，故A错误；对于B选项，令，解得，故，即B错误；对于C选项，当时，，故C正确；对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 5.【答案】C 【解析】因为集合，且，当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去；若时，，符合题意.当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去.综上所述，. ◆题型2 集合的基本关系 6.【答案】D 【解析】至多一个解，当时，无解，故，当时，，解得，当时，，故所有的取值构成的集合为. 7.【答案】B 【解析】由 ，则． 8.【答案】D 【解析】由全集，集合，根据集合补集的定义与运算，可得. 9.【答案】B 【解析】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和.设一元二次方程的两根为，则：，，所以，即，因此 10.解：（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 考点二 集合的基本运算 ◆题型1交集 11.【答案】D 【解析】令，则，又因为，所以，∴. 12.【答案】C 【解析】因为是小于8的自然数，所以，因为，所以，所以． 13.【答案】B 【解析】对等式两边同时立方可得，移项整理得，因式分解为，解得或或，因此.又集合，. 14.【答案】A 【解析】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 15.【答案】B 【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为，因为或，所以， 因为，所以. ◆题型2 并集 16.【答案】D 【解析】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. 17.【答案】A 【解析】，，, 其中组成了所有整数， 则, 18.解：因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 19.解：（1）当时，， 又集合 ，则； （2）由得，所以， 即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即. 当时，有或，解得， 综上，实数的取值范围为． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1.【答案】B 【解析】依题意，，由于，所以，解得，所以的最大值为. 2.【答案】A 【解析】联立，得，解得，则的解为，，，集合，故，所以的子集个数是. 3.【答案】A 【解析】，则集合中元素都在集合中，若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去；若，方程无解；由题意知，则必有，此时，若，则，方程无实数根，，则或，当时，，此时；当时，，此时；综上可得，． 4.【答案】B 【解析】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为，则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 5.【答案】D 【解析】当时，，则，当只存在一个正数时，不妨设，则，则，当只存在一个负数时，不妨设，则，则，当时，，则，所以.∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 6.【答案】D 【解析】对于①，根据新定义，设，，根据定义且，则 ，而，显然，所以①错误．对于②，对于任意的，根据定义可知且，即或者．若，则； 若，则．所以，即 ．反之，对于任意的，则或者，若，则且，若，则且，所以且，即，所以．综上，，②正确．对于③，设，，，则，，，， 所以，所以③错误．对于④，已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法，从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确．综上，正确的命题有②④. 7.【答案】AB 【解析】由，得.①当时，可得，解得；②当时，可得，解得，综上，故选项AB正确. 8.【答案】BD 【解析】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根，设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且，因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、，所以或.当时，，则，所以，，；当时，，则， 所以，，.综上，则或，，中元素个数为，，故A错误，B正确，C错误，D正确. 二、填空题 9.【答案】 【解析】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性，所以或， 解得，此时，符合题意，故 10.【答案】 【解析】解：因为，，得且.所以或或或.所以，故答案为： 11.【答案】2 【解析】在的元素中，都不是平方数，小于2025，所以它们都不属于，而，所以的元素个数为2．故答案为：2. 12.【答案】0 【解析】因为右侧集合中有，分母不能为0，故，两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此，此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，，此时，符合条件.所以. 三、解答题 13.解：（1）因为A是B的真子集， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）因为B是A的子集， 因为，则，又， 所以. 14.解：（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 15.解：（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 常考题型·精准突破 考点一 集合的三要素与基本关系 题型1 集合的三要素（重） 题型2 集合的基本关系（高频） 考点二 集合的基本运算 题型1 交集（高频） 题型2 并集（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 集合的三要素与基本关系 ◆题型1集合的三要素 1．集合且的元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无穷多个 2．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 5．已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． ◆题型2 集合的基本关系 6．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 8．已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 9．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 考点二 集合的基本运算 ◆题型1交集 11．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C．或 D． ◆题型2 并集 16．若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 17．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 18．已知集合，或，若，且，求实数m的取值范围． 19．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若，求实数m的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．已知集合，则的子集个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 3．已知实数a，b，设，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6．设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 7．（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．（多选）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 二、填空题 9．已知集合．若，则实数________． 10．，，则______． 11．设集合，则的元素个数为_____． 12．设a，，若集合，则______． 三、解答题 13．设全集，集合，非空集合. (1)若A是B的真子集，求实数a的取值范围； (2)若B是A的子集，求实数a取值范围. 14．设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 15．已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $