2.2.3 两条直线的位置关系第1课时两条直线的相交、平行与重合（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦两条直线相交、平行与重合的判定这一核心知识点，从方程组解的情况切入，系统梳理斜率形式（k1≠k2相交，k1=k2且b1≠b2平行等）和一般式中法向量共线与否的判定条件，拓展过交点的直线系方程，构建完整知识支架。 该资料亮点在于分层设计，通过“特别提醒”辨析斜率存在前提培养严谨数学思维，例题和练习结合各地期中题，用数学语言规范判定过程。课中助力教师系统教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第二章 平面解析几何 2.2.3　两条直线的位置关系 第1课时　两条直线的相交、平行与重合 课标要点 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜率判定两条直线平行． 学习重难点 重点： 两条直线平行、相交、重合的条件． 难点： 运用两条直线位置关系的判定方法解决问题． 知识点 两条直线的相交、平行与重合 (1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论： l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则判断两条直线的位置关系可以用法向量来处理． 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，不难看出： ①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1； ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ(λ≠0)，使得. (3)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件是C1＝C2． 随学随练特别提醒 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)两条不重合直线平行的判定的一般结论：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2的斜率都不存在． [拓展]　过两直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)．m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)是过l1与l2交点的所有直线． 1．（25-26高一下·重庆·期中）若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行系数关系计算求解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 2．（25-26高二上·黑龙江大庆期中）对于两条斜率存在且不重合的直线和，的充要条件为______；的充要条件为______． 【答案】 题型两条直线相交、平行与重合的判定 ▌例1（25-26高二上·湖北·期中）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，根据两直线的斜率不相等，这两条直线一定相交，即得解. 【详解】由题意，直线的斜率为， 直线的斜率为， 两直线斜率一定不相等，故两直线相交. 故选：B ▌对点练1-1．（25-26高二上·江苏常州·期中）与直线相交的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项计算所给直线的斜率，与原直线的斜率比较即可得. 【详解】直线斜率为； 对A：可化为，故两直线重合，故A错误； 对B：斜率为，故两直线平行，故B错误； 对C：斜率为，故两直线平行，故C错误； 对D：可化为，斜率为， 则两直线相交，故D正确. 故选：D. 题型利用平行关系求直线的方程 ▌例1（24-25高二下·上海·期中）（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）直线可化为， 由直线的斜截式方程可知； （2）直线的斜率为， 过，两点的直线斜率为， 由题意可得，解得， 此时，点不在直线， 故. ▌对点练1-1（25-26高二下·江西赣州·期中）已知直线与直线，若，则（   ） A．1或 B．或5 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据直线的平行可得出关于的方程，求得的值，检验后即得答案. 【详解】因为， 所以，解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符题意； 当时，，，两直线平行， 所以. 题型 过定点的直线系问题 ▌例1（25-26高二下·四川南充·阶段检测）（多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 【答案】AC 【详解】直线，化为斜截式. A：斜率，倾斜角，正确. B：代入得轴截距为，非，错误. C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确. D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误. ▌对点练1-1（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【详解】直线的斜率为，所求直线与其平行，故其斜率为， 又直线过点，则所求直线的方程为，即. 故选：C 基础通关 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 【答案】/ 【详解】设直线和的倾斜角分别为，两直线的夹角为， 则， 所以， 而，，，解得， 则直线和的夹角的余弦值为. 2．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 3．（25-26高二上·广西玉林·期中）（多选）已知直线的斜率是-2，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的一个方向向量为 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．在轴上的截距等于 【答案】BCD 【分析】由斜率可确定方向向量判断A，由平行垂直的斜率关系可判断BC，由直线方程可判断D. 【详解】解：因为直线的斜率，因此不是直线的一个方向向量，A错误； 直线的斜率，且经过点，故直线方程为，即，它与直线平行，B正确； 直线的斜率为，，垂直，C正确； 在直线方程中，令得，故在轴上的截距等于，D正确； 故选：BCD 4．（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【详解】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（23-24高二上·江苏扬州·期末）（多选）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，平行，则，的斜率相等 B．若，斜率相等，则，平行 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，垂直，则，的斜率乘积等于 【答案】BC 【分析】AD选项，可举出反例；BC选项，根据斜率于直线的平行，垂直关系可以判定. 【详解】A选项，当斜率均不存在，也平行，故A错误； B选项，根据两直线平行的判定定理，当两条不重合的直线斜率存在且相等时，两直线平行，故B正确； C选项，根据两直线垂直的判定定理，若两直线的斜率都存在，且乘积为，则两直线垂直，故C正确； D选项，当两直线中，其中一条斜率不存在，另一条斜率为0，也垂直，故D错误. 故选：BC 6．（25-26高二上·江西·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．任意一条直线的倾斜角都存在 B．倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C．两条平行的直线一定有相等的斜率 D．若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 【答案】AD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据倾斜角的定义可知易得A正确， 由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确； 直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误. 故选:AD. 7．（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 9．（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 【答案】 【详解】已知直线与直线平行， 两直线斜率相等，即，解得， 直线的截距为1，直线的截距为0，不相等， ． 10．（25-26高二下·上海·期中）已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线与直线垂直的条件直接求解； （2）利用直线与直线平行的条件直接求解． 【详解】（1）若，则，解得：. （2）若，则， 当时，即，解得：或， 又，所以. 综上，； 素养提升 11．（25-26高二上·江西萍乡·期中）直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方向向量求得斜率，得到直线的方程，再比较选项即可求解. 【详解】由直线的方向向量， 可得， 则直线的方程为：， 即， 结合选项可知只有C满足， 故选：C 12．（25-26高二上·浙江·期中）（多选）已知直线和直线，则下列说法正确的有（   ） A．若表示与轴平行或重合的直线，则 B．若表示与轴平行或重合的直线，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据直线的一般式，结合直线与直线位置关系列方程，解方程即可. 【详解】A，B选项：斜率为时，与轴平行或重合，则，故A选项正确，B选项错误； C选项：若，且或时，若且或时，与重合，故C选项错误； D选项：若，则，D选项正确； 故选：AD. 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若直线，下列直线与平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两条直线平行时的条件即可求出. 【详解】直线，其中、、， 对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线不平行，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线重合，故不正确. 对于选项，、、，此时，，，两条直线平行，故正确. 故选：. 14．（24-25高二上·云南昆明·期中）（多选）已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 【答案】CD 【分析】根据直线过定点、两直线垂直和平行的条件以及两平行直线的距离公式进行判断计算即可. 【详解】对于A：变形为， 令得，因此直线过定点，故A错误； 对于B：当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C：当时，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D：当时，则满足，得， 此时，， 则两直线间的距离为，故D正确. 故选：CD. 迁移创新 15．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）（多选）设为实数，直线，下列说法正确的有（    ） A．时，在两坐标轴上截距相等 B．时，与没有公共点 C．经过原点 D．原点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】通过代入求值、分析直线平行关系、验证过原点情况及利用直线恒过点求距离最大值来逐一判断选项. 【详解】选项A，当时，直线的方程为.令，得横截距为； 令，得纵截距为，截距相等，故A正确. 选项B，当时，，，两直线斜率相同且纵截距不同， 平行无公共点，故B正确. 对于选项C，将代入方程，得，故不经过原点，C错误. 对于选项D，将方程整理为，所以直线恒过定点， 原点到距离的最大值为原点到的距离，故D正确. 故选：ABD 16．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用点斜式求解作答. 【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求直线的方程是，即. 故答案为：. 17．（25-26高二上·天津·期中）过点且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出与已知直线平行的方程为，再将点代入方程计算即可求解. 【详解】由题意知，设所求直线方程为， 将点代入，得，解得， 所以所求直线方程为. 故选：D 18．（25-26高二上·陕西渭南·期中）过点且与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与直线平行的直线方程为，将点代入求出，即可得解. 【详解】因为所求直线与直线平行，所以可设所求直线的方程为， 将点代入直线的方程，得，解得， 所以所求直线的方程为. 故选：A 19．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【详解】（1）设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； （2）设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 20．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过点和； (3)经过点，且与直线平行. （注意：直线方程化成一般式） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助斜率与倾斜角的关系求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （2）借助斜率公式求出斜率后，利用点斜式计算即可得； （3）借助直线平行性质，设出直线后代入点计算即可得. 【详解】（1）因为直线过点，斜率， 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； （2）因为直线经过点和， 所以直线的斜率. 代入直线的点斜式方程得：. 所以直线的方程为； （3）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线的方程为. 因为直线经过点， 所以，即. 所以直线的方程为. 试卷第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.2.3　两条直线的位置关系 第1课时　两条直线的相交、平行与重合 课标要点 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜率判定两条直线平行． 学习重难点 重点： 两条直线平行、相交、重合的条件． 难点： 运用两条直线位置关系的判定方法解决问题． 知识点 两条直线的相交、平行与重合 (1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论： l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则判断两条直线的位置关系可以用法向量来处理． 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，不难看出： ①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1； ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ(λ≠0)，使得. (3)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件是C1＝C2． 随学随练特别提醒 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)两条不重合直线平行的判定的一般结论：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2的斜率都不存在． [拓展]　过两直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)．m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)是过l1与l2交点的所有直线． 1．（25-26高一下·重庆·期中）若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江大庆期中）对于两条斜率存在且不重合的直线和，的充要条件为______；的充要条件为______． 题型两条直线相交、平行与重合的判定 ▌例1（25-26高二上·湖北·期中）直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 ▌对点练1-1．（25-26高二上·江苏常州·期中）与直线相交的直线方程是（    ） A． B． C． D． 题型利用平行关系求直线的方程 ▌例1（24-25高二下·上海·期中）（1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. ▌对点练1-1（25-26高二下·江西赣州·期中）已知直线与直线，若，则（   ） A．1或 B．或5 C．1 D． 题型 过定点的直线系问题 ▌例1（25-26高二下·四川南充·阶段检测）（多选）已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．过且与直线平行的直线方程为 D．过且与直线垂直的直线方程为 ▌对点练1-1（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 2．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 3．（25-26高二上·广西玉林·期中）（多选）已知直线的斜率是-2，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的一个方向向量为 B．与直线平行 C．与直线垂直 D．在轴上的截距等于 4．（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二上·江苏扬州·期末）（多选）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，平行，则，的斜率相等 B．若，斜率相等，则，平行 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，垂直，则，的斜率乘积等于 6．（25-26高二上·江西·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．任意一条直线的倾斜角都存在 B．倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C．两条平行的直线一定有相等的斜率 D．若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 7．（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 8．（2026·河南南阳·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026·上海奉贤·二模）若直线与直线平行，则实数a的值为________． 10．（25-26高二下·上海·期中）已知两条直线 和 (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 素养提升 11．（25-26高二上·江西萍乡·期中）直线过点，且一个方向向量为，下列直线与平行的为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·浙江·期中）（多选）已知直线和直线，则下列说法正确的有（   ） A．若表示与轴平行或重合的直线，则 B．若表示与轴平行或重合的直线，则 C．若，则 D．若，则 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若直线，下列直线与平行的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·云南昆明·期中）（多选）已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 迁移创新 15．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）（多选）设为实数，直线，下列说法正确的有（    ） A．时，在两坐标轴上截距相等 B．时，与没有公共点 C．经过原点 D．原点到直线距离的最大值为 16．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 17．（25-26高二上·天津·期中）过点且平行于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·陕西渭南·期中）过点且与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 20．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）求满足下列条件的直线的方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过点和； (3)经过点，且与直线平行. （注意：直线方程化成一般式） 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $