2.2.3 第1课时 两条直线的相交、平行与重合-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册创新导学案全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修 第一册 RJ 2.2.3　两条直线的位置关系 第1课时　两条直线的相交、平行与重合 (教师独具内容) 课程标准：1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜率判定两条直线平行． 教学重点：两条直线平行、相交、重合的条件． 教学难点：运用两条直线位置关系的判定方法解决问题． 核心素养：1.通过推导两条直线相交、平行或重合的充要条件提升数学抽象素养.2.通过求两条直线的交点坐标、判定两条直线的位置关系及应用两条直线平行解决有关问题提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点　　两条直线的相交、平行与重合 (1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论： l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则判断两条直线的位置关系可以用法向量来处理． 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，不难看出： ①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1； ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ(λ≠0)，使得. (3)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件是C1＝C2． [提醒]　(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)两条不重合直线平行的判定的一般结论：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2的斜率都不存在． [拓展]　过两直线交点的直线系方程 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线的方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)．m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)是过l1与l2交点的所有直线． 1．(两直线的交点)直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，1) D．(2，2) 答案：A 2．(由两直线平行求参数)已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 答案：A 3．(判断两直线的位置关系)直线(m2＋1)x＋3y－3m＝0和直线3x－2y＋m＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 答案：C 4．(利用平行关系求直线的方程)过点A(1，2)且平行于直线x－3y＋1＝0的直线的方程为________________． 答案：x－3y＋5＝0 题型一　两条直线相交、平行与重合的判定　 例1　判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋； (3)l1：(－1)x＋y＝3，l2：x＋(＋1)y＝2； (4)l1：x＝5，l2：x＝6. [解]　(1)把l1的方程化为3x－y＋4＝0， 则A1＝3，B1＝－1，C1＝4；A2＝2，B2＝－6，C2＝1. 因为≠，所以l1与l2相交． (2)A1＝2，B1＝－6，C1＝4； 把l2的方程化为x－3y＋2＝0， 所以A2＝1，B2＝－3，C2＝2. 因为＝＝，所以l1与l2重合． (3)把l1的方程化为(－1)x＋y－3＝0， 把l2的方程化为x＋(＋1)y－2＝0， 则A1＝－1，B1＝1，C1＝－3；A2＝1，B2＝＋1，C2＝－2. 因为＝≠，所以l1与l2平行． (4)把l1的方程化为x－5＝0， 把l2的方程化为x－6＝0， 则A1＝1，B1＝0，C1＝－5； A2＝1，B2＝0，C2＝－6， 因为A1B2－A2B1＝0， 而A2C1－A1C2≠0，所以l1与l2平行． 【感悟提升】两条直线相交、平行与重合的判定方法 设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)若A1B2－A2B1≠0或≠(A2B2≠0)，则两直线相交． (2)若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)或＝≠(A2B2C2≠0)，则两直线平行． (3)若A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或B1C2－B2C1＝0)或＝＝(A2B2C2≠0)，则两直线重合． 【跟踪训练】 1．已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交？(2)平行？(3)重合？ 解：因为直线l1：x＋my＋6＝0， 直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， 所以A1＝1，B1＝m，C1＝6；A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. (1)若l1与l2相交， 则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0， 即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0， 即m≠3，且m≠－1. 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交． (2)若l1∥l2，则有 即即 即所以m＝－1. 故当m＝－1时，直线l1与l2平行． (3)若l1与l2重合， 则有即 所以所以m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合． 题型二　利用平行关系求直线的方程　 例2　分别求符合下列条件的直线的方程． (1)过点P(2，－1)且与直线l：3x－2y－6＝0平行； (2)与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为. [解]　(1)解法一：由已知直线l：3x－2y－6＝0得斜率kl＝，因为所求直线与直线l平行，所以所求直线的斜率k＝. 由点斜式得所求直线的方程为y＋1＝(x－2)，即3x－2y－8＝0. 解法二：设所求直线的方程为3x－2y＋C＝0. 由点P(2，－1)在所求直线上，得3×2－2×(－1)＋C＝0，所以C＝－8. 故所求直线的方程为3x－2y－8＝0. (2)解法一：设所求直线的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1)， 令x＝0，得所求直线在y轴上的截距为－， 令y＝0，得所求直线在x轴上的截距为－， 所以－＋＝，则m＝－4， 所以所求直线的方程为3x＋4y－4＝0. 解法二：设所求直线的方程为＋＝1， 因为解得 所以所求直线的方程为3x＋4y－4＝0. 【感悟提升】利用平行关系求直线方程的方法 (1)求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，可设直线的方程为y＝kx＋m(m≠b)，代入已知条件求出参数m即可． (2)求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线的方程时，可设直线的方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出参数m即可． 注意：对于斜率为0及不存在的情形要单独讨论． 【跟踪训练】 2．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线的方程． 解：由方程组得 即交点坐标为. 解法一：∵所求直线和直线3x＋y－1＝0平行， ∴所求直线的斜率k＝－3， ∴根据点斜式有y－＝－3， 即所求直线的方程为15x＋5y＋16＝0. 解法二：设所求直线的方程为3x＋y＋C＝0， 由于直线过点， 因此3×－＋C＝0，解得C＝. ∴所求直线的方程为3x＋y＋＝0，即15x＋5y＋16＝0. (2)已知P(－2，m)，Q(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值． 解：当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意； 当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝＝，kMN＝＝. 因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1. 当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合． 综上，m的值为0或1. 题型三　过定点的直线系问题　 例3　求证：不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点． [证明]　证法一：当m＝1时，直线的方程为y＝－4； 当m＝时，直线的方程为x＝9. 这两条直线的交点为(9，－4)． 又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上， 故不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 证法二：将已知方程以m为未知数整理， 得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0. 由m取值的任意性， 得解得 所以不论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)． 【感悟提升】解含有参数的直线恒过定点问题的方法 方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 【跟踪训练】 3．已知直线l：kx－y＋2＋k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围． 解：(1)证明：直线l：kx－y＋2＋k＝0，即k(x＋1)＋(－y＋2)＝0， 联立解得 故直线l过定点(－1，2)． (2)直线l：kx－y＋2＋k＝0，即y＝kx＋2＋k， 因为直线不经过第四象限，所以 解得k≥0， 故k的取值范围是[0，＋∞)． 1．斜率为2，且过直线y＝4－x和直线y＝x＋2的交点的直线的方程为(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝2x－2 D．y＝2x＋2 答案：A 解析：交点坐标为(1，3)，所求直线的方程为y－3＝2(x－1)，整理得y＝2x＋1. 2．若直线l1：mx＋2y－2＝0与l2：5x＋(m＋3)y－5＝0平行，则m＝(　　) A．－ B．2 C．－5 D．－5或2 答案：C 解析：因为直线l1：mx＋2y－2＝0与l2：5x＋(m＋3)y－5＝0平行，所以m(m＋3)－2×5＝0，解得m＝2或m＝－5，当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去，所以m＝－5.故选C. 3．(多选)三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0和ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a的值可能为(　　) A．－1 B．－2 C. D. 答案：AD 解析：三条直线中有两条平行时，三条直线才可能有两个交点，易知直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0不平行．若直线x－2y＋1＝0与ax＋2y－3＝0平行，则＝≠，∴a＝－1；若直线x＋3y－1＝0与ax＋2y－3＝0平行，则＝≠，∴a＝.∴a的值为－1或.故选AD. 4．已知P(a，b)是直线2(x＋1)－3(y＋1)＝0上任意一点，则直线ax＋by－5＝0恒过定点的坐标为________． 答案：(10，－15) 解析：由题意，得2(a＋1)－3(b＋1)＝0，∴b＝a－，∴直线ax＋by－5＝0可化为ax＋y－5＝0，即a－y－5＝0，由解得故直线ax＋by－5＝0恒过定点(10，－15)． 5．已知直线l与直线2x－y－5＝0的倾斜角相等，且直线l过点A(3，2)，则直线l的方程为________． 答案：2x－y－4＝0 解析：由直线l与直线2x－y－5＝0的倾斜角相等，可得直线l的斜率为2，又直线l过点A(3，2)，则直线l的方程为y－2＝2(x－3)，即2x－y－4＝0. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考点 由两条直线平行求参数 求直线过的定点 由两条直线平行求参数；充分、必要条件的判断 直线系问题 由两条直线平行或三条直线共点求参数 由两条直线平行求参数 由两条直线平行或三条直线共点求参数 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考点 直线系问题；求斜率的取值范围 利用平行关系求直线的方程 由两条直线平行、相交、重合求参数的取值范围 求两条直线的交点坐标；用向量解决夹角问题 由两条直线平行或交于某点求参数 由两条直线平行求参数；求两条直线的交点坐标；证明定直线问题 求直线过的定点；求直线的方程；一般式化为斜截式 一、选择题 1．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为(　　) A．－ B. C．－6 D．6 答案：C 解析：由题意得l1∥l2，∴kAB＝kMN.∵kAB＝＝－，kMN＝＝3，∴－＝3，∴a＝－6，经检验a＝－6满足题意，∴a＝－6. 2．已知直线l：(k＋1)x＋2ky＋3k－1＝0经过定点A，则点A的纵坐标为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：A 解析：由(k＋1)x＋2ky＋3k－1＝0，得k(x＋2y＋3)＋x－1＝0，令得y＝－2. 3．“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与直线l2：x＋ay＋2＝0平行”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 解析：当直线l1：ax＋y＋2＝0与直线l2：x＋ay＋2＝0平行时，a2－1＝0，解得a＝±1，经检验当a＝1时，两直线重合，所以a＝－1，所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与直线l2：x＋ay＋2＝0平行”的既不充分也不必要条件．故选D. 4．已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x－4y－5＝0，在直角坐标平面上，集合{l|l：x－2y＋3＋λ(2x－4y－5)＝0，λ∈R}表示(　　) A．过l1和l2交点的直线集合 B．过l1和l2交点的直线集合，但不包括直线l2 C．平行于直线l1的集合 D．平行于直线l2的集合 答案：D 解析：∵l1与l2平行，∴排除A，B；∵当λ＝0时，集合表示l1，不与l1平行，∴排除C.故选D. 5．(多选)平面上三条直线x－2y＋2＝0，x－2＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分成六部分，则k可能的取值为(　　) A．0 B．－2 C．－1 D．1 答案：ABC 解析：设l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0，如图，l1与l2交于点A(2，2)，显然l3恒过坐标原点，当l3∥l2时，符合题意，此时k＝0；当l3∥l1时，符合题意，此时k＝－2；当l3过点A(2，2)时，符合题意，此时k＝－1.当k≠0，－2，－1时，三条直线将平面分成7个部分．综上可知，k可能的取值为0，－2，－1.故选ABC. 二、填空题 6．已知直线l：(m2＋m－2)x＋(m2＋3m＋2)y－5＝0，若l与x轴平行，则m＝________；若l与y轴平行，则m＝________． 答案：1　－1 解析：若l与x轴平行，则m2＋m－2＝0，且m2＋3m＋2≠0，∴m＝1.若l与y轴平行，则m2＋m－2≠0，且m2＋3m＋2＝0，∴m＝－1. 7．下面三条直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝4不能构成三角形，请给出一个符合题意的m的值：________． 答案：－(或2或－2) 解析：当直线l1∥l3时，－3m＝2，得m＝－；当直线l2∥l3时，－m＝－2，得m＝2；解方程组得直线l1和l2的交点为(1，1)，当直线l3过点(1，1)时，2－m＝4，解得m＝－2.综上，当m＝－或m＝2或m＝－2时，三条直线不能构成三角形． 8．已知直线l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________． 答案：(－∞，－1)∪ 解析：已知直线l：(2＋a)x＋(a－1)y－3a＝0，即(x＋y－3)a＋2x－y＝0，令解得所以直线l过定点A(1，2)，如图，直线l过点(－3，0)，(3，0)时的斜率分别为＝，＝－1，因为直线l在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪. 三、解答题 9．(1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线的方程； (2)求过点P(3，2)且与经过点A(0，1)，B(－2，－1)的直线平行的直线的方程． 解：(1)解法一：已知直线的斜率为－， ∵所求直线与已知直线平行，∴它的斜率也是－，根据点斜式，得到所求直线的方程是y＋4＝－(x－1)，即2x＋3y＋10＝0. 解法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)， ∵所求直线经过点A(1，－4)， ∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线的方程为2x＋3y＋10＝0. (2)经过点A(0，1)，B(－2，－1)的直线的斜率为k＝＝1，则所求直线的斜率为1， ∵所求直线经过点P(3，2)， ∴所求直线的方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0. 10．已知直线l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋3＝0，当m为何值时，满足下列条件： (1)l1与l2相交；(2)l1∥l2；(3)l1与l2重合． 解：(1)由(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，得(m－2)2≠4，即m－2≠±2， ∴当m≠4且m≠0时，l1与l2相交． (2)由(m－2)(m－2)－2×2＝0，得m＝0或m＝4， 当m＝0时，两直线的方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3＝0，此时l1∥l2； 当m＝4时，两直线的方程分别为2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，此时l1∥l2. 故m＝0或m＝4时，l1∥l2. (3)由(2)知，l1与l2不可能重合． 11．若直线l1：2x－y＋1＝0与x轴交于点A，直线l2：x－3y－3＝0与x轴交于点B，直线l1与l2交于点P，则∠APB＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：直线l1：2x－y＋1＝0与x轴交于点A，直线l2：x－3y－3＝0与x轴交于点B(3，0)，由得所以P，所以＝，＝，所以cos〈，〉＝＝＝，所以〈，〉＝，所以∠APB＝.故选D. 12．设集合A＝，B＝{(x，y)|4x＋ay－16＝0}，若A∩B＝∅，则实数a＝________． 答案：－2或4 解析：集合A表示直线y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1上除去点(1，3)的点的集合，集合B表示直线4x＋ay－16＝0上的点的集合．当A∩B＝∅时，直线y＝2x＋1与4x＋ay－16＝0平行或直线4x＋ay－16＝0过点(1，3)，所以－＝2或4＋3a－16＝0，解得a＝－2或a＝4. 13．已知m∈R，设直线l1：x－my＋1＝0，直线l2：mx－4y－m＋4＝0. (1)若l1∥l2，求m的值； (2)当l1与l2相交时，求交点I的坐标(用m表示)，并证明点I恒在一条定直线上． 解：(1)因为l1∥l2，所以1×(－4)＝(－m)×m，解得m＝±2. 当m＝2时，直线l1：x－2y＋1＝0，直线l2：2x－4y＋2＝0，即x－2y＋1＝0，显然此时两直线重合，不符合题意； 当m＝－2时，直线l1：x＋2y＋1＝0，直线l2：－2x－4y＋6＝0，即x＋2y－3＝0，符合题意． 故m＝－2. (2)由(1)知，当l1与l2相交时，m≠±2， 联立解得 所以I. 因为x＋2y＝＋＝＝1，即x＋2y－1＝0， 所以点I恒在定直线x＋2y－1＝0上． 14．已知直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0，a∈R. (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在(1)的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线l′的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 解：(1)整理直线l的方程，得(2x－y＋3)a＋3x＋y＋7＝0， 所以直线l过直线2x－y＋3＝0与3x＋y＋7＝0的交点， 联立方程解得 所以直线l过定点A，点A的坐标为(－2，－1)． (2)当截距为0时，直线l′的方程为y＝x，即x－2y＝0， 当截距不为0时，设直线l′的方程为＋＝1， 则解得 所以直线l′的方程为＋＝1， 即x＋2y＋4＝0， 故直线l′的方程为x－2y＝0或x＋2y＋4＝0. (3)当a＝1时，直线l的方程为x＝－2，符合题意； 当a≠1时，y＝x＋， 所以⇒ 解得a＞1或a≤－. 综上所述，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是∪[1，＋∞)． 15 学科网（北京）股份有限公司 $$