专题2.5 点到直线的距离（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题2.5 点到直线的距离 教学目标 1.理解点到直线距离的概念; 2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，并能运用到实际问题中: 3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。 教学重难点 教学重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点到直线的距离公式的应用 教学难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式 知识点01 两点间的距离公式 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离 【即学即练】过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离 【即学即练】点到直线的距离为 知识点03 两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离 【即学即练】直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 知识点04 对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【即学即练】点关于直线的对称点坐标是 . 题型01 求直线交点坐标 【典例1】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)； (2)． 【变式1】直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】直线与直线的交点坐标为 【变式3】（1）求直线与的交点的坐标； （2）求两条直线与间的距离. 【变式4】回答下面两题 (1)求直线：，：的交点坐标； (2)求点到直线：的距离； 题型02 由方程组解的个数判断直线的位置关系 【典例1】判断下列各对直线是否平行： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【变式2】判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 题型03 由直线交点的个数求参数 【典例1】已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 【变式1】已知直线与直线． (1)当m为何值时，与相交； (2)当m为何值时，与平行，并求与的距离； (3)当m为何值时，与垂直． 题型04 由直线的交点坐标求参数 【典例1】若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A．(,) B．(,0) C．(0,) D．() 【变式2】直线与的交点坐标为，则 ， ． 【变式3】已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【变式4】已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 题型05 三线围成三角形问题 【典例1】已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 【变式1】已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【变式4】已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为 ． 题型06 直线交点系方程及其应用 【典例1】已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，且斜率为2. (1)求直线l的方程； (2)求点到直线l的距离. 【变式1】已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【变式2】已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【变式3】求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程. (1)与直线平行； (2)到原点的距离等于1. 题型07 求两点间的距离公式 【典例1】求下列两点间的距离： (1)，； (2)，； (3)，. 【变式1】已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】过点的直线的斜率为 ，则（    ） A．10 B． C． D．180 题型08 距离公式的应用 【典例1】函数的最大值为 . 【变式1】已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】已知点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【变式3】函数的最小值为 ． 【变式4】已知，则的最小值 . 题型09 求点到直线的距离 【典例1】点到直线的最大距离为（   ） A． B． C．4 D．6 【变式1】已知点，直线，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式2】平面直角坐标系中，点到直线的距离为 . 【变式3】点到直线的距离为 ． 【变式4】点到直线的距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型10 已知点到直线的距离求参数 【典例1】垂直于直线且与点的距离是的直线l的方程是 ． 【变式1】若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【变式2】若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【变式3】已知点在直线上，若的最小值为4，则 ． 【变式4】已知点到直线的距离比为，则 . 题型11 求点关于直线的对称点 【典例1】点关于直线的对称点坐标为 ． 【变式1】点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式2】点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4】点关于直线对称的点的坐标为 ． 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 题型12求到两点距离相等的直线方程 【典例1】已知点，直线过点， (1)若A到直线距离为2，求直线的方程； (2)若A、B到直线距离相等，求直线的方程. 【变式1】若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【变式2】点，到直线的距离相等，则 . 【变式3】已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【变式4】过点且和的距离相等的直线方程是 ． 题型13 直线关于直线对称 【典例1】求直线关于直线对称的直线方程． 【变式1】已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【变式4】若直线与直线关于轴对称，则 . 直线关于直线对称问题 1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 题型14 平行线间的距离问题 【典例1】若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ． 【变式1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【变式2】直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【变式4】已知平行直线，则与的距离是 . 题型15 直线关于点对称的直线 【典例1】与直线关于点对称的直线方程是 . 【变式1】已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【变式3】与直线关于点对称的直线的方程为 . 【变式4】已知直线的方程为，点的坐标为​. (1)若直线与关于点对称，求的方程; (2)若点与关于直线​对称，求的坐标. 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 题型16 将军饮马问题 【典例1】唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【变式1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【变式3】唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 1．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 2．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．平行直线与之间的距离是（   ） A．1 B．4 C．3 D． 4．与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A．B． C． D． 5．点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 6．已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 7．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 11．已知在直线上，则的最小值为 ． 12．已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 13．已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 14．（1）已知三角形的三个顶点是，，，边上的高所在直线为，求直线关于点对称的直线的方程. （2）已知两条直线，若，求的值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 点到直线的距离 教学目标 1.理解点到直线距离的概念; 2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，并能运用到实际问题中: 3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。 教学重难点 教学重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点到直线的距离公式的应用 教学难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式 知识点01 两点间的距离公式 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【即学即练】过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率列方程，求得，进而求得. 【详解】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B 知识点02 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离. 【即学即练】点到直线的距离为 【答案】 【分析】根据点到直线距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 知识点03 两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【即学即练】直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 知识点04 对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【即学即练】点关于直线的对称点坐标是 . 【答案】 【分析】利用中点关系和垂直关系可求对称点的坐标. 【详解】设所求对称点坐标为，则， 故，故对称点的坐标为， 故答案为： 题型01 求直线交点坐标 【典例1】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)； (2)． 【答案】(1)平行 (2)相交， 【分析】（1）将直线化成斜截式，比较斜率即可得到答案； （2）联立直线得到方程组，解出即可. 【详解】（1）将与的方程分别化为斜截式可知． 因此与的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行． （2）解方程组， 可得． 因此与相交，而且交点的坐标为 【变式1】直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直可得，从而可得，联立两条直线的方程即可求交点坐标. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，解得. 故直线即为， 直线即为. 由，解得， 则这两条直线的交点坐标为. 故选:A. 【变式2】直线与直线的交点坐标为 【答案】 【分析】联立两条直线方程，即可求解. 【详解】联立，得， 所以交点坐标为. 故答案为： 【变式3】（1）求直线与的交点的坐标； （2）求两条直线与间的距离. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）联立直线方程求解即可得交点； （2）将方程化为，由平行直线间的距离公式求解. 【详解】（1）联立，得， 故直线与的交点的坐标为． （2）方程可化为， 所以两条直线与间的距离. 【变式4】回答下面两题 (1)求直线：，：的交点坐标； (2)求点到直线：的距离； 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）联立两直线方程，即可求解； （2）代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）联立，得， 所以直线和的交点坐标为； （2）点到直线的距离， 所以点到直线的距离为. 题型02 由方程组解的个数判断直线的位置关系 【典例1】判断下列各对直线是否平行： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)平行 (2)平行 (3)平行 (4)不平行 【分析】利用直线方程系数的关系即可作出判断. 【详解】（1）∵， ∴平行； （2）即直线， ∵， ∴平行； （3）即直线， ∴平行； （4）∵， ∴不平行. 【变式1】分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)与相交，交点坐标为 (2)与平行 【分析】联立两直线方程，通过其解可判断两者关系，且其解为交点，从而得解. 【详解】（1）因为，， 联立，解得， 所以与相交，交点坐标为. （2）因为，可化为， 联立，两式相减得，显然不成立，故方程组无解， 所以与平行. 【变式2】判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标； （2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行； （3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断. 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 题型03 由直线交点的个数求参数 【典例1】已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）当时与相交，即可求出的值； （2）根据一般式下两直线平行的条件得到方程（不等式）组，求出的值，再由距离公式计算可得. 【详解】（1）因为直线与直线， 当直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离. 【变式1】已知直线与直线． (1)当m为何值时，与相交； (2)当m为何值时，与平行，并求与的距离； (3)当m为何值时，与垂直． 【答案】(1)且 (2)， (3)或 【分析】（1）利用两直线相交的充要条件，运算得解； （2）利用两直线平行的充要条件及两平行线间距离公式，运算得解； （3）利用两直线垂直的充要条件，运算得解. 【详解】（1）由直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离为. （3）由直线与垂直，则，解得或. 题型04 由直线的交点坐标求参数 【典例1】若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 【变式1】两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A．(,) B．(,0) C．(0,) D．() 【答案】C 【分析】联立直线方程找到交点，根据第二象限的点解出. 【详解】由解得即两条直线的交点为， 由交点在第二象限，得,解得. 故选：C. 【变式2】直线与的交点坐标为，则 ， ． 【答案】 【分析】由题意知点既在上也在上，联立方程组求出即可. 【详解】由题意知点既在上也在上， 由解得. 故答案为：；. 【变式3】已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出两直线交点的坐标，根据交点位置可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】联立可得， 所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限， 则，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 题型05 三线围成三角形问题 【典例1】已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据三条直线不能构成三角形，则有任意两条平行或交于同一个点，分类讨论求解. 【详解】三条直线不能围成三角形，则有以下情况： (1) 直线与直线平行， 则有； (2) 直线与直线平行， 则有； (3) 三条直线，，相交于同一点， 联立解得，代入可得， 综上，实数m的取值集合为， 故答案为: . 【变式1】已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 【变式2】已知直线和与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分为围成的等腰三角形底边在x轴上、底边在直线上和底边在直线上三种情况，分别求解即可. 【详解】令直线的倾斜角分别为，则， 当围成的等腰三角形底边在x轴上时，，； 当围成的等腰三角形底边在直线上时，或， 因为，且，解得， 所以，或； 当围成的等腰三角形底边在直线上时，，则. 故选：D． 【变式3】若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【答案】或1 【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可. 【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 【变式4】已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为 ． 【答案】6或-4或 【分析】分直线与平行，与平行，过与的交点三种情况分别求解可得. 【详解】由题知，当直线与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 当与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 由解得，当直线过点，即，即时，三条直线无法围成三角形. 综上，当或或时，三条直线无法围成三角形. 故答案为：6或-4或 题型06 直线交点系方程及其应用 【典例1】已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，且斜率为2. (1)求直线l的方程； (2)求点到直线l的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用直线交点系设出经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点的方程，再利用其斜率为2即可求得直线l的方程； （2）利用点到直线的距离公式即可求得点到直线l的距离 【详解】（1）经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点的直线方程为 ，即 由，可得 则直线l的方程为，即； （2）点到直线l的距离为 【变式1】已知直线恒过定点P，则点P关于直线的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】 首先化简直线方程，求出定点的坐标，再代入点关于直线对称的点的计算公式，即可求解. 【详解】由直线化为， 令，解得，于是此直线恒过点． 设点P关于直线的对称点为， 则，解得，∴． 故答案为： 【变式2】已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 【变式3】求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程. (1)与直线平行； (2)到原点的距离等于1. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用两直线平行的充要条件可求，即得解； （2）设所求直线为，整理为一般方程后利用点到直线距离求解，即得解. 【详解】（1）设所求直线为，即， 因为此直线与平行， 所以，解得， 故所求直线为. （2）由于原点到直线的距离为， 设所求直线为，即， 所以，解得或， 故所求直线方程为或. 题型07 求两点间的距离公式 【典例1】求下列两点间的距离： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 分别由两点间距离公式直接求解. 【详解】（1）由两点间距离公式得. （2）由两点间距离公式得. （3）由两点间距离公式得． 【变式1】已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，利用两点间的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为与，可得， 即，解得或． 故选：A. 【变式2】过点的直线的斜率为 ，则（    ） A．10 B． C． D．180 【答案】B 【分析】由斜率公式求得，再根据两点之间距离公式计算即可． 【详解】由题意得，，解得， 所以，所以， 故选：B． 题型08 距离公式的应用 【典例1】函数的最大值为 . 【答案】 【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式1】已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用两点距离公式将问题转化为点到点的距离之和的最小值，再利用将军饮马问题的解决方法，数形结合即可得解. 【详解】因为， 设，， 则表示点到点的距离之和， 设点关于直线的对称点为，又直线斜率为， 则，解得，则， 因为点在直线上， 所以， 当为与直线的交点时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式2】已知点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据两点之间距离最小，结合点关于直线的对称性即可利用两点间距离公式求解. 【详解】表示点到点和点的距离之和， 令点关于直线的对称点为，则，解得，即， 因此， 当且仅当点为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C    【变式3】函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图，    所以， 所以． 故答案为： 【变式4】已知，则的最小值 . 【答案】 【分析】设点为直线上的动点，已知式几何意义为与的距离和与的距离之和，设点，求出关于直线的对称点，计算出即得． 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：． 题型09 求点到直线的距离 【典例1】点到直线的最大距离为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】先求出直线所过的定点，然后可知点到直线的最大距离即为该点到定点的距离. 【详解】由直线可知： 无论为何值，得，故直线一定经过. 由题意知：点到直线的最大距离, 即为点到定点的距离：. 故选：B. 【变式1】已知点，直线，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】由点到直线距离公式计算 【详解】由已知所求距离为， 故选：B． 【变式2】平面直角坐标系中，点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】直接根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线，即， 则点到直线的距离为. 故答案为：. 【变式3】点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为， 故答案为： 【变式4】点到直线的距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用直线过定点以及两点间距离公式计算可得结果. 【详解】易知直线恒过定点， 当点与定点连线垂直于直线时，满足题意； 此时距离的最大值为. 故选：A 题型10 已知点到直线的距离求参数 【典例1】垂直于直线且与点的距离是的直线l的方程是 ． 【答案】或 【分析】由垂直设所求直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，进而求出直线的方程. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 则由点到直线的距离公式知，． 所以，即，得或， 故所求直线l的方程为或. 故答案为：或 【变式1】若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 【变式2】若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 【变式3】已知点在直线上，若的最小值为4，则 ． 【答案】或9 【分析】根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可. 【详解】因为点在直线上， 那么的最小值是定点到直线的距离的平方， 所以，解得或9． 故答案为：或9 【变式4】已知点到直线的距离比为，则 . 【答案】或18 【分析】结合题意利用点到直线距离公式列式求解即可. 【详解】点和到直线的距离分别为， 则，解得或18. 故答案为：或18 题型11 求点关于直线的对称点 【典例1】点关于直线的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】点关于直线对称，抓住“垂直”和“平分”，即可列出两个方程，求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 则， 解得a＝，b＝， ∴点关于直线的对称点坐标为． 故答案为：． 【变式1】点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 【变式2】点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 【变式3】点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 【变式4】点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】若两点关于直线对称，其中点在已知直线上且两点所在的直线与已知直线垂直，列方程求点坐标. 【详解】若对称点为，则，可得，即对称点为. 故答案为： 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 题型12求到两点距离相等的直线方程 【典例1】已知点，直线过点， (1)若A到直线距离为2，求直线的方程； (2)若A、B到直线距离相等，求直线的方程. 【答案】(1)或者 (2)或者 【分析】（1）先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线写出点到直线的距离公式求解即可； （2）先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线分别写出两点到直线的距离，相等求解即可； 【详解】（1）①若直线斜率不存在，此时过点的直线为直线，点到直线的距离为2，符合要求； ②若直线斜率存在，设为，则直线方程为， 所以点到直线的距离为，解得， 直线为，即， 所以直线方程为或者； （2）①若直线斜率不存在，此时过点的直线为直线，点到直线的距离为2，点到直线的距离为0，不符合条件； ②若直线斜率存在，设为，则直线方程为， 此时点到直线的距离为， 点到直线的距离为，又，所以， 解得或者，所以直线为或者， 即或者. 【变式1】若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 【变式2】点，到直线的距离相等，则 . 【答案】或 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求解. 【详解】由题有， 整理得到，解得或， 故答案为：或. 【变式3】已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解. 【详解】当直线有斜率时，设直线方程为， 到直线的距离相等，则，解得， 所以直线方程为，即， 当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意， 综上可得：或， 故答案为：或 【变式4】过点且和的距离相等的直线方程是 ． 【答案】或 【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件； 若斜率存在时，设过点的直线，即． 根据题意，可得，解得或， 当时，直线方程为， 当时，直线方程为 综上可得，直线方程为或． 故答案为：或 题型13 直线关于直线对称 【典例1】求直线关于直线对称的直线方程． 【答案】 【分析】联立方程组可得两直线交点的坐标，在上取一点，可求得关于的对称点为的坐标，由两点式可得直线方程，化为一般式即可． 【详解】解：由，解得，两直线交点． 在上取一点，设关于的对称点为． 则，解得，． 所求直线过及， 由两点式得，化为一般式可得所求方程为． 【变式1】已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可. 【详解】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A 【变式2】与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为，将其代入中化简可得答案. 【详解】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为， 由题意可得点在直线上， 所以，即， 所以与直线关于轴对称的直线的方程为， 故选：B 【变式3】直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【答案】 【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程. 【详解】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 【变式4】若直线与直线关于轴对称，则 . 【答案】 【分析】先判断直线的位置，再由两条直线关于轴对称得到两条直线的倾斜角互补，且与轴交于同一点，进而由已知条件算出的值. 【详解】直线的斜率，与轴交于点. 直线与直线关于轴对称 直线与直线的倾斜角互补，且与轴相较于同一点 ，解得，则. 故答案为：. 直线关于直线对称问题 1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 题型14 平行线间的距离问题 【典例1】若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ． 【答案】 【分析】先用直线平行解出，再利用平行线间的距离公式求解. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 故直线，直线， 这两条直线间的距离为：． 故答案为：. 【变式1】已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 【变式2】直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 【变式3】若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 【变式4】已知平行直线，则与的距离是 . 【答案】/ 【分析】利用两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由题意，根据两平行线间的距离公式可得. 故答案为：. 题型15 直线关于点对称的直线 【典例1】与直线关于点对称的直线方程是 . 【答案】 【分析】 由两直线对称得，由此设直线的方程，再利用点线距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线关于点对称，所以，且点到两直线的距离相等， 设直线为，则，解得或（舍去）， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 【变式1】已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【变式2】已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【变式3】与直线关于点对称的直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据直线关于点对称方程的特点可设直线方程，在利用点到两条直线的距离相等即可求解直线方程. 【详解】解：直线关于点对称的直线的方程可设为，其中 又点到直线与到直线的距离相等 所以，即，所以或（舍）. 故所求直线方程为：. 故答案为：. 【变式4】已知直线​的方程为​，点​的坐标为​. (1)若直线与​关于点​对称，求​的方程; (2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由直线与直线互相平行，且点到两直线距离相等，列方程即可求解； （2）由直线垂直平分线段，列方程组即可求解. 【详解】（1） 易知直线与直线互相平行， 设的方程为​，点到两直线距离相等， 有​， 即​，或​(舍去)， 故​的方程为​. （2） 设点​的坐标为​， 直线，且的中点在直线上， 而直线的斜率为，， 故有​，解得 ， ​故​的坐标为. 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 题型16 将军饮马问题 【典例1】唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    【变式1】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【详解】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 【变式2】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】表示动点到定点和的距离之和，作关于直线的对称点，，即可求解 【详解】 表示动点到定点和的距离之和， 因为点在直线上运动， 作关于直线的对称点，则， 故， 当且仅当三点共线时取等， 故的最小值为 故选：C 【变式3】唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，则所求最短总路程为. 【详解】设关于直线对称的点为， 则，解得：，即， “将军饮马”的最短总路程为. 故选：D. 【变式4】（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确. 【详解】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 1．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 2．已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 3．平行直线与之间的距离是（   ） A．1 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】先根据直线平行求参，再应用平行线间距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 所以且不是，所以， 则直线与的距离为. 故选：D. 4．与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】由在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上，即可确定所求的直线. 【详解】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 5．点到直线的最大距离是（    ） A． B．2 C． D．不存在 【答案】D 【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案. 【详解】直线即， 令，解得， 即直线过定点，设为B， 当直线与l垂直时，点到直线的距离最大， 即为， 此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解， 即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值， 故选：D 6．已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解. 7．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 8．点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 9．（多选）已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1，利用点到直线距离公式去判断四个选项，得到答案. 【详解】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1， A选项，原点O到的距离， 点在上，且到原点O到距离为1，满足要求，A正确； B选项，原点O到的距离为1，B正确； C选项，原点O到的距离，满足要求，C正确； D选项，原点O到的距离，D错误. 故选：ABC 10．（多选）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【详解】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 11．已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 12．已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 13．已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解； (2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解. (3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 解得， 故的值为； （2）因为， 所以， 所以， 解得， 所以直线恒过定点； （3）因为， 所以直线， 设点关于直线的对称点的坐标为， 所以的中点坐标为， 所以， 解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 14．（1）已知三角形的三个顶点是，，，边上的高所在直线为，求直线关于点对称的直线的方程. （2）已知两条直线，若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用两点斜率公式与直线的垂直关系，结合直线的点斜式方程求得的方程，再利用点线距离公式，结合中心对称性的性质即可得解； （2）利用两直线平行的性质得到关于的方程，解后再进行检验即可得解. 【详解】（1）因为点，，所以， 因为，所以，且直线经过点， 所以直线的方程为，即. 设直线的方程为， 由点到直线和直线的距离相等， 所以，解得或（舍去）， 所以直线的方程为. （1），又， ，解得或， 当时，，此时； 当时，，此时重合，舍去； 综上，. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$