2.5.1 直线与圆的位置关系（分层作业）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系 知识点1直线与圆的位置关系 1．若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心到轴的距离为，且轴与圆相切，所以， 故选：A． 2．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【详解】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 3．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【详解】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 4．若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 5．（多选）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 6．已知圆，直线，若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：由题意可知，半径， 设圆心到直线的距离为，    则有， 所以， 又因为， 由，解得或； 由，解得， 所以或， 即实数的取值范围为. 知识点2直线与圆相交问题 7．直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】联立解得：，， 所以. 故选：D 8．直线与圆交于两点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 由得，，则， ， 由得，， 故选：B． 9．已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为 . 【答案】 【详解】联立或， 所以直线与圆的公共点为和， 所以圆经过点、和点， 设圆的一般方程为， 则， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 10．求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系. 【答案】，，相交 【详解】解：直线和圆的公共点的坐标就是方程组的解，消去得，解得或， 所以方程组的解为或. 所以公共点的坐标为，. 因为直线和圆有两个公共点， 所以直线和圆相交. 知识点3切线方程问题 11．过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 12．已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则圆的圆心为，半径为， 因为直线与圆相切， 所以，. 故选：A. 13．若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因圆与直线只有一个公共点， 则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1， 即，而，则有， 所以的值为2. 故选：C 14．过点作圆的切线，则切线的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】因为，所以点在圆上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 15．过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【详解】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或， 知识点4切线长问题 16．过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 17．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 18．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】∵圆， ∴圆心，半径为1， 设点关于x轴的对称点为，则， ∴， 所以光线从P点到Q点所经过的路程的长度为. 故选：B. 19．过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，连接， 依题意，，则， 于是，整理得， 所以或. 故选：D 知识点5圆的弦长与中点弦问题 20．已知直线l：与圆C：交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，则， 故圆心到直线l的距离， 即，解得． 故选：D. 21．设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 22．圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为 . 【答案】 【详解】设圆心为，则圆的标准方程为， 所以圆的半径，又圆被轴所截得的弦长为，则， 解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 23．已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 24．若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【详解】根据圆的方程可得圆心为，半径. 圆心到直线的距离， 圆截直线的弦长公式为，解得 因为，所以. 故答案为：. 知识点6圆内接三角形面积 25．已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的方程为， 由题意可得，解得， 所以的方程为， 化为标准方程可得. （2）由（1）可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 且， 因此的面积为. 26．已知圆E：，点P是直线l：上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】的圆心为，半径为2， ，，，， ． 当时，取得最小值， ， 即四边形面积的最小值为． 又,,故的最小值为， 故答案为： 知识点7直线与圆的实际应用 27．某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【详解】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65 28．在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【答案】；4 【详解】以气象台A为原点建立直角坐标系， 则台风中心移动的轨迹在直线上， 距离气象台150km的轨迹为， 则台风中心经过图中弦时，气象台会受到影响， 又原点到直线的距离，所以弦， 即， 设经过时间后开始影响，持续时间为 则，， 所以气象台所在地大约小时后受到影响，持续时间为4小时. 29．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据）    【答案】0.4m 【详解】以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 如图所示，则，，三点的坐标分别为，，，   又圆心在轴上，故可设， 因为，所以，解得，则 所以圆拱桥所在圆的方程为， 当时，， ，因为水位暴涨了， 所以船身要降低，才能顺利地通过桥洞． 30．为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【答案】(1)，， (2) (3)轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶小时 【详解】（1）由题意知：，，， ，，. （2）设经过三点的圆的方程为：， ，解得：， 所求圆的一般方程为：， 则经过三点的圆的标准方程为：. （3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 设直线与圆的交点为，则， 则轮船在安全预警区内会行驶小时. 1．已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得圆心，到的距离为， 故与相离， 根据圆上存在两点使得，即三点共线， 且，其中最大值为圆的直径2，故的最大值为1， 过作， 设，则， 故, 由于，故 设点的坐标为，则有， 求得. 故选：D． 2．过点引直线与曲线相交于A，B两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，则，即， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的半圆，如图．    则当面积取最大值时，，半圆的圆心为，半径， 所以，，所以圆心到直线的距离为． 设直线的斜率为，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，解得， 因为，所以． 故选：A. 3．已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】直线的斜率为1，设直线的方程为，联立，得， 设，，则，， 又直线与圆有两个交点，判别式，解得， 以为直径的圆过原点，，，即， ，即，解得或， 符合题意的直线有两条，其方程分别为或． 故答案为：或. 4．已知，点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是 ． 【答案】 【详解】设点、，则，，易知圆心为，半径为， 所以， 则， 则的模可视为圆上的点到直线上一点的距离，如下图所示： 由图可知，当直线与直线垂直且为线段与圆的交点时， 取最小值，且其最小值为，故模的最小值为. 故答案为：. 5．已知过点和，且圆心在直线上，为的直径，若直线：上存在点满足，则最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【详解】设，半径为，设圆的方程为， 又过点和，则，解得 所以的方程为． 由，则，解得， 则圆心到直线的距离，解得， 故的最大值与最小值之和为． 故答案为：. 6．直线过点，交圆于两点，交直线于点是中点，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【详解】解法1 设圆心为， 当直线过圆心时，如下图， 可得直线的斜率为，直线的斜率为，由于， 即，此时点与点重合，点到直线的距离为， ，所以， 可得； 当直线不过圆心时，如下图连接交直线于点，连接， 可得直线的斜率为，直线的斜率为，由于， 即，因为点是中点，所以， 得四点共圆，由圆幂定理，得． 解法2 设直线方程为， 联立得， 整理得． 所以， 又得． 因为， ，， 所以 ． 7．如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有． (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设，如图，连接，为切点，， 由勾股定理得， 又，， ，整理得． 点的轨迹方程为． （2）如图，作出直线，设关于直线的对称点为，连接， 则，解得，． 连接，则， 当三点共线时，取得等号．则的最大值为． 1．（多选）设直线与圆C：相交于A，B两点，点，若，则（    ） A．圆心C到直线l距离的最大值为 B．的取值范围是 C． D．动点Q的轨迹为圆（不含点C） 【答案】ACD 【详解】 对于A，直线，即， 则由，解得，故直线l过定点， 由题可知圆心，当时，圆心C到直线l的距离d最大， ，故A正确； 对于B，由题知圆C的半径，由A可得，且， 可知； 当直线l过圆心C时，AB为圆C的直径，取得最大值4，此时由点在直线上， 可得，方程无解，故的取值范围是，故B错误； 对于C，当直线l与PC垂直时，记直线l与圆C的两个交点分别为，，由B项知， 则，此时； 当直线l与PC不垂直时，此时AB与相交于点，由相交弦定理知， 所以，故，故C正确； 对于D，由可知Q为AB中点，则，又点P在直线AB上，所以， 则为直角三角形，当M为PC中点时，为常数， 故Q在以为圆心，为半径的圆上，即动点Q的轨迹为圆（不含点C），故D正确． 故选：ACD. 2．（多选）已知圆：（），直线，则（    ） A．对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切 B．对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点 C．对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切 D．对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切 【答案】BD 【详解】因为圆：（）的标准方程为，圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离为，其中， 因为，所以选项A错误，选项B正确， 若直线与圆相切，则有，得到，则， 对于选项C，当，显然不存在实数，使，所以选项C错误， 对于选项D，因为对任意满足条件的实数，总有确定的角，使， 则必然实数存在，使，所以选项D正确， 故选：BD. 3．一条光线从上的一点射出，经x轴反射后与圆C：相切，若反射光线与圆C的所有切点以及圆心C所围成的图形的面积为，则光线射出点的坐标为 ． 【答案】 【详解】如图： 设光线在上射出的点为，则点与关于x轴对称， 因为与圆C相离，则点在圆C外， 过点作圆C的两条切线，记两切点分别为E，F，则E，F为反射光线与圆C的所有切点， 故直线EF的方程为，即， 所以圆心到直线EF的距离， 所以，解得或． 当时，，解得（舍）或， 当时，，无解. 故光线射出点的坐标为． 故答案为： 4．如图1，已知圆，过原点作此圆的切线，切点为．又过原点任作一直线，交圆于两点，交直线于点．设，求证：．      【答案】证明见解析 【详解】证明：设，直线， 将直线方程代入圆方程，得， 整理得． 则， 又， 则等价于． 左边． 设切点,则由， 可得， 又，即， 两式相减，得， 所以过切点的直线的方程为， 求方程组的解，得， 故，从而． 综上，证得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.1直线与圆的位置关系 知识点1直线与圆的位置关系 1．若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 2．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 3．已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 4．若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 6．已知圆，直线，若圆上恰有两点到直线的距离为1，求的取值范围． 知识点2直线与圆相交问题 7．直线交圆于、两点，则（   ） A． B． C．1 D．2 8．直线与圆交于两点，，则为（    ） A． B． C． D． 9．已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为 . 10．求直线和圆的公共点的坐标，并判断它们的位置关系. 知识点3切线方程问题 11．过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 12．已知直线与圆相切，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 13．若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 14．过点作圆的切线，则切线的一般式方程为 ． 15．过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 知识点4切线长问题 16．过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 17．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切于点，则光线从点到点所经过的路程的长度为（    ） A． B． C． D．3 19．过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 知识点5圆的弦长与中点弦问题 20．已知直线l：与圆C：交于A，B两点，若，则（    ） A． B． C． D． 21．设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 22．圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为 . 23．已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 24．若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 知识点6圆内接三角形面积 25．已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 26．已知圆E：，点P是直线l：上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 知识点7直线与圆的实际应用 27．某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    28．在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 29．河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据）    30．为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离； (2)试求经过三点的圆的标准方程； (3)某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 1．已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．过点引直线与曲线相交于A，B两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为 ． 4．已知，点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是 ． 5．已知过点和，且圆心在直线上，为的直径，若直线：上存在点满足，则最大值与最小值之和为 ． 6．直线过点，交圆于两点，交直线于点是中点，求证：为定值． 7．如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有． (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值． 1．（多选）设直线与圆C：相交于A，B两点，点，若，则（    ） A．圆心C到直线l距离的最大值为 B．的取值范围是 C． D．动点Q的轨迹为圆（不含点C） 2．（多选）已知圆：（），直线，则（    ） A．对任意满足条件的实数与，直线与圆始终相切 B．对任意满足条件的实数与，直线与圆有公共点 C．对任意实数，必存在满足条件的实数，使得直线与圆相切 D．对任意满足条件的实数，必存在实数，使得直线与圆相切 3．一条光线从上的一点射出，经x轴反射后与圆C：相切，若反射光线与圆C的所有切点以及圆心C所围成的图形的面积为，则光线射出点的坐标为 ． 4．如图1，已知圆，过原点作此圆的切线，切点为．又过原点任作一直线，交圆于两点，交直线于点．设，求证：．      1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$