课时测评13　两条直线的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评13　两条直线的位置关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知直线l1：y＝2x＋1，l2：y＝－x－2，则两条直线的位置关系为(　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 答案：D 解析：由题意知直线l1的斜率是2，l2的斜率是－，且2×＝－1，所以这两条直线互相垂直． 2．(2024·安徽芜湖高二质量监控)已知直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(2a－1)x－ay－1＝0互相平行，则实数a为(　　) A． B． C．0或 D．0或 答案：C 解析：当直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(2a－1)x－ay－1＝0不相交时，2a(2a－1)－1·(－a)＝0，解得a＝0，或a＝，当a＝0时，直线l1：x－1＝0与l2：－x－1＝0平行，当a＝时，直线l1：x＋y－1＝0与l2：－x－y－1＝0平行，所以实数a为0或.故选C. 3．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案：A 解析：方法一：由题意得所求直线的斜率为，又所求直线过点(1，0)，故所求直线的方程是y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0. 方法二：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为x－2y＋c＝0(c≠－2)，由直线x－2y＋c＝0过点(1，0)，得c＝－1，故所求直线的方程是x－2y－1＝0. 4．(2024·山东淄博高二质量检测)过点且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为(　　) A．3x＋2y＋7＝0 B．3x＋2y－1＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 答案：B 解析：方法一：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，所以与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线斜率为－，故由点斜式可得y－2＝－，即3x＋2y－1＝0.故选B. 方法二：与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为3x＋2y＋m＝0 ，又所求直线过点，则3×(－1)＋2×2＋m＝0，即m＝－1，所以所求直线方程为 3x＋2y－1＝0.故选B. 5．(多选)下列命题正确的是(　　) A．当B≠0时，直线一般式方程可化为斜截式方程 B．当C≠0时，直线的一般式方程可化为截距式方程 C．两直线mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0互相平行的条件是 或 D．直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直的条件是a＝1或a＝－3 答案：ACD 解析：A中，B≠0时，Ax＋By＋C＝0可化为y＝－ x－ ，故A正确；B中，C≠0时，Ax＋By＋C＝0可化为 ＋ ＝1，但AB＝0时是不可能的，故B错误；C中，若mx＋y－n＝0与x＋my＋1＝0平行，则m2＝1，即m＝±1，而当m＝1时，n≠－1，否则重合；当m＝－1时，n≠1，否则也重合，故C正确；D中，由两直线垂直可知，a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3，故D正确．故选ACD. 6．与直线3x＋4y＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程为________． 答案：3x＋4y－4＝0 解析：由题意，设所求直线的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1)．令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－.所以－＋＝，解得m＝－4，所以所求直线的方程为3x＋4y－4＝0. 7．使直线(2a＋1)x＋ay＋1＝0和直线ax－3y＋3＝0垂直的实数a的值为________． 答案：0或1 解析：由(2a＋1)a－3a＝0，解得a＝0或1. 8．已知两平行直线的斜率是方程2x2－4x＋m－1＝0的两实根，则m的值是________． 答案：3 解析：由题意知方程2x2－4x＋m－1＝0的两实根相等，所以Δ＝(－4)2－4×2×(m－1)＝0，解得m＝3. 9．(10分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1∥l2时，求实数a的值； (2)当l1⊥l2时，求实数a的值． 解：方法一：(1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1： y＝－ x－3， l2：y＝ x－(a＋1)， l1∥l2⇔ 解得a＝－1，综上可知，当l1∥l2时，a＝－1. (2)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立； 当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1： y＝－ x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 由(－)· ＝－1，得a＝ . 故当l1⊥l2时，a＝ . 方法二：(1)因为l1∥l2，所以 所以 解得a＝－1， 故当l1∥l2时，a＝－1. (2)由l1⊥l2，得a＋2(a－1)＝0，解得a＝. 故当l1⊥l2时，a＝ . 10．(10分)已知点A(3，3)和直线l：y＝x－.求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程 解析：因为直线l：y＝x－， 所以该直线的斜率k＝. (1)过点A(3，3)且与直线l平行的直线的斜率也为，因此所求直线的点斜式方程为y－3＝(x－3)． (2)设过点A(3，3)且与直线l垂直的直线的斜率为k′，则k·k′＝－1，解得k′＝－，因此所求直线的点斜式方程为y－3＝－(x－3)． 11．(5分)已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值是(　　) A．1 B． C． D．1或 答案：D 解析：由k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，解方程得 或 又l1∥l2，所以k1＝k2，所以k1＋k2＋k3＝1或 . 12．(5分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为________________________________________________________________________． 答案：x＋4y－14＝0 解析：过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．因为四边形ACGH为正方形，所以Rt△AMH≌Rt△COA，可得AM＝OC，MH＝OA，因为A(0，2)，C(1，0)，所以MH＝OA＝2，AM＝OC＝1，所以OM＝OA＋AM＝3，所以点H的坐标为(2，3)，同理得到F(－2，4)，所以直线FH的方程为＝，化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 13．(10分)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使： (1)l1与l2相交于点P(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1. 解：(1)由条件知 所以m＝1，n＝7. (2)由m×m－8×2＝0，得m＝±4. 又8×(－1)－n×m≠0，则或 即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2. (3)当且仅当m×2＋8×m＝0， 即m＝0时，l1⊥l2. 令l1中x＝0，得y＝－，所以－＝－1， 所以n＝8， 即m＝0，n＝8时， l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1. 14．(5分)“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：x＋3y＋3λ＝0平行”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：x＋3y＋3λ＝0平行，有λ＝3，解得λ＝－1或λ＝3，其中λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立．故“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件．故选A. 15．(15分)已知直线l1：x＋y＋1＝0，直线l2：5ax－y＋20＝0. (1)若l1∥l2，求实数a的值； (2)判断l1与l2是否可能垂直，若可能垂直，求实数a的值；若不可能垂直，请说明理由． 解：(1)若l1∥l2，则(a－3)×5a＋(a－2)(a＋4)＝0， 整理得6a2－13a－8＝＝0， 解得a＝－或a＝. 当a＝－时，l1：－x－y＋1＝0，l2：－x－y＋20＝0，符合题意； 当a＝时，l1：x－y＋1＝0，l2：x－y＋20＝0，l1，l2重合，舍去． 故a＝－. (2)若l1⊥l2，则5a－＝0， 整理得4a2－11a＋12＝0，因为Δ＝2－4×4×12<0， 所以方程4a2－11a＋12＝0无解，故l1与l2不可能垂直． 学生用书↓第55页 学科网（北京）股份有限公司 $