2.2.2 直线的方程（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦平面解析几何中“直线的方程”核心知识点，从直线的方程与方程的直线概念出发，系统梳理点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式五种形式的推导过程，强调各形式的相互转化及适用范围，构建递进式学习支架。 该资料以课标为指引，知识点同步配备随学随练，通过多选、填空等题型培养数学思维，结合直线过定点、面积计算等实例引导用数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后通过基础到创新练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

第二章 平面解析几何 2.2.2　直线的方程 课标要点 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的五种形式 学习重难点 重点： 1. 直线的方程、方程的直线的概念.2.直线方程的五种形式 难点： 直线方程的各种形式之间的相互转化及它们各自的适用范围． 知识点直线的方程 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线．此时，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，并且记作l：F(x，y)＝0. 随学随练 1．（23-24高二上·新疆和田·期中）（多选）已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1 C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上 2．（21-22高二上·江苏淮安·期中）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 知识点　直线的点斜式方程 (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程为y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程． (2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线的方程为y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线的方程为x＝x0． 随学随练 3．（25-26高二上·广东·期中）过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建三明·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为______. 知识点 直线的斜截式方程 (1)一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线的方程为y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程． (2)直线y＝kx＋b中k的几何意义是直线的斜率，b的几何意义是直线的截距(即直线在y轴上的截距)． 随学随练特别提醒 　直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同吗？ 提示：直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零． 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）斜截式：已知直线的斜率为，轴截距为，那么直线的方程为______． 6．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 知识点 直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x2－x1≠0且y2－y1≠0)的直线的方程为＝，这种形式的直线的方程称为直线的两点式方程． 随学随练 7．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）两点式：已知直线上的两点，（其中，），则方程为______． 8．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 知识点直线的截距式方程 直线在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0，则直线的方程可写为＋＝1，这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在x轴与在y轴上的截距都存在且不为0． 随学随练 9．（25-26高二上·广西桂林·期中）直线在轴上的截距是______． 10．（25-26高二上·河南濮阳·期中）直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 知识点 直线的一般式方程 (1)所有的直线的方程都是关于x，y的二元一次方程，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． (2)把方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)称为直线的一般式方程． (3)在方程Ax＋By＋C＝0中，如果B≠0，则方程可以化为y＝－x－，它表示的是斜率为－且截距为－的直线；如果B＝0，则由A与B不同时为零可知A≠0，从而方程可以化为x＝－，它表示的是斜率不存在且过点的直线． (4)v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量． 随学随练 11．（25-26高二上·贵州毕节·期中）将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 12．（25-26高二上·广东·期中）（多选）设直线（、不同时为0），则（  ） A．若，则与坐标轴平行 B．若，则的倾斜角唯一 C．若，则的斜率唯一 D．若，则在坐标轴上的截距唯一 题型直线图象的辨析 ▌例1（（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（（24-25高二上·重庆·期中）（多选）已知直线，直线，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．直线过定点 C．若，则 D．当时，直线不经过第二象限 题型直线与坐标轴围成图形的面积问题 ▌例1（25-26高二上·四川遂宁·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线在轴上的截距是 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 D．点关于点的对称点为 ▌对点练1-1（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型 直线过定点问题 ▌例1（25-26高二上·重庆·期中）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为----------------- ▌对点练1-1（25-26高二上·四川成都·期中）已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（   ） A． B． C． D． 基础通关 1．（贵州省新高考协作体225-2026学年高二上学期期中质量监测数学试卷）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东东莞·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东枣庄·期中）下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 7．（25-26高二上·福建南平·期中）关于直线：，下列结论正确的是（    ） A．的倾斜角为 B．的斜率为1 C．过点 D．在两条坐标轴上的截距相等 8．（25-26高二上·四川绵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线过定点 C．平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示 D．经过点且斜率为的直线l的方程为 9．（25-26高二上·山东临沂·期中）对于直线，下列说法中正确的是（   ） A．的倾斜角可以为 B．时，不经过第二象限 C．的一个方向向量为时， D．直线恒过定点 10．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）点斜式：已知直线经过点，且斜率为，则直线方程是______． 素养提升 11．（25-26高二上·湖南·期中）过点，垂直于轴的直线方程为______． 12．（25-26高二上·上海·期中）设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是___________． 13．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 14．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 迁移创新 15．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 16．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的一般式方程为______． 17．（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 18．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 19．（25-26高二上·四川达州·期中）已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 20．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知关于的方程表示一个直线系. (1)证明：直线过定点，并求出定点坐标； (2)若该直线系中的某条直线分别与轴的正半轴交于两点，求面积的最小值 试卷第1页，共3页 试卷第8页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.2.2　直线的方程 课标要点 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的五种形式 学习重难点 重点： 1. 直线的方程、方程的直线的概念.2.直线方程的五种形式 难点： 直线方程的各种形式之间的相互转化及它们各自的适用范围． 知识点直线的方程 一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线．此时，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，并且记作l：F(x，y)＝0. 随学随练 1．（23-24高二上·新疆和田·期中）（多选）已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（    ） A．直线m斜率为 B．直线m横截距为1 C．直线m纵截距为 D．点不在直线m上 【答案】AC 【分析】A选项，变形为，得到斜率；B选项，令求出横截距；C选项，令求出纵截距；D选项，代入检验即可. 【详解】A选项，变形为，故直线m斜率为，A正确； B选项，中令得，，故直线m横截距为-1，B错误； C选项，中令得，，故直线m纵截距为，C正确； D选项，当时，，故点在直线m上，D错误. 故选：AC 2．（21-22高二上·江苏淮安·期中）已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把点分别代入两直线方程，得到且，根据两个式子，即可求得所求的直线方程. 【详解】因为直线和直线都过点， 可得且， 即点和点适合直线， 所以过点和点的直线方程是. 故选：A. 知识点　直线的点斜式方程 (1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程为y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程． (2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线的方程为y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线的方程为x＝x0． 随学随练 3．（25-26高二上·广东·期中）过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求斜率再由点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题知的斜率为，所以的方程为， 令，得. 故选：B. 4．（25-26高二上·福建三明·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为______. 【答案】 【分析】求出的中点，然后可得中线斜率，再由点斜式整理可得. 【详解】因为，，所以的中点， 又，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 知识点 直线的斜截式方程 (1)一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a，0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线的方程为y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程． (2)直线y＝kx＋b中k的几何意义是直线的斜率，b的几何意义是直线的截距(即直线在y轴上的截距)． 随学随练特别提醒 　直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同吗？ 提示：直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零． 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）斜截式：已知直线的斜率为，轴截距为，那么直线的方程为______． 【答案】 【分析】略 【详解】略 6．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 知识点 直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x2－x1≠0且y2－y1≠0)的直线的方程为＝，这种形式的直线的方程称为直线的两点式方程． 随学随练 7．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）两点式：已知直线上的两点，（其中，），则方程为______． 【答案】 【分析】略 【详解】略 8．（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 知识点直线的截距式方程 直线在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0，则直线的方程可写为＋＝1，这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在x轴与在y轴上的截距都存在且不为0． 随学随练 9．（25-26高二上·广西桂林·期中）直线在轴上的截距是______． 【答案】 【分析】令，求值即可. 【详解】令，则，得， 则直线在轴上的截距是. 故答案为： 10．（25-26高二上·河南濮阳·期中）直线在y轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令直线方程中的求得的值即是直线在y轴上的截距. 【详解】由，令得. 即直线在y轴上的截距为. 故选：A. 知识点 直线的一般式方程 (1)所有的直线的方程都是关于x，y的二元一次方程，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． (2)把方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)称为直线的一般式方程． (3)在方程Ax＋By＋C＝0中，如果B≠0，则方程可以化为y＝－x－，它表示的是斜率为－且截距为－的直线；如果B＝0，则由A与B不同时为零可知A≠0，从而方程可以化为x＝－，它表示的是斜率不存在且过点的直线． (4)v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量． 随学随练 11．（25-26高二上·贵州毕节·期中）将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 【答案】 【分析】根据图象变换的知识求得正确答案. 【详解】直线，即， 向右平移2个单位长度后得到， 即. 故答案为： 12．（25-26高二上·广东·期中）（多选）设直线（、不同时为0），则（  ） A．若，则与坐标轴平行 B．若，则的倾斜角唯一 C．若，则的斜率唯一 D．若，则在坐标轴上的截距唯一 【答案】BC 【分析】根据直线一般式方程的性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】若，则直线或直线，当时与坐标轴重合，所以A错误； 若，则直线，的倾斜角为0，是唯一的，故B正确； 若，则的斜率为，是唯一的，故C正确； 若且，此时直线方程为，直线与轴有无数交点，则在坐标轴上的截距不是唯一的，故D错误. 故选：BC. 题型直线图象的辨析 ▌例1（（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，结合其不经过的象限列不等式求参数范围. 【详解】由题设不经过第四象限， 则. 故选：B ▌对点练1-1．（（24-25高二上·重庆·期中）（多选）已知直线，直线，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．直线过定点 C．若，则 D．当时，直线不经过第二象限 【答案】AC 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之可判断A选项；解方程组可求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；利用两直线垂直求出的值，可判断C选项；数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，解得，A对； 对于B选项，由可得，即直线过定点，B错； 对于C选项，若，则，解得，C对； 对于D选项，当时，直线交轴的负半轴于点， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线不经过第一象限，D错. 故选：AC. 题型直线与坐标轴围成图形的面积问题 ▌例1（25-26高二上·四川遂宁·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B．直线在轴上的截距是 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是 D．点关于点的对称点为 【答案】ABD 【分析】A选项根据倾斜角和斜率概念可知，B选项将代入求解即可， C选项求出横纵截距再代入面积公式即可，D选项根据中点坐标公式可以求解. 【详解】当倾斜角为90°时，斜率不存在，A正确； 直线与轴的交点是，故在轴上的截距是，B正确； 直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，C错误； 设对称点为，则，可得对称点为，D正确．    故选：ABD ▌对点练1-1（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 题型 直线过定点问题 ▌例1（25-26高二上·重庆·期中）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为----------------- 【答案】. 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. ▌对点练1-1（25-26高二上·四川成都·期中）已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出直线过定点，再求出临界点处直线的斜率，结合图象得到不等式组，解得即可. 【详解】因为直线：，即， 令，解得， 所以直线过定点， 又，，直线的斜率为， 要使直线与线段有公共点，由图可知，即的取值范围是. 故选：A 基础通关 1．（贵州省新高考协作体225-2026学年高二上学期期中质量监测数学试卷）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线的一般方程化为斜截式方程，可得直线的斜率，从而求得直线的倾斜角. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为． 设该直线的倾斜角为，． 因为，所以． 因为，所以. 故选:A． 2．（25-26高二上·重庆·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线的一般方程化为斜截式方程，可得直线的斜率，从而求得直线的倾斜角. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为． 设该直线的倾斜角为，． 因为，所以． 因为，所以. 故选：A． 3．（25-26高二上·广东东莞·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线斜率，根据斜率与倾斜角关系即可得到答案. 【详解】设该直线的倾斜角为，， 直线的斜率为 则，则. 故选：A. 4．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程的截距式即可求解. 【详解】设直线方程为，由题意，即直线方程为. 故选：A 5．（25-26高二上·四川成都·期中）已知，，直线上存在点P，满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】直线方程可化为：， 令得：，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：D. 6．（25-26高一上·山东枣庄·期中）下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 【答案】AD 【分析】由直线方程的意义判断A，直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D． 【详解】根据点斜式方程的含义知表示为过点且斜率为的直线方程，A正确； 在轴，轴上的截距分别为，，只有时，直线方程为，B错误； 直线与轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 无论直线斜率是否存在(垂直于轴时，，式子简化为；平行于轴时，，式子简化为)，都能表示过， 的直线，D正确. 故选：AD. 7．（25-26高二上·福建南平·期中）关于直线：，下列结论正确的是（    ） A．的倾斜角为 B．的斜率为1 C．过点 D．在两条坐标轴上的截距相等 【答案】AB 【分析】根据题意得的斜率为1，在轴上的截距为1，再依次分析各选项即可. 【详解】由题可知，的斜率为1，在轴上的截距为1，故直线的倾斜角为，A，B均正确. 点代入方程不满足，故不在上，C不正确. 令得在轴上的截距为，与轴上的截距1不相等，D不正确. 故选：AB 8．（25-26高二上·四川绵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线过定点 C．平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示 D．经过点且斜率为的直线l的方程为 【答案】BC 【分析】根据直线方程的几种形式及其限制条件逐一分析. 【详解】对于A，直线表示过点，且斜率为的直线，故A错误； 对于B，即，因为m的取值范围是，所以，解得，即直线过定点，故B正确； 对于C，平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示，故C正确； 对于D，根据点斜式可知经过点且斜率为的直线l的方程为，即，故D错误. 故选：BC. 9．（25-26高二上·山东临沂·期中）对于直线，下列说法中正确的是（   ） A．的倾斜角可以为 B．时，不经过第二象限 C．的一个方向向量为时， D．直线恒过定点 【答案】BD 【分析】对于：根据直线方程的一般式，计算出斜率的值，可得斜率一定存在；对于：先求出直线恒过定点，再根据斜率的正负判断直线经过的象限；对于：根据方向向量可求出直线的斜率，即可得出的值；对于：整理直线的一般式方程，令含有的式子为零，即可求出直线恒过的定点； 【详解】对于：直线：，斜率，所以斜率肯定存在，所以倾斜角不可能是，故选项错误； 对于：可化简为：，所以直线恒过定点，时，斜率，所以直线经过一、三、四象限，不经过第二象限，故选项正确； 对于：l的一个方向向量为时，斜率，又，所以，故选项错误； 对于：可化简为：，所以直线恒过定点，故选项正确； 故选：. 10．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）点斜式：已知直线经过点，且斜率为，则直线方程是______． 【答案】 【分析】略 【详解】略 素养提升 11．（25-26高二上·湖南·期中）过点，垂直于轴的直线方程为______． 【答案】 【分析】根据直线的点斜式方程可得. 【详解】因过点，垂直于轴的直线的斜率为0. 所以过点，垂直于轴的直线方程为, 即．如图：    故答案为：． 12．（25-26高二上·上海·期中）设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据所过象限得到不等式，求出答案. 【详解】经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限， 则，故直线， 由题意得，解得. 故答案为： 13．（24-25高二上·江苏无锡·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 【答案】或 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 14．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 【答案】 【分析】原方程整理为，解方程组得解. 【详解】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为： 迁移创新 15．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 【答案】 【分析】问题转化为过定点的直线l与线段有公共点，先计算过临界点的直线的斜率，再结合图像即可得到答案. 【详解】直线l：过定点. 由题意直线l：与线段相交， 临界情况为恰好经过点或经过点时， 由图可知，或. 故答案为：. 16．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的一般式方程为______． 【答案】 【分析】由倾斜角得到斜率，再结合点斜式即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率． 因为直线过点，所以直线的点斜式方程为， 化为一般式，得． 故答案为： 17．（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 四、解答题 18．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式得到中点的坐标，然后得到，由点斜式写出中线所在直线的方程； （2）由所在直线的斜率求得高所在直线斜率，由点斜式写出高所在直线的方程. 【详解】（1）因为， 所以的中点的坐标为. 又. 所以边上的中线所在的直线方程为， 即. （2）因为， 所以. 设边上的高所在的直线的斜率为， 所以，得. 所以边上的高所在的直线方程为， 即. 19．（25-26高二上·四川达州·期中）已知顶点、、． (1)求边所在的直线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由两点坐标求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程，将其转化为一般式方程； （2）当直线的纵截距和横截距均为零时，根据直线过点A和原点，求出其方程；当直线的纵截距和横截距均不为零时，设它的截距式方程，求其方程． 【详解】（1）由、，可得直线的斜率为， 所以边所在的直线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，其斜率为，方程为.此时，直线的纵截距和横截距均为零，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得，所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 20．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知关于的方程表示一个直线系. (1)证明：直线过定点，并求出定点坐标； (2)若该直线系中的某条直线分别与轴的正半轴交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为 (2)面积的最小值为12 【分析】（1）将直线的方程改写成的形式，解方程组，求出定点坐标后即可得证； （2）结合条件（1）中的定点，可将直线设为，求出两点的坐标并得到的关系式，表示出的面积，利用基本不等式即可求出面积的最小值. 【详解】（1）依题意，直线的方程可化成，由，得， 所以直线过定点，且定点坐标为； （2）依题意，直线分别与轴的正半轴交于两点，所以直线在两坐标轴上的截距均存在且为正， 故可设直线的方程为，则，； 由（1）知，直线过定点，所以； 因为，所以， 所以面积，当且仅当，即时取等号； 故面积的最小值为12. 学科网（北京）股份有限公司 $