2.2.2 直线的方程（第二课时）导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修一

该高中数学导学案聚焦直线的两点式、截距式方程及一般式方程与其他形式的转化，通过“温故”环节复习点斜式方程，搭建新旧知识支架，引导学生从已知斜率与点的关系自然过渡到两点确定直线及方程形式转化的新内容。 资料融入数学史（笛卡尔、欧拉对直线方程的贡献）培养学生数学眼光，温故知新的递进设计与课前自测的针对性练习发展数学思维，一般式方程的统一表达教学强化数学语言，帮助学生系统构建知识体系，提升自主学习与问题解决能力。

2.2.2 直线的方程（第二课时） 预习提要 1.掌握直线方程的两点式及截距式，会利用直线两点式和截距式求直线方程； 2.掌握直线的一般式方程与其它形式之间的相互转化； 3.阅读课本P81—P84内容，掌握内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故：课前知识链接 点斜式方程的概念：在平面直角坐标系中，已知P0(x0,y0)是直线l上一点： （1）如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为 . （2）如果直线l的斜率存在且为，设为直线上不同于的点，则，即 ，化简可得y−y0=k(x−x0)，而且P0(x0,y0)的坐标也能使上式成立. 如果x，y能使得上式成立，则要么P(x,y)就是点，要么，也就是说，点P一定在直线l上，从而y−y0=k(x−x0)就是直线l的方程. 因为方程y−y0=k(x−x0)由直线上一点和直线的斜率确定，所以通常称为直线的点斜式方程. 二、知新：课本研习梳理 1.两点式方程的概念：我们把形如 的直线方程称为直线的两点式方程，其中当x2−x1≠0且y2−y1≠0. 2.截距式方程的概念：我们把形如 常称为直线的截距式方程，需要特别注意的是，这只有直线在x轴与在y轴上的截距都存在且不为0时才成立. 3.直线的一般式方程的定义：所有的直线方程都可以写成 的形式，其中A，B，C都是实常数，而且A与B不同时为零(即A2+B2≠0)，上述的方程一般称为直线的一般式方程. 4.直线的一般式方程的法向量：如果直线l的一般式方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，则 为直线Ax+By+C=0的一个法向量. 课前自测 1.经过点，的直线在x轴上的截距为( ) A.2 B. C. D.27 2.过点和的直线方程为( ) A. B. C. D. 3.已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为( ) A. B.60° C.150° D.120° 4.过点且斜率为1的直线方程是( ) A. B. C. D. 5.直线的倾斜角为________. 反思 笛卡尔1637年创立坐标系，证明直线对应二元一次等式，但只零散写出斜截、两点、分式斜率等式，没有统一标准模板；不同形式分散、互相割裂，竖直线、水平线、斜线没有统一表达框架.18世纪瑞士数学家莱昂哈德・欧拉在《无穷分析引论》系统梳理解析几何，完成直线方程的大一统整理.欧拉系统研究坐标平移、旋转，证明坐标变换不会改变方程一次形式，无论坐标系如何平移旋转，直线永远是二元一次方程，从理论上证明Ax+By+C=0是直线最本质、通用表达. 答案及解析 温故：课前知识链接 x=x0 知新：课本研习梳理 1. 2. 3.Ax+By+C=0 4.v=(A，B) 课前自测 1.答案：D 解析：由两点式得直线方程为，即，令得.故选D. 2.答案：D 解析：由题意可知，直线的两点式方程为，即为.故选：D. 3.答案：C 解析：由题意直线的斜率为，而倾斜角大于等于且小于，故倾斜角为.故选：C. 4.答案：D 解析：根据题意可得直线为，化简得.故选：D 5.答案： 解析：设直线的倾斜角为，则，而，所以.故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $