2.2.3 两条直线的位置关系（题型专练）数学人教B版选择性必修第一册

2.2.3 两条直线的位置关系 题型一 由方程组的解判断两直线的位置关系 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 2．（23-24高二上·上海·课后作业）分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)与相交，交点坐标为 (2)与平行 【分析】联立两直线方程，通过其解可判断两者关系，且其解为交点，从而得解. 【详解】（1）因为，， 联立，解得， 所以与相交，交点坐标为. （2）因为，可化为， 联立，两式相减得，显然不成立，故方程组无解， 所以与平行. 3．判断题：（22-23高二上·全国·课前预习）无论m为何值，与必相交.( ) 【答案】错误 【分析】联立两条直线的方程，根据求得解的个数，即可得到答案. 【详解】联立两条直线的方程，可得. 当，即时，该方程无解，则两条直线平行； 当时，该方程只有一个解，则两条直线相交. 故答案为：错误. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标； （2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行； （3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断. 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 题型二 求两直线的交点坐标或个数 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 2．（2022高二上·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可 【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的坐标为，即可得到的中点坐标，再根据中点在中线上，点在角平分线上得到方程组，解得即可. 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 则，解得，则点的坐标为. 故答案为： 题型三 由直线的交点坐标求参数 1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与的交点坐标为，则 ， ． 【答案】 【分析】由题意知点既在上也在上，联立方程组求出即可. 【详解】由题意知点既在上也在上， 由解得. 故答案为：；. 题型四 由斜率判断两直线平行 1.（19-20高二上·上海金山·期末）已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】“与的平行”则有“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”两种情况，再判断即可得解. 【详解】因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（多选）（2024高二·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】CD 【分析】求出设直线的斜率为，直线的斜率为．根据斜率是否相等，即可判断直线的位置关系； 【详解】对于选项A，因为直线经过点，， 所以直线的斜率， 又直线的倾斜角为，所以直线的斜率，故直线与直线平行或重合，故A错误； 对于选项B，直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与不平行，故B错误； 对于选项C，，，则有，故C正确； 又，则，，不共线，故． 对于选项D，由已知点的坐标，得与均与轴垂直且不重合，故有，故D正确． 故选：CD． 题型五 由斜率判断两直线垂直 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 2．（14-15高一下·江西抚州·期末）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 题型六 由直线平行求参数 1．（2025·天津红桥·模拟预测）若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】由题意，，解得， 此时，，满足题意. 故选：C. 2．（22-23高二下·河北石家庄·期末）已知直线与直线 平行，则直线l 的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两直线平行，斜率相同，求已知直线斜率即可. 【详解】由题可知直线与直线斜率相同，将一般式化为斜截式，所以斜率为. 故选：D 3．（24-25高二下·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用两直线平行求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】求出两条直线斜率，再根据直线平行的位置关系，解出参数. 【详解】解：由题意得，所以，因为，， 所以，所以． 故答案为：. 题型七 由直线垂直求参数 1．（24-25高二上·天津河北·期末）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 题型八 根据平行、垂直关系求直线方程 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 2．（21-22高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0 【答案】B 【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出线段AB的垂直平分线，再由AC＝BC判断出其即为△ABC的欧拉线. 【详解】因为A（4，0），B（0，2）， 所以线段AB的中点为（2，1）， 所以线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0， ∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上， 因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0. 故选：B. 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为 . 【答案】3 【分析】依题意，求出线段的中点和它的中垂线斜率，即得垂直平分线方程，即可求得. 【详解】直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线方程为， 令时，解得，即线段的垂直平分线在轴上的截距为3. 故答案为：3. 题型九 直线的方向向量、法向量与直线位置关系 1．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知直线的一个方向向量为，则下列直线与垂直的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量得到斜率，然后求直线方程即可. 【详解】由题意知直线的斜率为，则直线与垂直. 故选：B． 2．（2026高二下·全国·专题练习）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（   ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】A 【分析】首先利用向量模长公式求出的值，再根据两向量垂直的条件(点积为零)求出的值，最后计算的可能结果. 【详解】. 又． 当时，；当时，或1. 故选：A. 3．（23-24高二上·重庆·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解. 【详解】联立，得交点坐标为， 因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即. 故选：A. 4．（多选）（24-25高二上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则（    ） A．点在直线上 B．直线PQ的倾斜角是 C．直线PQ与直线平行 D．直线PQ的一个方向向量为 【答案】AC 【分析】对于选项A，将点代入直线方程看是否满足；对于选项B，通过两点坐标求出直线斜率进而得到倾斜角；对于选项C，求出两直线斜率比较是否相等；对于选项D，根据直线方向向量与斜率的关系来判断. 【详解】对于A选项，把点代入直线，左边，右边， 所以点在直线上，A选项正确. 对于B选项，已知，可得直线PQ的斜率. 设直线PQ的倾斜角为，，则，所以，B选项错误. 对于C选项，由前面计算，直线可化为，其斜率为. 两直线斜率相等，但直线PQ过点，将，代入，左边， 即点不在直线上，所以直线PQ与直线平行，C选项正确. 对于D选项， ，直线的方向向量与斜率的关系为. 对于向量，，所以不是直线PQ的斜率的一个方向向量，D选项错误. 故选：AC. 题型十 直线方程的一般式与直线位置关系 1．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则m为（   ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 【答案】D 【分析】利用两直线平行的性质列方程求出的值，再检验两直线是否重合即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 又因为时，两直线重合，不符合题意，舍去. 所以，. 故选：D. 2．（17-18高一下·吉林白城·期末）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2： (1)相交； (2)平行； (3)垂直． 【答案】(1)且； (2)； (3). 【分析】（1）由直线平行的判定，要使直线相交只需，即可求值. （2）由直线平行的判定有，注意验证直线是否存在重合的情况，即可得解. （3）由直线垂直的判定有，即可求值. 【详解】（1）直线相交，则，即， 所以且. （2）直线相交，则，即， 所以或. 当时，，，符合题设； 当时，，，两线重合，不合题设； 综上，. （3）直线垂直，则，可得. 题型一 由直线的交点位置求参数范围 1．（20-21高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和讨论，当时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得. 【详解】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 2．（2023高二上·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出两直线交点的坐标，根据交点位置可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】联立可得， 所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限， 则，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型二 直线的平行、垂直在解析几何中的应用 1．（2021高二·江苏·专题练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，若AB的中点为C，则（    ） A．9 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， 注意到动直线和动直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 所以， 又， 所以． 故选：C． 2.（20-21高二·全国·课后作业）直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ . 【答案】 【分析】由题意可得出直线l1的斜率，根据平行和垂直关系可列出关于m的方程，解方程即可. 【详解】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，    ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 故答案为：4＋ 3．（18-19高一下·江苏泰州·阶段练习）设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为 . 【答案】且 【分析】当直线，及轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形，分别讨论直线与直线平行；直线与轴平行；直线，及轴过公共点的情况，根据题意即可得出的取值范围. 【详解】当直线，及轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形 当时，直线与直线平行； 当时，直线与轴平行； 当时，直线，及轴都过原点； 要使得两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为且 故答案为：且 4.．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，由已知条件得出点A、E的坐标，求得直线AD、BE的方程，然后求交点P坐标，由得到AP和CP垂直． 【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，    设等边三角形ABC的边长为6，则， ∵， ∴直线AD的方程为，即，① ∵， ∴直线BE的方程为，即，② 联立①②解得，则， ∵， ∴，∴AP⊥CP． 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】如下图示：   OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． 题型三 两直线位置关系下的最值、范围问题 1．（2022·安徽合肥·二模）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可. 【详解】由题可知，,直线， 所以,， 所以， 所以的面积为， 当且仅当时等号成立. 故选：C 2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 3．（2021高二·江苏·专题练习）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M（与不重合），则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定点A和点B的坐标，再判断两条动直线垂直，进而得到直角三角形ABM，利用三角函数求最值即可． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点， ， 动直线和动直线满足， 两条直线始终垂直， 又因为是两条直线的交点，所以. 所以. 设，则， 由，可得， ， 令， 所以， 故的最大值为． 故选: C 4．（24-25高二上·河北·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒得到等式，再结合基本不等式计算即可. 【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒ 可得，即，所以， 由得．当且仅当取等号. 故答案为：. 5．（21-22高二上·江苏苏州·阶段练习）已知顶点坐标分别是，，． （1）求过点C且与直线AB平行的直线方程， （2）若点，当实数取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由两直线平行的斜率相等和直线的点斜式求解即可； （2）由斜率公式结合二次函数的性质求解即可 【详解】（1）由已知可得AB的斜率为， 所以与直线AB平行的直线的斜率也为， 从而所求直线的方程为，即； （2）可得直线AD的斜率为， 所以直线AD倾斜角的取值范围为． 1．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 2．（多选）（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【答案】ACD 【分析】利用来判断否垂直来研究A，C选项；利用来判断平行问题，来研究B，D． 【详解】A．直线，直线， 又，，故恒成立，选项正确，符合题意； B．，， 又，故不成立，选项错误，不符合题意； C．，， 又当时，，故成立，选项正确，符合题意； D．，， 又当时，， 且，使得成立，选项正确，符合题意； 故选：ACD． 3．（多选）（24-25高二下·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【分析】先由斜率定义写出直线的斜率，因为，则，由此解出，但要验证的解是否会使得直线的斜率不存在，由此可得答案. 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 4．（多选）（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由直线方程可得直线恒过定点可判断AB；由两直线垂直的充要条件可判断C；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中， 由勾股定理可得：， 所以，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积； （2）的斜率求得高线的斜率，再根据B的坐标，写出高线方程，求出的中点，即可求出边上的中线，然后联立高线方程和中线方程，求交点坐标即可. 【详解】（1）因为，所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. 因为， 所以. （2）因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即. 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为. 6．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由上的高所在直线方程为，可得，且过点得到直线所在的直线方程，联立方程即可求得顶点的坐标. （2）设点，且的中点，代入所在的直线方程为，求出的表达式再与的方程即可得到点坐标，再用点斜式即可求得方程. 【详解】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故， 又的顶点， 所以所在的直线方程为， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得， 故点； （2）设点， 则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上， 所以， 故，解得，即点， 所以,故直线方程为. 7．（23-24高二上·内蒙古·期中）已知的三个顶点为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先根据垂直关系求的斜率，再代入点斜式直线方程； （2）首先利用中点坐标公式求点的坐标，再根据直线上两点求直线的斜率以及直线方程. 【详解】（1）因为的三个顶点为， 所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为， 化为一般式方程为； （2）因为，所以的中点为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为， 化为一般式为. 8．（22-23高二上·福建福州·阶段练习）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【答案】(1) (2)是 (3) 【分析】（1）运用直线的斜率相等构造方程组计算D坐标； （2）运用直线斜率乘积判断，进而判断菱形； （3）运用两点式得到直线AD方程. 【详解】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3） 由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 9．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 10．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【详解】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.3 两条直线的位置关系 题型一 由方程组的解判断两直线的位置关系 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 2．（23-24高二上·上海·课后作业）分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 3．判断题：（22-23高二上·全国·课前预习）无论m为何值，与必相交.( ) 4．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 题型二 求两直线的交点坐标或个数 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2022高二上·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 题型三 由直线的交点坐标求参数 1．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与的交点坐标为，则 ， ． 题型四 由斜率判断两直线平行 1.（19-20高二上·上海金山·期末）已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2．（多选）（2024高二·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 题型五 由斜率判断两直线垂直 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（14-15高一下·江西抚州·期末）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 题型六 由直线平行求参数 1．（2025·天津红桥·模拟预测）若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（22-23高二下·河北石家庄·期末）已知直线与直线 平行，则直线l 的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数a的值为 ． 题型七 由直线垂直求参数 1．（24-25高二上·天津河北·期末）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 题型八 根据平行、垂直关系求直线方程 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为 . 题型九 直线的方向向量、法向量与直线位置关系 1．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知直线的一个方向向量为，则下列直线与垂直的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二下·全国·专题练习）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（   ） A．或1 B．3或 C． D．1 3．（23-24高二上·重庆·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则（    ） A．点在直线上 B．直线PQ的倾斜角是 C．直线PQ与直线平行 D．直线PQ的一个方向向量为 题型十 直线方程的一般式与直线位置关系 1．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知直线与直线互相平行，则m为（   ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 2．（17-18高一下·吉林白城·期末）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2： (1)相交； (2)平行； (3)垂直． 题型一 由直线的交点位置求参数范围 1．（20-21高二·全国·课后作业）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高二上·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 题型二 直线的平行、垂直在解析几何中的应用 1．（2021高二·江苏·专题练习）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，若AB的中点为C，则（    ） A．9 B．4 C．5 D．10 2.（20-21高二·全国·课后作业）直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ . 3．（18-19高一下·江苏泰州·阶段练习）设两直线，与轴构成三角形，则的取值范围为 . 4.．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 题型三 两直线位置关系下的最值、范围问题 1．（2022·安徽合肥·二模）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 2．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2021高二·江苏·专题练习）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M（与不重合），则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 4．（24-25高二上·河北·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 5．（21-22高二上·江苏苏州·阶段练习）已知顶点坐标分别是，，． （1）求过点C且与直线AB平行的直线方程， （2）若点，当实数取遍一切实数时，求直线AD倾斜角的取值范围． 1．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 3．（多选）（24-25高二下·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 4．（多选）（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 6．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 7．（23-24高二上·内蒙古·期中）已知的三个顶点为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程. 8．（22-23高二上·福建福州·阶段练习）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 9．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程． 10．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$